鞍山市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一.選擇題（共5小題）1.如若關(guān)于x的方程x2+ax+6＝0有一個(gè)根為﹣3，則a的值是（）A.9 B.5 C.3 D.﹣32.中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.關(guān)于y＝（x+1）2+3的圖象，下列敘述正確的是（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）B.對(duì)稱軸為直線x＝1C.當(dāng)x≥﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大D.開口向下4.如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0與x2﹣x+3＝0的所有實(shí)數(shù)根的和等于（）A.2 B.﹣4 C.4 D.36.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，以為位似中心，把格點(diǎn)放大為原來(lái)的2倍，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（）A.點(diǎn) B.點(diǎn) C.點(diǎn) D.點(diǎn)7.若點(diǎn)A（4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+b的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是（）A.y1＜y3＜y2 B.y3＜y1＜y2 C.y1＜y2＜y3 D.y2＜y1＜y38.一次綜合實(shí)踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，.請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（）A. B. C. D.9.如圖，在同一直角坐標(biāo)系下，一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A. B. C. D.10.如圖，是等邊邊上的一點(diǎn)，且，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)與重合，折痕為，點(diǎn)，分別在和上，則（）A. B. C. D.二.填空題（共3小題）11.若關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______.12.已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+b2＝1，則代數(shù)式a2﹣4b2+11的最小值是______.13.如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的正弦值為______.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)內(nèi)有點(diǎn)A0（1，0），點(diǎn)A0第一次跳動(dòng)到點(diǎn)A1（﹣1，1），第二次點(diǎn)A1跳動(dòng)到A2（2，1），第三次點(diǎn)A2跳動(dòng)到A3（﹣2，2），第四次點(diǎn)A3跳動(dòng)到A4（3，2），…依此規(guī)律動(dòng)下去，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)是______.15.如圖，中，，，，把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到，交射線于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，則線段的長(zhǎng)為______.（全對(duì)得3分，全不對(duì)得0分，其他情況得2分）三.解答題（共3小題）16.解下列方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）17.（共8分）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線.（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式并用配方法求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).（2）點(diǎn)F在拋物線上，且位于DB之間.過(guò)點(diǎn)F作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)G、點(diǎn)F作x軸的垂線垂足分別為H、E.求矩形EFGH周長(zhǎng)的最大值18.如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，在邊上取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（1）若，求證：；（2）若，，求的長(zhǎng).19.小明投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每月銷售的數(shù)量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：x/（元/件）22253035…y/件280250200150…在銷售過(guò)程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，物價(jià)局規(guī)定每件商品的利潤(rùn)不得高于成本價(jià)的60%，（1）請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.（2）設(shè)小明每月獲得利潤(rùn)為w（元），求售價(jià)定為多少元/件時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？20.黨的十八大以來(lái)，復(fù)興號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)31個(gè)省區(qū)市全覆蓋按照有關(guān)規(guī)定：距離鐵軌道200米以內(nèi)的區(qū)域噪音影響超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)，不宜臨路新建學(xué)校、醫(yī)院、敬老院和集中住宅區(qū)等噪聲敏感建筑物.請(qǐng)閱讀以下材料，完成問題：材料1：在中的所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.材料2：如圖是一個(gè)小區(qū)平面示意圖，矩形為一新建小區(qū)，直線為高鐵軌道，、是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)、、在一直線上，且，.小王看中了①號(hào)樓單元的一套住宅，與售樓人員的對(duì)話如圖：（1）小王心中一算，發(fā)現(xiàn)售樓人員的話不可信，請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明理由；（2）若一列長(zhǎng)度為228米的高鐵以252千米/時(shí)的速度通過(guò)時(shí)，則單元用戶受到影響時(shí)間有多長(zhǎng)？（溫馨提示：，，）21.（共9分）（1）在數(shù)學(xué)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，求的面積小明、小宇同學(xué)提出了他們的解題思路①小明同學(xué)從三角形ABC的形狀入手②如圖2：小宇同學(xué)連接OC，將三角形ABC的面積轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小三角形的面積的和差.