【沖刺2022】之2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題真題精講精練+變式訓(xùn)練專題1.4北京卷（壓軸8道+模擬變式40道）說(shuō)明：本專輯精選了2021年北京卷失分較多和難度較大的題目8道，分別是第8題函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題、第16題方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題、第21題一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系、第22題四邊形的性質(zhì)與判定、第24題圓的有關(guān)計(jì)算與證明、第26題二次函數(shù)綜合問(wèn)題、第27題幾何綜合問(wèn)題、第28題新定義與閱讀材料問(wèn)題，每道題精講精析，配有變式練習(xí)各5道，北京模擬變式訓(xùn)練題共40道，本試題解析共71頁(yè).【壓軸一】函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題【真題再現(xiàn)】（2021?北京第8題）如圖，用繩子圍成周長(zhǎng)為10m的矩形，記矩形的一邊長(zhǎng)為xm，它的鄰邊長(zhǎng)為ym，矩形的面積為Sm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系【思路點(diǎn)撥】矩形的周長(zhǎng)為2（x+y）＝10，可用x來(lái)表示y，代入S＝xy中，可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，代簡(jiǎn)即可得出答案．【詳析詳解】由題意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝5﹣x，∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，∴矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S＝﹣x2+5x，即滿足二次函數(shù)關(guān)系，故選：A．【方法小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的解析式形式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1.1】（2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，將一根長(zhǎng)2m的鐵絲首尾相接圍成矩形，則矩形的面積與其一邊滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系【分析】設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊的長(zhǎng)為（2÷2﹣x）m，令矩形的面積為ym2，由題意可列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得出答案．【解析】設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊的長(zhǎng)為（2÷2﹣x）m，令矩形的面積為ym2，由題意得：y＝x（2÷2﹣x）＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，∴矩形的面積與其一邊滿足的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣x2+x，即滿足二次函數(shù)關(guān)系．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的解析式形式是解題的關(guān)鍵．【變式1.2】（2021?建湖縣一模）使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）（0°＜x≤90°）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為（）A．18° B．36° C．41° D．58°【分析】根據(jù)已知三點(diǎn)和近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致畫出函數(shù)圖像，并判斷對(duì)稱軸位置在36和54之間即可選擇答案．【解析】由題意可知函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，由圖表數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線，補(bǔ)全圖可得如圖，∴拋物線對(duì)稱軸在36和54之間，約為41℃，∴旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x在36°和54°之間，約為41℃時(shí)，燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)猓蔬x：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性質(zhì)，判斷對(duì)稱軸位置是解題關(guān)鍵．【變式1.3】（2021?海淀區(qū)二模）如圖，一架梯子AB靠墻而立，梯子頂端B到地面的距離BC為2m，梯子中點(diǎn)處有一個(gè)標(biāo)記，在梯子頂端B豎直下滑的過(guò)程中，該標(biāo)記到地面的距離y與頂端下滑的距離x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系【分析】設(shè)梯子中點(diǎn)為O，下滑后為O′，過(guò)O′作O′M⊥A′C，易得B′C＝2﹣x，根據(jù)三角形的中位線定理可得O′M＝1?12??，進(jìn)而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，本題得以解答．【解析】如圖所示，設(shè)梯子中點(diǎn)為O，下滑后為O′，過(guò)O′作O′M⊥A′C，∵BC＝2，BB′＝x，∴B′C＝2﹣x，∵O′為A′B′中點(diǎn)，O′M⊥A′C，∴O′M=12??'??=1?12??，∴??=1?12??，為一次函數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用三角形的中位線定理得出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式1.4】（2021?北京模擬）甲、乙兩人相約從A地到B地，甲騎自行車先行，乙開車，兩人均在同一路線上速勻行駛，乙到B地后即停車等甲．甲、乙兩人之間的距離y（千米）與甲行駛的時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則乙從A地到B地所用的時(shí)間為（）A．0.25小時(shí) B．0.5小時(shí) C．1小時(shí) D．2.5小時(shí)【分析】根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間，可求甲騎自行車的速度為10÷1＝10千米/小時(shí)，根據(jù)乙出發(fā)0.25小時(shí)追上甲，設(shè)乙速度為x千米/小時(shí)，列方程求出乙速度，設(shè)追上后到達(dá)B地的時(shí)間是y小時(shí)，根據(jù)追擊路程列方程求解，再把兩個(gè)時(shí)間相加即可求解．【解析】由圖像可得：甲騎自行車的速度為10÷1＝10千米/小時(shí)，乙出發(fā)0.25小時(shí)追上甲，設(shè)乙速度為x千米/小時(shí)，0.25x＝1.25×10，解得：x＝50，∴乙速度為50千米/小時(shí)，設(shè)追上后到達(dá)B地的時(shí)間是y，50y﹣10y＝10，解得：y＝0.25，∴乙從A地到B地所用的時(shí)間為0.25+0.25＝0.5（小時(shí)），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象獲取相關(guān)信息，利用追擊問(wèn)題的關(guān)系式得到乙開汽車的速度．【變式1.5】（2021?豐臺(tái)區(qū)二模）某公司新產(chǎn)品上市30天全部售完．圖1表示產(chǎn)品的市場(chǎng)日銷售量與上市時(shí)間之間的關(guān)系，圖2表示單件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間之間的關(guān)系，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．第30天該產(chǎn)品的市場(chǎng)日銷售量最大 B．第20天至30天該產(chǎn)品的單件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)最大 C．第20天該產(chǎn)品的日銷售總利潤(rùn)最大 D．第20天至30天該產(chǎn)品的日銷售總利潤(rùn)逐日增多【分析】從圖1中看日銷售量，日銷售量隨上市時(shí)間的增大而增大；從圖2中看單件銷售利潤(rùn)，前20天單件銷售利潤(rùn)在增大，到了第20天至第30天，單件銷售利潤(rùn)達(dá)到最大．【解析】A．從圖1中可知，第30天日銷售量為60件，日銷售量最大，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B．從圖2中可知，單件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)最大的是第20天至30天，單件銷售利潤(rùn)為30元，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C．應(yīng)該是第30天，因?yàn)榈?0天的單件銷售利潤(rùn)最大，日銷售量最大，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．第20天至30天，單件銷售利潤(rùn)都是30元，日銷售量在增大，所以銷售總利潤(rùn)逐日增多，故該選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是看懂這兩幅圖的自變量和因變量．【壓軸二】方程的實(shí)際應(yīng)用【真題再現(xiàn)】（2021?北京第16題）某企業(yè)有A，B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線．在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工a噸原材料，加工時(shí)間為（4a+1）小時(shí)；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工b噸原材料，加工時(shí)間為（2b+3）小時(shí)．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到A，B兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，則分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了m噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了n噸原材料．