北京西城重點學校高二（上）開學考數(shù)學一、選擇題（共8小題，每小題4分，共32分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A.1 B. C.2 D.2.給出下列命題：①三個非零向量，，不能構成空間的一個基底，則，，共面.②若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則，共線.③若，是兩個不共線的向量，（，，且），則構成空間的一個基底.其中真命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.33.珠算被譽為中國的第五大發(fā)明，最早見于漢朝徐岳撰寫的《數(shù)術記遺》?2013年聯(lián)合國教科文組織正式將中國珠算項目列入教科文組織人類非物質文化遺產.如圖，我國傳統(tǒng)算盤每一檔為兩粒上珠，五粒下珠，也稱為“七珠算盤”.未記數(shù)（或表示零）時，每檔的各珠位置均與圖中最左檔一樣；記數(shù)時，要撥珠靠梁，一個上珠表示“5”，一個下珠表示“1”，例如：當千位檔一個上珠、百位檔一個上珠、十位檔一個下珠、個位檔一個上珠分別靠梁時，所表示的數(shù)是5515.現(xiàn)選定“個位檔”、“十位檔”、“百位檔”和“千位檔”，若規(guī)定每檔撥動一珠靠梁（其它各珠不動），則在其可能表示的所有四位數(shù)中隨機取一個數(shù)，這個數(shù)能被3整除的概率為（）A. B. C. D.4.已知兩個平面相互垂直，下列命題：①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線；②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線；③一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.45.在中，已知：：2：3：4且，則向量在向量上的投影的數(shù)量是（）A.4 B.5 C.6 D.76.“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟市，該樓有三層，前對中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留，故有此名.下面是復建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計）從地面點看樓頂點的仰角為，沿直線前進79米到達點，此時看點的仰角為，若，則樓高約為（）A.65米 B.74米 C.83米 D.92米7.已知四棱錐的底面為邊長為2的菱形，，，為中點，則與底面所成角的正切值為（）A.2 B. C. D.8.在中，，，是邊的中點.為所在平面內一點，且滿足，則的值為（）A. B.1 C. D.二、填空題（共4小題，每小題4分，共16分）9.某工廠有，，三個車間，車間有600人，車間有500人.若通過比例分配的分層隨機抽樣方法得到一個樣本量為30的樣本，其中車間10人，則樣本中車間的人數(shù)為______.10.若三個元件，，按照如圖所示的方式連接成一個系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其他元件的影響，當元件正常工作且，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)就正常工作，若元件，，正常工作的概率一次為0.7，0.8，0.9，則這個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率為______.11.在中，，，，，則______，設（），且，則的值為______.12.如圖，在四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，構成三棱錐，則在三棱錐中，下列判斷正確的是______.（寫出所有正確的序號）①平面平面②直線與平面所成角是③平面平面④二面角余弦值為三、解答題（共3小題，共52分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）13.（10分）如圖所示，從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出40名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下，觀察圖形，回答下列問題.（1）80～90這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、第45百分位數(shù)；（3）從成績是80分以上（包括80分）的學生中選2人，求他們在同一分數(shù)段的概率.14.（13分）在中，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且的面積，求的值.15.（14分）已知四棱錐中⊥平面，且，底面為直角梯形，，，，，M，N分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求截面與底面所成二面角的大小；（3）求點A到平面的距離.參考答案一、選擇題（共8小題，每小題4分，共32分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結合純虛數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：為純虛數(shù)，則，解得，故，其虛部為2.故選：C.2.【答案】C【分析】直接利用空間基底，共面向量，共線向量的基礎知識的應用求出結果．【解答】解：①已知不是空間的一個基底，所以，，共面.故正確.②若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，所以，，所以和為共線向量，故正確.空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底，這句話教材上的原話，作為空間基底的前提為不共面，故錯誤.③若，是兩個不共線的向量，（，，且），當時，所以，，共面，則不構成空間的一個基底，故錯誤.故選：C.3.【答案】C【分析】基本事件總數(shù)，利用列舉法求出這個數(shù)能被3整除包含的基本事件有6個，由此能求出這個數(shù)能被3整除的概率．【解答】解：選定“個位檔”、“十位檔”、“百位檔”和“千位檔”，規(guī)定每檔撥動一珠靠梁（其它各珠不動），則在其可能表示的所有四位數(shù)中隨機取一個數(shù)，基本事件總數(shù)，這個數(shù)能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6個，這個數(shù)能被3整除的概率為.故選：C.4.【答案】A【分析】利用面面垂直的性質及空間中直線與直線、直線與平面的位置關系，對①、②、③、④四個選項逐一判斷即可【解答】解：對于①，當兩個平面垂直時，一個平面內的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內的任意一條直線，故①錯誤；對于②，設平面平面，，，平面⊥平面，當時，必有，而，，而在平面內與平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與垂直，故一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線，即②正確；對于③，當兩個平面垂直時，一個平面內的任一條直線不垂直于另一個平面，故③錯誤；對于④，若此點在交線上，那么作出來的線就不一定與另一平面垂直了，故④錯誤；故選：A.5.