第2課時夾角問題第一章

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題1.會用向量法求線線、線面、面面夾角.2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關系.學習目標地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”，黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26′.黃道面與地球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶，太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個星座，導語稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點起，每30°便是一宮，并冠以星座名，如白羊座、獅子座、雙子座等等，這便是星座的由來.隨堂演練課時對點練一、兩異面直線所成的角二、直線和平面所成的角三、兩個平面的夾角內(nèi)容索引一、兩異面直線所成的角設兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝

.知識梳理例1

如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱長為b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求異面直線BD1和AC所成角的余弦值.＝0＋a2＋abcos120°＋abcos120°－a2－0＝－ab.反思感悟求異面直線夾角的步驟(1)確定兩條異面直線的方向向量.(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值.(3)得出兩條異面直線所成的角.跟蹤訓練1

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N所成角的余弦值為√解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，二、直線和平面所成的角注意點：(1)直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.(2)線面角的范圍為(3)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝

＝

.|cos〈u，n〉|知識梳理例2

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點.(1)證明：CM⊥SN；證明設PA＝1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系(如圖).則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，(2)求SN與平面CMN所成角的大小.設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，設SN與平面CMN所成的角為θ，反思感悟利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標系.(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.跟蹤訓練2

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)依次為C1C，BC的中點.求A1B與平面AEF所成角的正弦值.解以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，設平面AEF的一個法向量為n＝(a，b，c)，令a＝1可得n＝(1，－1,2).設A1B與平面AEF所成角為θ，三、兩個平面的夾角問題1兩個平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？提示平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.問題2

平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關系？提示兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補角.設平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

＝

.知識梳理注意點：(1)求兩平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角問題.(2)兩平面的夾角的范圍是(3)二面角與兩平面的夾角不是相同的概念.例3

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥平面ABCD；證明因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因為AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值.解因為四棱柱的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1兩兩垂直.如圖，以O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.設棱長為2，因為∠CBA＝60°，平面BDD1B1的一個法向量為n＝(0,1,0)，設平面OC1B1的法向量為m＝(x，y，z)，延伸探究本例不變，求平面BA1C與平面A1CD夾角的余弦值.設平面BA1C的法向量為m＝(x1，y1，z1)，反思感悟求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.跟蹤訓練3如圖所示，在幾何體S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD與平面SAB夾角的余弦值.解如圖，過點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，以DC，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，設平面SAD的法向量為m＝(x，y，z)，1.知識清單：(1)異面直線所成的角.(2)直線與平面所成的角.(3)平面與平面所成的角.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念，把握空間角的范圍.課堂小結(jié)隨堂演練1.若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為√1234解析l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，2.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為√1234解析如圖所示，以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標系，12343.如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上，

＝(0,0,2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2,1,2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cosθ＝_____.1234解析設正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系如圖.則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).4.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為_____.1234課時對點練1.兩異面直線l1，l2的方向向量分別是v1，v2，若v1與v2所成的角為θ，直線l1，l2所成的角為α，則A.α＝θ

B.α＝π－θC.cosθ＝|cosα| D.cosα＝|cosθ|√基礎鞏固12345678910111213141516因而cosα＝|cosθ|.2.平面α的斜線l與它在這個平面上射影l(fā)′的方向向量分別為a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，則斜線l與平面α所成的角為A.30° B.45° C.60° D.90°√解析l與α所成的角即為a與b所成的角(或其補角)，12345678910111213141516所以〈a，b〉＝60°.3.設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝

則l與α所成的角為12345678910111213141516√4.正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為A.30° B.45°C.60° D.90°√12345678910111213141516解析如圖所示，建立空間直角坐標系，設PA＝AB＝1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).12345678910111213141516∴平面PAB與平面PCD的夾角為45°.5.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為√12345678910111213141516解析如圖所示，建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，12345678910111213141516連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，6.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC與BD交于點O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝

E，F(xiàn)分別是AB，AP的中點.則平面FOE與平面OEA夾角的余弦值為12345678910111213141516√解析由題意，以O為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意知，OA＝OB＝2，則A(0，－2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，∴E(1，－1,0)，F(xiàn)(0，－1,1)，12345678910111213141516設平面OEF的法向量為m＝(x，y，z)，令x＝1，可得m＝(1,1,1)，易知平面OAE的一個法向量為n＝(0,0,1)，12345678910111213141516設平面FOE與平面OEA的夾角為θ，7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_____.12345678910111213141516解析以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖.設AA1＝2AB＝2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，12345678910111213141516設平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，令y＝－2，得平面BDC1的一個法向量為n＝(2，－2,1).設直線CD與平面BDC1所成的角為θ，8.在空間中，已知平面α過A(3,0,0)和B(0,4,0)及z軸上一點P(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面Oxy的夾角為45°，則a＝____.12345678910111213141516解析平面Oxy的一個法向量為n＝(0,0,1).設平面α的法向量為u＝(x，y，z)，12345678910111213141516又∵a>0，9.如圖所示，在四面體ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝求異面直線AB與CD所成角的余弦值.12345678910111213141516解取BD的中點O，連接OA，OC.由題意知OA，OC，BD兩兩垂直.以O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，則B(1,0,0)，D(－1,0,0)，1234567891011121314151610.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點.12345678910111213141516(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；解如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，設AC，A1C1

的中點分別為O，O1，連接OB，OO1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為AB＝AA1＝2，12345678910111213141516因為P為A1B1的中點，12345678910111213141516(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.12345678910111213141516解因為Q為BC的中點，12345678910111213141516設n＝(x，y，z)為平面AQC1的一個法向量，設直線CC1與平面AQC1所成角為θ，1234567891011121314151611.如圖，已知矩形ABCD與矩形ABEF全等，二面角D－AB－E為直二面角，M為AB的中點，F(xiàn)M與BD所成的角為θ，12345678910111213141516綜合運用√根據(jù)題意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，1234567891011121314151612.如圖所示，M，N是直角梯形ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B為45°，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點B，則M，N的連線與AE所成的角的大小為A.45° B.90°C.135° D.150°√12345678910111213141516解析建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意知△ABE為等腰直角三角形，設CD＝1，1234567891011121314151613.如圖，正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為______.12345678910111213141516解析如圖，取BC的中點O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.設BC＝1，12345678910111213141516設平面ABD的一個法向量為n＝(x，y，z)，1234567891011121314151614.如圖，在三棱錐V－ABC中，頂點C在空間直角坐標系的原點處，頂點A，B，V分別在x軸、y軸、z軸上，D是線段AB的中點，且AC＝BC＝2，∠VDC＝

則異面直線AC與VD所成角的余弦值為_____.12345678910111213141516解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中點，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).12345678910111213