若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時(shí)間相同，則????的值為12．【思路點(diǎn)撥】設(shè)分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5﹣x）噸，依題意可得4x+1＝2（5﹣x）+3，然后求解即可，由題意可得第二天開工時(shí)，由上一問(wèn)可得方程為4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，進(jìn)而求解即可得出答案．【詳析詳解】設(shè)分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5﹣x）噸，依題意可得：4x+1＝2（5﹣x）+3，解得：x＝2，∴分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5﹣2＝3（噸），∴分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3；∴第二天開工時(shí)，給生產(chǎn)線分配了（2+m）噸原材料，給生產(chǎn)線分配了（3+n）噸原材料，∵加工時(shí)間相同，∴4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，解得：m=12n，∴????=12，故答案為：2：3；12．【方法小結(jié)】本題主要考查一元一次方程、二元一次方程的應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式2.1】（2021?豐臺(tái)區(qū)二模）某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方式篩查出某種病毒的攜帶者．如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，需要化驗(yàn)10000次．統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)．如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一個(gè)人呈陽(yáng)性，就需要對(duì)這組的每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次．假設(shè)攜帶該病毒的人數(shù)占0.05%．回答下列問(wèn)題：（1）按照這種化驗(yàn)方法是否能減少化驗(yàn)次數(shù)是（填“是”或“否”）；（2）按照這種化驗(yàn)方法至多需要2025次化驗(yàn)，就能篩查出這10000名職工中該種病毒的攜帶者．【分析】（1）10000人5人化驗(yàn)一次，可化驗(yàn)2000次，比一人一次的少很多次；（2）根據(jù)題意可以知道有5人攜帶，最多次數(shù)的是這5人不在同一組，即第二輪有5組即25人要化驗(yàn)，即可求出結(jié)果．【解析】（1）是，10000÷5＝2000次＜10000次，明顯減少；（2）10000×0.05%＝5人，故有5人是攜帶者，第一輪：10000÷5＝2000次，至多化驗(yàn)次數(shù)，故而這5個(gè)人都在不同組，這樣次數(shù)最多，∴第二輪有5個(gè)組需要化驗(yàn)，5×5＝25次，2000+25＝2025次，故至多需要2025次化驗(yàn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)與概率和不等式的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵弄懂題意．【變式2.2】（2021?豐臺(tái)區(qū)二模）隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場(chǎng)對(duì)5G產(chǎn)品的需求越來(lái)越大．為滿足市場(chǎng)需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度．現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30萬(wàn)件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬(wàn)件產(chǎn)品所需的時(shí)間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬(wàn)件產(chǎn)品所需時(shí)間相同．設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬(wàn)件，依據(jù)題意列出關(guān)于x的方程50030+??=400??．【分析】根據(jù)題意更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬(wàn)件，現(xiàn)在每天生產(chǎn)（30+x）萬(wàn)件，再根據(jù)生產(chǎn)總量÷生產(chǎn)速度＝生產(chǎn)時(shí)間列出方程即可．【解析】設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬(wàn)件，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)（30+x）萬(wàn)件，∵現(xiàn)在生產(chǎn)500萬(wàn)件產(chǎn)品所需的時(shí)間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬(wàn)件產(chǎn)品所需時(shí)間相同，∴50030+??=400??，故答案為：50030+??=400??．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找出題中等量關(guān)系列出相應(yīng)的方程是解題的關(guān)鍵．【變式2.3】（2021?通州區(qū)一模）某生產(chǎn)線在同一時(shí)間只能生產(chǎn)一筆訂單，即在完成一筆訂單后才能開始生產(chǎn)下一筆訂單中的產(chǎn)品．一筆訂單的“相對(duì)等待時(shí)間”定義為該筆訂單的等待時(shí)間與生產(chǎn)線完成該訂單所需時(shí)間之比．例如，該生產(chǎn)線完成第一筆訂單用時(shí)5小時(shí)，之后完成第二筆訂單用時(shí)2小時(shí)，則第一筆訂單的“相對(duì)等待時(shí)間”為0，第二筆訂單的“相對(duì)等待時(shí)間”為52，現(xiàn)有甲、乙、丙三筆訂單，管理員估測(cè)這三筆汀單的生產(chǎn)時(shí)間（單位：小時(shí)）依次為a，b，c，其中a＞b＞c，則使三筆訂單“相對(duì)等待時(shí)間”之和最小的生產(chǎn)順序是c，b，a．【分析】由相對(duì)等待時(shí)間的定義可知，上一筆訂單完成的時(shí)間越短，則此訂單的“相對(duì)等待時(shí)間”越小．【解析】由題意知：上一筆訂單完成的時(shí)間越短，則此訂單的“相對(duì)等待時(shí)間”越小，因此，“相對(duì)等待時(shí)間”之和最小的生產(chǎn)順序是c，b，a，故答案為c，b，a．【點(diǎn)評(píng)】此題考查新定義，對(duì)定義的理解是解本題的關(guān)鍵．【變式2.4】（2021?西城區(qū)一模）某商家需要更換店面的瓷磚，商家打算用1500元購(gòu)買彩色和單色兩種地磚進(jìn)行搭配，并且把1500元全部花完．已知每塊彩色地磚25元，每塊單色地磚15元，根據(jù)需要，購(gòu)買的單色地磚數(shù)要超過(guò)彩色地磚數(shù)的2倍，并且單色地磚數(shù)要少于彩色地磚數(shù)的3倍，那么符合要求的一種購(gòu)買方案是購(gòu)買24塊彩色地磚、60塊單色地磚（或購(gòu)買27塊彩色地磚、55塊單色地磚）．【分析】設(shè)購(gòu)買x塊彩色地磚，則購(gòu)買1500?25??15塊單色地磚，根據(jù)“購(gòu)買的單色地磚數(shù)要超過(guò)彩色地磚數(shù)的2倍，并且單色地磚數(shù)要少于彩色地磚數(shù)的3倍”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，結(jié)合x，1500?25??15均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案，任寫一種即可．【解析】設(shè)購(gòu)買x塊彩色地磚，則購(gòu)買1500?25??15塊單色地磚，依題意得：1500?25??15＞2??1500?25??15＜3??，解得：30013＜x＜30011，又∵x，1500?25??15均為正整數(shù)，∴x可以取24，27．∴當(dāng)x＝24時(shí)，1500?25??15=60；當(dāng)x＝27時(shí)，1500?25??15=55．故答案為：購(gòu)買24塊彩色地磚、60塊單色地磚（或購(gòu)買27塊彩色地磚、55塊單色地磚）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式2.5】（2021?海淀區(qū)二模）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)南北朝時(shí)期重要的數(shù)學(xué)專著，其中包含了“雞兔同籠”“物不知數(shù)”等許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”其譯文為：“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺．將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？”設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，可列方程組為?????=4.5???12??=1．【分析】根據(jù)“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺”可列出方程y﹣x＝4.5，根據(jù)“將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺”可列出方程x?12y＝1，聯(lián)立兩方程即可得出結(jié)論．【解析】∵用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺，∴y﹣x＝4.5；∵將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，∴x?12y＝1．聯(lián)立兩方程可得出方程組?????=4.5???12??=1．故答案為：?????=4.5???12??=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【壓軸三】一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系【真題再現(xiàn)】（2021?