【答案】D【分析】由題意利用正弦定理可設，則，．再根據(jù)，求得的值，可得a、b、c的值．再由余弦定理求得，進而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在中，已知：：2：3：4；由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，設，則，.再根據(jù)，求得，故有，，.由余弦定理可得：，則向量在向量上的投影的數(shù)量.故選：D.6.【答案】B【分析】不妨設，然后得到，再根據(jù)，求出的值即可．【解答】解：不妨設，根據(jù)條件可得，，，，，，米.故選：B.7.【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可知平面，找到與底面所成角，然后計算即可．【解答】解：連接，交于點，并連接，，如圖：因為底面為邊長為2的菱形，所以為，的中點，又，，所以，，又，，平面，所以⊥平面，所以與底面所成角，，，，又，所以，所以.故選：B.8.【答案】D【分析】由向量的中點表示和向量數(shù)量積的定義和性質，計算可得所求值．【解答】解：是邊的中點，可得，則，由于，可得和為等腰三角形，即有，同理可得，則.故選：D.二、填空題（共4小題，每小題4分，共16分）9.【答案】見試題解答內容【分析】利用分層抽樣的性質列出方程，由此能求出結果．【解答】解：設車間共有人，樣本中車間的人數(shù)為；由分層抽樣的性質得：，解得.故；故答案為：8.10.【答案】0.314.【分析】系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個步驟，A正常工作且B，C中正常工作的情況，分別計算其概率可求得．【解答】解：系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個步驟，正常工作且，至少有一個正常工作的情況，正常工作的概率為：0.7；，至少有一個正常工作的情況的概率為1減去，都不正常工作的情況的概率，即：，至少有一個正常工作的概率為：，所以：這個系統(tǒng)正常工作的概率為：，故這個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率為.故答案為：0.314.11.【答案】第一空：3；第二空：.【分析】易知是的三等分點，則，平方可求；將代入，可求.【解答】解：因為，所以點D為線段上靠近點C的三等分點，由三點共線定理可知，上式左右同時平方得，已知，，，所以，解得；因為，，所以，化簡得，因為，，，所以，解得，故答案為：第一空：3；第二空：.12.【答案】見試題解答內容【分析】①反證法，假設平面平面，容易推出垂直于平面，從而，出矛盾；②利用幾何法找到其平面角為，求解即可判斷；③證明平面，從而得到平面平面；④證明為二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判斷．【解答】解：在四邊形中，由已知可得，假設平面⊥平面，又平面⊥平面，且平面平面，可得⊥平面，有，與矛盾，則假設錯誤，故①錯誤；在四邊形中，由已知可得，又平面⊥平面，且平面平面，則⊥平面，為直線與平面所成角是，故②正確；由判斷②時可知，⊥平面，則，又，，則⊥平面，而平面，則平面⊥平面，故③正確；由判斷③時可知，⊥平面，則為二面角的平面角，設，則，由，得，得，故④正確.判斷正確的是②③④.故答案為：②③④.三、解答題（共3小題，共52分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）13.【答案】（1）頻數(shù)為4，頻率為0.1；（2）平均數(shù)為68.5，眾數(shù)為75，第45百分位數(shù)為68；（3）概率為.【分析】（1）由題意，根據(jù)頻率分布直方圖所給信息得到除去40～50和80～90這兩組的頻率之和，利用頻率的性質即可得到80～90這一組的頻率，再結合頻率、頻數(shù)之間的關系，進而計算即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖所給信息進行計算即可；（3）記“選出的2人在同一分數(shù)”為事件Y，得到80～90和90～100之間的人數(shù)，將所有情況列舉出來，代入等可能事件的概率公式中進行求解即可．【解答】解：（1）已知50～60這一組的頻率為，60～70這一組的頻率為，70～80這一組的頻率為，90～100這一組的頻率為，則80～90這一組的頻率為，頻數(shù)為；（2）這次競賽成績的平均數(shù)為，因為70～80這一組的頻率最大，人數(shù)最多，所以眾數(shù)為75，又40～50這一組的頻率為0.1，50～60這一組的頻率為0.15，60～70這一組的頻率為0.25，所以第45百分位數(shù)在60～70這一組內，不妨設第45百分位數(shù)的值為，可得，解得，則這次競賽成績的第45百分位數(shù)為68；（3）設選出的2人在同一分數(shù)為事件，因為80～90之間的人數(shù)為人，不妨設這四個人為a，b，c，d；因為90～100之間有人，不妨設為A，B，要從這6人中選出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15個基本條件，其中事件包括，，，，，，共7個基本事件，則.14.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求的值，結合范圍，利用同角三角函數(shù)基本關系式即可求解．（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解c的值．【解答】解：（Ⅰ）因為，所以，因為，所以，可得.（Ⅱ）因為，由正弦定理可得，所以，因為的面積，可得，所以，所以.15.【答案】見試題解答內容【分析】此類題一般有兩種解法，一種是利用空間向量方法來證明，一種是用立體幾何中線面位置關系進行證明，本題提供兩種解法向量法：對于（1）求證：平面，可求出線的方向向量與面的法向量，如果兩者的內積為0則說明線面平行對于（2）求截面與底面所成二面角的大小，求出兩個平面的法向量，然后根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關系，求解；對于（3）求點A到平面的距離，求出平面上任一點與A連線所對應的向量，求這個向量在該平面的法向量上的投影即可，此法求點到面的距離甚為巧妙．幾何法：（1）求證平面，用線面平行的判定定理證明即可；（2）求截面與底面所成二面角的大小，先在圖形中作出二面角的平面角，再證明其是二面角的平面角，然后根據(jù)題設中的條件求出平面角的三角函數(shù)值，一般要在一個三角形中求解函數(shù)值．（3）求點A到平面的距離，須先作出點A在面上的垂線段，然后在三角形中求出此線段的長度即可．【解答】解：法一向量法：以為原點，以，，分別為x，y，z建立空間直角坐標系，由，，，，M，N分別是，的中點，可得：，，，，，，，，，，，設平面的的法向量為，則有：令，則，，（3分），又平面，平面；（2）設平面的的法向量為，又，則有：令，則，，又為平面的法向量，，又截面與底面所成二面角為銳二面角，截面與底面所成二面角的大小為，（3），所求的距離；法二，幾何法：（1）取的