北京第21題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若m＞0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出△＝4m2，利用偶次方的非負(fù)性可得出4m2≥0，即△≥0，再利用“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”即可證出結(jié)論（2）利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由題意得出m的方程，解方程則可得出答案．【詳析詳解】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵無(wú)論m取何值時(shí)，4m2≥0，即△≥0，∴原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．【方法小結(jié)】本題考查了根的判別式、偶次方的非負(fù)性以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．【變式訓(xùn)練】【變式3.1】（2021?平谷區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為滿足條件的最大的整數(shù)，求此時(shí)方程的解．【分析】（1）根據(jù)判別式大于0即可求出答案．（2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．【解析】（1）△＝4﹣4（k﹣2）＝12﹣4k＞0，∴k＜3．（2）由（1）可知：k＝2，∴此時(shí)方程為：x2+2x＝0，∴x（x+2）＝0，∴x＝0或x＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3.2】（2021?北京二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）請(qǐng)你給出一個(gè)k的值，并求出此時(shí)方程的根．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＞0，然后解不等式即可．（2）根據(jù)（1）中k的取值范圍，任取一k的值，然后解方程即可．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＞0，解得k＞0．（2）由（1）知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＞0，故取k＝1，則x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0，解得，x1＝0，x2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式△＝b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【變式3.3】（2021?東城區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．（1）求證：此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）寫出一個(gè)m的值，使得此該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根大于1，并求此時(shí)方程的根．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出△＝（m﹣1）2，利用偶次方的非負(fù)性可得出（m﹣1）2≥0，即△≥0，再利用“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”即可證出結(jié)論；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的解且x1=1??，x2＝1，結(jié)合該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根大于1，可得出1??＞1，解之可得出0＜m＜1，任取其內(nèi)的一值即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵a＝m，b＝﹣（m+1），c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×m×1＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．∵（m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，∴（mx﹣1）（x﹣1）＝0，∴x1=1??，x2＝1．又∵該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根大于1，∴1??＞1，∴0＜m＜1，∴當(dāng)m=12時(shí)，該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根大于1，此時(shí)方程的解為x1=1??=2，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、偶次方的非負(fù)性以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．【變式3.4】（2021?西城區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，求此時(shí)方程的根．【分析】（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．（2）由（1）中k的取值范圍得出符合條件的k的最大整數(shù)值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值．【解析】（1）∵關(guān)于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴???1≠0(?2)2?4(???1)×1≥0，解得：k≤2且k≠1．（2）當(dāng)k＝2時(shí)，方程為：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系．【變式3.5】（2021?昌平區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求a的取值范圍；（2）請(qǐng)你給出一個(gè)符合條件的a的值，并求出此時(shí)方程的解．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△＝42﹣4×1×a＞0，然后解不等式即可．（2）根據(jù)（1）中a的取值范圍，任取一a的值，然后解方程即可．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴△＝42﹣4×1×a＞0，解得a＜4．（2）由（1）知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜4，故取a＝3，則x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得，x1＝3，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式△＝b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【壓軸四】四邊形的性質(zhì)與判定【真題再現(xiàn)】（2021?北京第22題）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點(diǎn)E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB=45，求BF和AD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）證AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出結(jié)論；（2）先由銳角三角函數(shù)定義求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分線的性質(zhì)得EC＝EF＝3，最后由平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳析詳解】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∵cosB=45=????????，∴BF=45BE=45×5＝4，∴EF=????2?????2=52?42=3，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，∴EC＝EF＝3，由（1）得：四邊形AECD是平行四邊形，∴AD＝EC＝3．【方法小結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，證明四邊形AECD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式4.1】（2021?平谷區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，BF．（1）求證：四邊形CFBD是菱形；（2）連接AE，若CF=10，DF＝2，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，EF＝DE，可以得到四邊形CFBD是平行四邊形，再根據(jù)三角形中位線和∠ACB＝90°，可以得到DF⊥CB，然后即可得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到AC和CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得到AE的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，又∵EF＝DE，∴四邊形CFBD是平行四邊形，∵D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°，即DF⊥CB，∴四邊形CFBD是菱形；（2）∵D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴AC＝2DE，∵DF＝2DE＝2EF，DF＝2，∴AC＝2，EF＝1，∵CF=10，四邊形CFDB是菱形，∴∠CEF＝90°，∴CE=????2?????2=(10)2?12=3，∵∠ACE＝90°，∴AE=????2+????2=22+32=13，即AE的長(zhǎng)是13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式4.2】（2021?門頭溝區(qū)二模）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線，兩線交于點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）若BC＝8，AO=52，求四邊形AEBC的面積．【分析】（1）只要證明四邊形DBE是平行四邊形，且∠ADB＝90°，即可；（2）求BD、AB，利用三角形面積公式可得S四邊形AEBC＝S△ABC+S△ABE．【解析】（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∵AB＝AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°．∴四邊形ADBE為矩形．（2）∵在矩形ADBE中，AO=52，∴DE＝AB＝5，∵D是BC的中點(diǎn)，∴AE＝DB＝4，∴AB＝2AO＝5，∵∠ADB＝90°，根據(jù)勾股定理????=????2?????2=3，∴S△ABC=12×BC×AD=12×8×3＝12，∴S△ABE=12×AE×BE=12×4×3＝6，∴S四邊形AEBC＝S△ABC+S△ABE＝12+6＝18，即S四邊形AEBC為18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法，屬于中考?？碱}型．【變式4.3】（2021?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)N，點(diǎn)M是對(duì)角線BD中點(diǎn)，連接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．（1）求證：四邊形AMCD是平行四邊形．（2）若DN=10，則BC＝12，tan∠DBC＝13．【分析】（1）要證明四邊形AMCD是平行四邊形，已知AM＝DC，只需要證明AM∥DC即可；由條件可知△AMB≌△AMC（SSS），推理可得∠DCA＝∠MAC＝45°，由內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可知AM∥CD，可得結(jié)論；（2）如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰直角三角形的選擇得到AE⊥BC，且點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)定理得到CD＝2ME，設(shè)AB＝a，則BC=2a，求得AE=12BC=22a，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN＝DN=10，設(shè)DC＝x，BC＝3x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，∠BCD＝90°，∴CM是Rt△BCD斜邊BD的中線，∴CM＝BM＝MD，又AB＝AC，AM＝AM，∴△AMB≌△AMC（SSS），∴∠BAM＝∠CAM，∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAM＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝45°，∴∠DCA＝∠MAC，∴AM∥CD，又∵AM＝DC，∴四邊形AMCD為平行四邊形；（2）解：如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAM，∴AE⊥BC，且點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴ME是△BCD的中位線，∴CD＝2ME，又AM＝CD，∴AM＝2ME，∴ME=13AE，設(shè)AB＝a，則BC=2a，AE=12BC=22a，∴ME=13AE=26a，又BE＝AE=22a，∴tan∠DBC=????????=13，∵四邊形AMCD為平行四邊形，DN=10，∴MN＝DN=10，∴BD＝410，在Rt△BCD中，∵tan∠DBC=????????=13，∴設(shè)DC＝x，BC＝3x，∴BD=????2+????2=10x，∴10x＝410，∴x＝4，∴DC＝4，∴BC=????2?????2=12，故答案為12，13．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)值等內(nèi)容．【變式4.4】（2021?北京二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=12BC，連接DE，CF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底邊CE上的高及DE的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD＝BC，由線段關(guān)系可證FD＝CE，可得結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，CD＝AB＝4，∠A＝120°，BC＝AD＝6，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求解．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵F是AD的中點(diǎn)，∴FD=12AD，∵CE=12BC，∴FD＝CE，∵FD∥CE，∴四邊形CEDF是平行四邊形；（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，CD＝AB＝4，∠A＝120°，BC＝AD＝6，∴∠DCE＝∠B＝60°，在Rt△DGC中，∠DGC＝90°，∴CG＝CD?cos∠DCE＝2，DG＝CD?sin∠DCE＝23，∵CE=12BC＝3，∴GE＝1，在Rt△DGE中，∠DGE＝90°，∴DE=????2+????2=13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．【變式4.5】（2021?房山區(qū)二模）如圖，已知AC是矩形ABCD的對(duì)角線，∠BAC＝30°，點(diǎn)M是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BAC的平分線與∠BCM的平分線交于點(diǎn)E，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段CF，使點(diǎn)F在射線CB上，連接EF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求∠AEC的度數(shù)；（3）用等式表示線段AE，CE，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）按照題意畫出圖形即可；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)可得∠ABC＝∠BCD＝∠BCM＝90°．由∠BAC的平分線與∠BCM的平分線交于點(diǎn)E，可得∠BAE＝∠CAE＝15°，∠ECF＝45°，利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；（3）在EA上截取EH＝EC，連接CH，可得△ECH是等邊三角形，利用SAS證明△ECF≌△HCA，運(yùn)用全等三角形性質(zhì)即可得到答案．【解答】（1）補(bǔ)全圖形如圖所示：（2）∵AC是矩形ABCD的對(duì)角線，延長(zhǎng)DC至M，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BCM＝90°．∵將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段CF，使線段CF在射線CB上，∠BAC＝30°，∴∠ACF＝60°，∵∠BAC的平分線與∠BCM的平分線交于點(diǎn)E，∴∠BAE＝∠CAE＝15°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°+45°＝105°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣105°﹣15°＝60°；（3）答：AE＝CE+EF．證明：在EA上截取EH＝EC，連接CH，∵∠AEC＝60°，∴△ECH是等邊三角形，∴∠EHC＝∠ECH＝60°，CE＝CH＝EH．∴∠ECF+∠FCH＝∠FCH+∠HCA＝60°，∴∠ECF＝∠HCA，∵將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段CF，∴CF＝CA．在△ECF與△HCA中，????=????∠??????=∠??????????=????，∴△ECF≌△HCA（SAS）．∴EF＝HA．∵AE＝EH+HA，∴AE＝CE+EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形．【壓軸五】圓的有關(guān)計(jì)算與證明【真題再現(xiàn)】（2021?北京第24題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)E．（1）求證：∠BAD＝∠CAD；（2）連接BO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE＝3，求GC和OF的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂徑定理得到????=????，根據(jù)圓周角定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)垂徑定理求出BC，根據(jù)圓周角定理得到∠BCG＝90°，根據(jù)勾股定理求出GC，證明△AFO∽△CFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OF．【詳析詳解】（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴????=????，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，∴BE=????2?????2=4，∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝8，∵BG是⊙O的直徑，∴∠BCG＝90°，∴GC=????2?????2=6，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴????????=????????，即56=????5?????，解得：OF=2511．【方法小結(jié)】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式5.1】（2021?平谷區(qū)二模）如圖，AB是⊙O直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CG，過(guò)點(diǎn)B作CG的垂線，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接CB．（1）求證：CB平分∠ABD；（2）若??????∠??=35，BC＝5，求CE長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CG，進(jìn)而證明OC∥ED，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCO＝∠DBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明即可；（2）連接AC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠BCD＝∠E，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：連接OC，∵CG是⊙O的切線，∴OC⊥CG，∵BD⊥CG，∴OC∥ED，∴∠BCO＝∠DBC，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，即CB平分∠ABD；（2）解：連接AC，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，∵OC⊥CG，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠BCD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，由圓周角定理得，∠A＝∠E，∴∠BCD＝∠E，在Rt△BCD中，sin∠BCD=35，BC＝5，∴BD＝3，由勾股定理得，CD=????2?????2=4，在Rt△ECD中，sin∠E=35，CD＝4，∴CE=203．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．【變式5.2】（2021?門頭溝區(qū)二模）已知，如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，⊙O過(guò)D、B、C三點(diǎn)，直線AC是⊙O的切線，OD∥AC．（1）求∠ACD的度數(shù)；（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半徑為2，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得∠OCA＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求DC，由直角三角形的性質(zhì)可求DE，即可求解．【解析】（1）∵直線AC是⊙O的切線，∴∠OCA＝90°，∵OD∥AC，∴∠DOC+∠OCA＝180°，∴∠DOC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，∵∠ACD＝∠ACO﹣∠OCD＝45°；（2）作DE⊥BC于點(diǎn)E．∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，∴????=22，∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，∴∠DEC＝90°，∴DE=2，∵∠B＝45°，∴DB＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．【變式5.3】（2021?順義區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，CB，CD分別切⊙O于點(diǎn)B，D，CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G，EF⊥OG于點(diǎn)F．（1）求證：∠FEB＝∠ECF；（2）若AB＝6，sin∠CEB=35，求CB和EF的長(zhǎng)．【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得∠OBC＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和推出∠FEB＝∠OCB，由切線長(zhǎng)定得到∠OCB＝∠ECF，由等量代換即可得到∠FEB＝∠ECF；（2）連接OD，在Rt△DEO中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出OE，即可得到EB，再在Rt△BCE中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出BC，在Rt△BCO中，根據(jù)勾股定理求出CO，證得△EOF∽△COB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出EF．【解答】（1）證明：∵CB是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°，∵EF⊥OG，∴∠OFE＝90°，∴∠COB+∠OCB＝90°，∠EOF+∠OEF＝90°，∵∠COB＝∠EOF，∴∠FEB＝∠OCB，∵CD，CB是⊙O的切線，∴∠OCB＝∠ECF，∴∠FEB＝∠ECF；（2）解：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∵sin∠CEB=35，∴????????=35，∵AB＝6，∴OD＝3，∴OE＝5，∴EB＝8，∵∠CBE＝90°，sin∠CEB=35，∴????????=35，設(shè)CB＝3x，CE＝5x，∴EB=????2?????2=4x＝8，∴x＝2，∴CB＝6，∴CO=????2+????2=35，∵∠EOF＝∠COB，∠FEO＝∠OCB，∴△EOF∽△COB，∴????????=????????，∴????6=535，∴EF＝25．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，正確作出輔助線，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5.4】（2021?海淀區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于D，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CD交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，AE，∠EAD＝22.5°．（1）求∠EAB的度數(shù)；（2）若BC＝22?2，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，交BE于點(diǎn)F，利用切線的性質(zhì)和垂徑定理求得????=????，進(jìn)而可求出∠EAB的度數(shù)；（2）利用條件易證△ODC為等腰直角三角形，設(shè)OD＝OB＝r，則OC=2r，利用BC＝22?2求出r的長(zhǎng)度，利用垂徑定理求得BE．【解析】（1）證明：連接OD，交BE于點(diǎn)F，如圖，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵BE∥CD，∴∠OFB＝90°，∴OD⊥BE，∴????=????，∴∠EAD＝∠DAB，∵∠EAD＝22.5°，∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；（2）解：∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝45°，∴∠ABE＝∠EAB＝45°，∵BE∥CD，∴∠C＝∠ABE＝45°，∴△ODC是等腰直角三角形，設(shè)OD＝OB＝r，則OC=2r，∴BC＝OC﹣OB=2r﹣r＝22?2，∴r＝2，∴BF＝OB?cos45°=2，∵OD⊥BE，∴EF＝FB，∴BE＝2BF＝22．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道與圓有關(guān)的計(jì)算，綜合運(yùn)用了垂徑定理，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)．【變式5.5】（2021?東城區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AC上．過(guò)點(diǎn)B作直線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，使得∠CBD＝∠CAB．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若AF＝4，????????=23，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）借助AC為直徑，則∠ABC＝90°，再證∠CBD＝∠OBA即可解決．（2）連接CF，則CF∥DE，可得∠D＝∠ACF，在Rt△ACF中求出AC＝6，通過(guò)勾股定理求出CF＝25，再由四邊形EFHB是矩形，只要求出FH的長(zhǎng)度即可．【解答】證明：（1）連接OB，∵圓心O在AC上．∴AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∵OA＝OB，∴∠CAB＝∠OBA，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＝∠OBA，∴∠OBC+∠CBD＝∠OBC+∠OBA＝90°，∴OB⊥BD，∵OB為半徑，∴BD是⊙O的切線；（2）連接CF，∵AC是直徑，∴∠AFC＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠AFC＝∠AED，∴CF∥DE，∴∠D＝∠ACF，在Rt△ACF中，∵AF＝4，∴sin∠ACF=????????=23，∴AC＝6，由勾股定理可得：CF=62?42=25，∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，∴四邊形EFHB是矩形，∴BE＝FH，∵OH∥AF，OA＝OC，∴H為CF的中點(diǎn)，∴FH＝BE=12????=5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的證明，以及勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【壓軸六】二次函數(shù)的性質(zhì)綜合問(wèn)題【真題再現(xiàn)】（2021?北京第26題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m）和點(diǎn)（3，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求該拋物線的對(duì)稱軸；（2）已知點(diǎn)（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在該拋物線上．若mn＜0，比較y1，y2，y3的大小，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)（1，3），（3，15）代入解析式求解．（2）分類討論b的正負(fù)情況，根據(jù)mn＜0可得對(duì)稱軸在y軸與直線x=12之間，再根據(jù)各點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離判斷y值大?。驹斘鲈斀狻浚?）∵m＝3，n＝15，∴點(diǎn)（1，3），（3，15）在拋物線上，將（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：3=??+??15=9??+3??，解得??=1??=2，∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），∴拋物線開口向上且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)b＝0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，x＞0時(shí)y隨x增大而增大，n＞m＞0不滿足題意，當(dāng)b＞0時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，同理，n＞m＞0不滿足題意，∴b＜0，拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，x＝1時(shí)m＜0，x＝3時(shí)n＞0，∴拋物線對(duì)稱軸在直線x＝0與直線x=12之間，即0＜???2??＜12，∴2﹣（???2??）＞32，???2???（﹣1）＜32，∴y1＜y2＜y3．【方法小結(jié)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．【變式訓(xùn)練】【變式6.1】（2021?順義區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）與y軸交于點(diǎn)A．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y的最小值是﹣2，求當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y的最大值；（3）拋物線上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），若對(duì)于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接寫出t的取值范圍．【分析】（1）令x＝0可得A的坐標(biāo)，用配方法把解析式化為頂點(diǎn)式即可得拋物線對(duì)稱軸；（2）由0≤x≤5時(shí)，y的最小值是﹣2，可知拋物線開口向上，且對(duì)稱軸x＝2，故最小值是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，可求出a及拋物線解析式，又拋物線開口向上時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，可知x＝5時(shí)函數(shù)取最大值，即可得到答案；（3）分兩種情況討論：（一）當(dāng)t+1＜2時(shí)，需滿足x＝t+3時(shí)的函數(shù)值小于x＝t+1時(shí)的函數(shù)值，（二）當(dāng)t+1＞2時(shí)，需滿足x＝t+2的函數(shù)值大于x＝t的函數(shù)值，分別列出不等式即可得到答案．【解析】（1）令x＝0得y＝2，∴A（0，2），∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x2﹣4x+4）+2﹣4a＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝2；（2）由0≤x≤5時(shí)，y的最小值是﹣2，可知拋物線開口向上，∵對(duì)稱軸是直線x＝2，∴最小值在頂點(diǎn)處取得，∴2﹣4a＝﹣2，解得a＝1，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣4x+2，∵拋物線開口向上時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，且|0﹣（﹣2）|＜|2﹣5|，∴當(dāng)x＝5時(shí)，y有最大值，y＝52﹣4×5+2＝7；（3）對(duì)于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，分兩種情況：（一）當(dāng)t+1＜2時(shí)，需滿足x＝t+3時(shí)的函數(shù)值小于x＝t+1時(shí)的函數(shù)值，如圖：∴a（t+3）2﹣4a（t+3）+2＜a（t+1）2﹣4a（t+1）+2，解得t＜0；（二）當(dāng)t+1＞2時(shí)，需滿足x＝t+2的函數(shù)值大于x＝t的函數(shù)值，如圖：∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+2＞at2﹣4at+2，解得t＞1，綜上所述，對(duì)于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，則t＜0或t＞1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分類畫出圖形，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)列不等式．【變式6.2】（2021?海淀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于y軸．（1）求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）；（2）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點(diǎn)．①當(dāng)m＝0時(shí)，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若對(duì)于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式x=???2??，求解即可．（2）①y1＞y2．利用圖象法，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷即可．②通過(guò)計(jì)算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸x＝m對(duì)稱的兩點(diǎn)，下面討論當(dāng)m變化時(shí)，y軸與點(diǎn)P，Q的相對(duì)位置：分三種情形：如圖2，當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)（含點(diǎn)P），如圖3，當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)（含點(diǎn)Q），如圖4，當(dāng)y軸在點(diǎn)P，Q之間時(shí)（不含P，Q），分別求解即可．【解析】（1）拋物線y＝x2﹣2mx+m2的對(duì)稱軸為直線x=??2??2=m．（2）①y1＞y2．理由：當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)解析式是y＝x2，對(duì)稱軸為y軸；所以圖形G上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x和y，滿足y隨x的增大而減??；∵x1＜x2，∴y1＞y2．②通過(guò)計(jì)算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸x＝m對(duì)稱的兩點(diǎn)，下面討論當(dāng)m變化時(shí)，y軸與點(diǎn)P，Q的相對(duì)位置：如圖2，當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)（含點(diǎn)P），經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)相同，y1＝y(tǒng)2，不符題意；如圖3，當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)（含點(diǎn)Q），點(diǎn)M，N分別和點(diǎn)P，Q重合，y1＝y(tǒng)2，不符題意；如圖4，當(dāng)y軸在點(diǎn)P，Q之間時(shí)（不含P，Q），經(jīng)翻折后，點(diǎn)N在l下方，點(diǎn)M，P重合，在l上方，y1＞y2，符合題意．此時(shí)有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2．綜上所述，m的取值范圍為﹣2＜m＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱翻折變換，函數(shù)的增減性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，正確作出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式6.3】（2021?房山區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）．點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足x1＜x2，x1+x2＝2．（1）用含a的代數(shù)式表示b；（2）當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸及a的值；（3）當(dāng)y1＜y2時(shí)，求a的取值范圍．【分析】（1）將A（3，3）代入y＝ax2+bx，變形即可得答案；（2）由y1＝y(tǒng)2知M、N關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即可根據(jù)x1+x2＝2求出對(duì)稱軸；（3）由??1???2=????12+(1?3??)??1?????22?(1?3??)??2且y1＜y2得1﹣a＞0即可得答案．【解析】（1）∵過(guò)A（3，3），∴9a+3b＝3，∴b＝1﹣3a；（2）∵M(jìn)（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，y1＝y(tǒng)2，∴M（x1，y1），N（x2，y2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，而x1+x2＝2，∴對(duì)稱軸為直線??=??1+??22=1，即：???2??=3???12??=1，∴a＝1；（3）將點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）代入y＝ax2+（1﹣3a）x得：??1=????12+(1?3??)??1，??2=????22+(1?3??)??2，∴??1???2=????12+(1?3??)??1?????22?(1?3??)??2，＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+（1﹣3a）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a+1﹣3a）＝（x1﹣x2）（1﹣a），∵x1＜x2，y1＜y2，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0．∴1﹣a＞0．∴a＜1且a≠0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式6.4】（2021?豐臺(tái)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+a﹣5（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x＝1．（1）用含a的式子表示b；（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若拋物線與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（0，﹣4），且當(dāng)m≤x≤n時(shí)，y的取值范圍是﹣5≤y≤n，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出一個(gè)滿足條件的n的值和對(duì)應(yīng)m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式得???2??=1，可得b的值；（2）由（1）知b＝﹣2a，把頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x＝1代入拋物線可得y＝﹣5，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣5）；（3）把頂點(diǎn)（0，﹣4）代入拋物線解析式中得a﹣5＝﹣4，由（1）得b＝﹣2a，聯(lián)立方程可得a，b的值，根據(jù)題意橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，即拋物線與y＝x聯(lián)立可得x＝4或x＝﹣1，即n＝4，m≤n可推出m≤1．【解析】（1）∵???2??=1，∴b＝﹣2a；（2）由（1）得b＝﹣2a，∴拋物線為y＝ax2﹣2ax+a﹣5，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a﹣2a+a﹣5＝﹣5，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣5）；（3）∵拋物線與y軸交點(diǎn)為A（0，﹣4），聯(lián)立方程得???5=?4??=?2??，解得：??=1??=?2，∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣4，∵當(dāng)m≤x≤n時(shí)，y的取值范圍是﹣5≤y≤n，由圖象可知，﹣5為拋物線底點(diǎn)，此時(shí)x＝1，由??=??2?2???4??=??，得x＝4，x＝﹣1，∴n＝4或n＝﹣1（舍去）（∵m≤n），∴當(dāng)n＝4時(shí)，m≤n，﹣2≤m≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)壓軸題，綜合性較強(qiáng)，解本題關(guān)鍵掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)畫二次函數(shù)圖象，結(jié)合圖象來(lái)分析．【變式6.5】（2021?朝陽(yáng)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）為拋物線y＝ax2﹣2ahx+ah2+1（a＜0）上的兩點(diǎn)．（1）當(dāng)h＝1時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸；（2）若對(duì)于0≤x1≤2，4﹣h≤x2≤5﹣h，都有y1≥y2，求h的取值范圍．【分析】（1）先化拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2+1，依此可求拋物線的對(duì)稱軸；（2）設(shè)拋物線上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，yA），B（2，yB），C（4﹣h，yC），D（5﹣h，yD），由于a＜0，分情況討論即可求得答案．【解析】（1）當(dāng)h＝1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝ax2﹣2ax+a+1，∴y＝a（x﹣1）2+1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1；（2）設(shè)拋物線上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，yA），B（2，yB），C（4﹣h，yC），D（5﹣h，yD），∵a＜0，∴y1的最小值必為yA或yB．①由a＜0可知，當(dāng)2≤?≤52時(shí)，存在y2≥y1，不符合題意．②當(dāng)h＜2時(shí)，總有4﹣h＞2．∵當(dāng)x＞h時(shí)，y隨x的增大而減小，∴yB＞yC＞yD．當(dāng)?≤43時(shí)，4﹣h﹣h≥|h|．∴yA≥yC＞yD，符合題意．當(dāng)43＜?＜2時(shí)，4﹣h﹣h＜h．∴yA＜yC，不符合題意．③當(dāng)?＞52時(shí)，∵當(dāng)x＜h時(shí)，y隨x的增大而增大，∴yC＜yD，yA＜yB．當(dāng)h≥5時(shí)，5﹣h≤0．∴yD≤yA，符合題意．當(dāng)52＜?＜5時(shí)，5﹣h＞0．∴yD＞yA，不符合題意．綜上所述，h的取值范圍是?≤43或h≥5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)上的點(diǎn)的特征，熟練掌握對(duì)稱軸公式及求頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)圖象及性質(zhì)確定t的范圍是本題的難點(diǎn)．【壓軸七】幾何綜合問(wèn)題【真題再現(xiàn)】（2021?北京第27題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE．（1）比較∠BAE與∠CAD的大?。挥玫仁奖硎揪€段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．【思路點(diǎn)撥】（1）由∠DAE＝∠BAC可得∠BAE＝∠CAD，然后SAS證△ABE≌△ACD即可；（2）作EH⊥AB交BC于H，可證△BEF≌△BHF得BF＝BH，再證MH＝MD，再借助MN∥HF，由平行線分線段成比例即可證出．【詳析詳解】（1）∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，????=????∠??????=∠??????????=????，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，∴BE+MD＝BM；（2）如圖，作EH⊥AB交BC于H，由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABC，∴∠ABE＝∠ABD，在△BEF和△BHF中，∠??????=∠??????????=????∠??????=∠??????，∴△BEF≌△BHF（ASA），∴BF＝BH，由（1）知：BE+MD＝BM，∴MH＝MD，∵M(jìn)N∥HF，∴????????=????????，∴EN＝DN．【方法小結(jié)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的對(duì)稱性等知識(shí)，作EH⊥AB構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】【變式7.1】（2021?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于點(diǎn)D，連接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，連接AE．（1）直接判斷AE與AD的位置關(guān)系（2）如圖2，延長(zhǎng)AD，CB交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AF交BC于點(diǎn)G，試判斷FG與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在（2）的條件下，若????=2，????=2，求EG的長(zhǎng)．【分析】（1）利用SAS定理證明△ACE≌△ABD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥BD交DF于點(diǎn)M，證明△CEG≌△BMF，得到CG＝BF，進(jìn)而證明FG＝BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DE，進(jìn)而求出CD，證明△CEG∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程求出GE．【解析】（1）AE⊥AD；理由如下：∵∠BDF＝∠BAC＝90°，∠DFB＝∠AFC，∴∠DBA＝∠ACE，在△ACE和△ABD中，????=????∠??????=∠??????????=????，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠EAC＝∠BAD，∵∠BAE+∠EAC＝90°，∴∠BAE+∠BAD＝90°，即∠DAE＝90°，∴AE⊥AD；（2）FG=2AB，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥BD交DF于點(diǎn)M，∵△ACE≌△ABD，∴AE＝AD，∵AE⊥AD，∴∠ADE＝45°，∵BD⊥CD，∴∠BDM＝45°，∴△BDM為等腰直角三角形，∴BD＝BM，∴CE＝BM，∵EG∥AF，∴∠EGC＝∠MFB，∵∠FBM+∠ABD＝45°，∠GCE+∠ACE＝45°，∴∠FBM＝∠GCE，∴△CEG≌△BMF（AAS），∴CG＝BF，∴CG+BG＝BF+BG，∴FG＝BC，∵BC=2AB，∴FG=2AB；（3）∵AD＝AE＝2，△ADE為等腰直角三角形，∴DE=2AE＝22，∵CE=2，∴DC＝32，∵BD＝CE=2，∴DM=2BD＝2，∵△CEG≌△BMF，∴EG＝FM，設(shè)EG＝FM＝x，∴DF＝2+x，∵EG∥DF，∴△CEG∽△CDF，∴????????=????????，即????+2=232，解得，x＝1，∴EG＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式7.2】（2021?豐臺(tái)區(qū)二模）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上（不與點(diǎn)O重合），且OA＞OB，OP平分∠MON，線段AB的垂直平分線分別與OP，AB，OM交于點(diǎn)C，D，E，連接CB，在射線ON上取點(diǎn)F，使得OF＝OA，連接CF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：CB＝CF；（3）用等式表示線段CF與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE垂直平分AB，CF⊥OP，垂足分別為D，C，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到CA＝CB，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC＝∠FOC，則可判斷△AOC≌△FOC，從而得到CB＝CF；（3）證明∠ACB＝90°，結(jié)合（2）證明三角形ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而可得線段CF與AB之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）解：如圖即為補(bǔ)全的圖形；（2）證明：連接CA，∵OP是∠MON的平分線，∴∠AOC＝∠FOC，在△AOC和△FOC中，????=????∠??????=∠??????????=????，∴△AOC≌△FOC（SAS），∴CA＝CF，∵CD是線段AB的垂直平分線，∴CA＝CB，∴CB＝CF；（3）AB=2CF，證明：∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO＝∠CFB，∵CF＝CB，∴∠CBF＝∠CFB，∴∠CAO＝∠CBF，∵∠CBF+∠CBO＝180°，∴∠CAO+∠CBO＝180°，∴∠AOB+∠ACB＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°，∵CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2CB，∴AB=2CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．【變式7.3】（2021?西城區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)P為△ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)C位于直線AB異側(cè)，且∠APB＝45°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥PA，垂足為D．（1）當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段AP與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)∠ABP＞90°時(shí)，①用等式表示線段AP與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②在線段AP上取一點(diǎn)K，使得∠ABK＝∠ACD，畫出圖形并直接寫出此時(shí)????????的值．【分析】（1）首先畫出圖形，得出CD和CA重合，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AP與AF的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得AF與CD的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；②延長(zhǎng)CD、BK交于點(diǎn)Q，先證△AGC∽△QGB，據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠CAG＝∠Q＝45°，再證△QDK∽△PBK，據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠PBK＝∠QDK＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∴AB=2AC，∵∠ABP＝90°，∠APB＝45°，∴∠BAP＝45°，∴∠CAP＝∠CAB+∠BAP＝90°，∵CD⊥PA，∴CD和CA重合，∴AP=2AB，∴AP=2×2AC＝2AC＝2CD；（2）①AP＝2CD，證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP于點(diǎn)F，∵∠BPA＝45°，∴∠FAP＝∠FPA＝45°，∴????????=2，∴AP=2AF．∵∠ABF＝∠BAP+∠P＝∠BAP+45°，又∵∠CAD＝∠BAP+∠CAB＝∠BAP+45°，∴∠CAD＝∠FBA．又∵∠ADC＝∠AFB＝90°，∴△CAD∽△ABF，∴????????=????????=2，∴AF=2CD，∴AP=2AF＝2CD；②延長(zhǎng)CD、BK交于點(diǎn)Q，∵∠1＝∠2，∠ACG＝∠ABK，∴△AGC∽△QGB，∴∠CAG＝∠Q＝45°，∵∠P＝45°，∴∠Q＝∠P，∵∠3＝∠4，∴△QDK∽△PBK，∴∠PBK＝∠QDK＝90°，∵∠P＝45°，∴KP=2BP，∴????????=2．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了相似形三角形的判定與性質(zhì)，利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7.4】（2021?石景山區(qū)一模）閱讀下面材料：小石遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，∠ABC＝90°，DE分別是∠ABC的邊BA，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），∠ADE與∠DEC的角平分線交于點(diǎn)P，△DBE的周長(zhǎng)為a，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BA于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，求PM+PN與△DBE的周長(zhǎng)a的數(shù)量關(guān)系．小石通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)了垂線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)造全等三角形和直角三角形，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系為PM＝PN；PM+PN與a的數(shù)量關(guān)系是PM+PN＝a．參考小石思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖2，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，其它條件不變，判斷點(diǎn)P到DE的距離與△DBE的周長(zhǎng)a的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PG⊥DE，垂足為G，由角平分線的性質(zhì)得PM＝PG＝PN，根據(jù)HL得Rt△PNE≌Rt△PGE，Rt△PGD≌Rt△PMD，從而得到結(jié)論；連接BP，過(guò)P作PH⊥DE于H，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，然后根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)關(guān)系可得答案．【解析】過(guò)點(diǎn)P作PG⊥DE，垂足為G，∵∠ADE與∠DEC的角平分線交于點(diǎn)P，PM⊥BA于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，∴PM＝PG＝PN，∠PNE＝∠PGE＝∠PGD＝∠PMD＝90°，∵PE＝PE，PD＝PD，∴Rt△PNE≌Rt△PGE（HL），Rt△PGD≌Rt△PMD（HL），∴MD＝GD，NE＝GE，∵△DBE的周長(zhǎng)為a，∴PM+PN＝BD+DM+BE+EN＝BD+DG+BE+GE＝BD+BE+DE＝a．故答案為：PM＝PN，PM+PN＝a；解決問(wèn)題：PH=36a．連接BP，過(guò)P作PH⊥DE于H，∵DP平分∠ADE，PM⊥BA，∴PM＝PH，∠MDP＝∠HDP，∴△PMD≌△PHD（AAS），∴DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，∴PM＝PN，∵PM⊥BM，PN⊥BC，∴Rt△BMP≌Rt△BNP（HL），∴∠PBN＝∠PBM∠12∠ABC＝30°，MB＝NB，∵M(jìn)B+NB＝DB+DM+BE+EN＝PB+BE+DE＝a，∴MB＝NB=??2，∴PM＝MB?tan30°=36a．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)及角平分線性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、三角函數(shù)是解決此題關(guān)鍵．【變式7.5】（2021?海淀區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射線CM，∠ACM＝80°．D在射線CM上，連接AD，E是AD的中點(diǎn)，C關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷AB與DF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）平面內(nèi)一點(diǎn)G，使得DG＝DC，F(xiàn)G＝FB，求∠CDG的值．【分析】（1）由題意畫出圖形，如圖所示；（2）由“SAS”可證△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由題意可得點(diǎn)G在以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓上，點(diǎn)G在以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B為半徑的圓上，則兩圓的交點(diǎn)為G，由“SSS”可證△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG＝140°，即可求解．【解析】（1）如圖所示：（2）AB＝DF，理由如下：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵C關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如圖2，連接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓上，∵FG＝FB，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B為半徑的圓上，∴兩圓的交點(diǎn)為G，∵AB＝DF，AF＝DG，F(xiàn)B＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可證△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，綜上所述：∠CDG＝40°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，確定點(diǎn)G的位置是本題的關(guān)鍵．【壓軸八】新定義與閱讀綜合問(wèn)題【真題再現(xiàn)】（2021?北京第28題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．對(duì)于點(diǎn)A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分別是B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是B2C2；（2）△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及點(diǎn)A到圓上一點(diǎn)距離的范圍，結(jié)合圖形判斷，即可求出答案．（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，“關(guān)聯(lián)線段”的定義以及等邊三角形的性質(zhì)，求出B′C′的位置，從而求出t的值．（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及“關(guān)聯(lián)線段”的定義，可知四邊形AB′OC′的各邊長(zhǎng)，利用四邊形的不穩(wěn)定性，畫出OA最小和最大時(shí)的圖形