請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解法，求出的面積（2）李老師肯定了這兩名同學(xué)的思路，并指出小宇的解法對(duì)于研究三角形（有兩個(gè)點(diǎn)在軸上）面積具有普遍意義.李老師提出了下面的問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與一次函數(shù)交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D是某函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，且的面積為4，利用小字同學(xué)的解法求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo).說(shuō)明：①點(diǎn)D的位置需要同學(xué)自己確定②請(qǐng)先在答題卡上寫明點(diǎn)D的具體位置，并在答題卡上的對(duì)應(yīng)圖形上標(biāo)清點(diǎn)D.如果需要增加新的函數(shù)圖像，直接在答題卡，上畫出圖像并標(biāo)清點(diǎn)D.22.【閱讀材料】如圖1，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證.圖1 圖2 圖3【類比遷移】（1）如圖2，是的中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求證：.小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明.證明：如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，…….請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程.【方法運(yùn)用】（2）如圖3，在等邊中，是延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接.把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接.是線段的中點(diǎn)，連接，.（1）請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（2）若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).備用圖23.（共12分）自從我校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組成立以來(lái)，參與同學(xué)集思廣益，興趣盎然，一次某學(xué)習(xí)小組為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐——應(yīng)用——探究的過(guò)程圖1 圖2 圖3【實(shí)踐】：（1）他們對(duì)一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得隧道的路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)你求出拋物線的解析式【應(yīng)用】：（2）按規(guī)定機(jī)動(dòng)車輛通過(guò)隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不考慮兩車之間的空隙，可借助圖2解決）？【探究】：（3）該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探究拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，提出了以下問題，請(qǐng)予解答：如圖3，過(guò)原點(diǎn)作一條直線，交拋物線于M，交拋物線的對(duì)稱軸于N，P為直線OM上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，問在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案一.選擇題（共5小題）1-5BDCDD 6-10ACBCB1.【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+ax+6＝0有一個(gè)根為﹣3，∴（﹣3）2+（﹣3）a+6＝0，9﹣3a+6＝0，3a＝15，a＝5，故選：B.【分析】利用拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.3.【解答】解：∵y＝（x+1）2+3∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），對(duì)稱軸直線為x＝﹣1，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，不符合題意；∵a＝1＞0，∴拋物線的開口向上，有最小值為3，且當(dāng)x≥﹣1時(shí)，y隨x增大而增大，故選項(xiàng)C正確，符合題意，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意，故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.5.【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)兩根之和公式求出兩根之和為3.方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以該方程無(wú)實(shí)數(shù)根.∴方程x2﹣3x﹣1＝0與x2﹣x+3＝0一共只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即所有實(shí)數(shù)根的和3.故選：D.7.【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+b，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，B（﹣1，y2）與（3，y2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵1＜3＜4，∴y1＜y2＜y3，故選：C.9.【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象來(lái)判斷即可.【解答】解：A、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由拋物線可知，，a＞0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)正確；D、由拋物線可知，a＜0，，得b＞0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵.二.填空題（共3小題）11. 12.3 13. 14.（﹣1012，1012）15.5或6或11.【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0沒有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k＜0，解得：k＜﹣.故答案為：k＜﹣.12.【解答】解：∵a+b2＝1，∴b2＝1﹣a，a≤1，∴a2﹣4b2+11＝a2﹣4（1﹣a）+11＝a2+4a﹣4+11＝a2+4a+7＝（a+2）2+3，∵a≤1，∴當(dāng)a＝﹣2時(shí)，代數(shù)式a2﹣4b2+11有最小值等于3，故答案為：3.14.【分析】根據(jù)偶數(shù)次跳動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，可得出變化規(guī)律“A2n﹣1（﹣n，n），（n為非負(fù)整數(shù)）”，再代入2n﹣1＝2023即可求出結(jié)論.【解答】解：因?yàn)锳1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3），A7（﹣4，4），A8（5，4），…A2n﹣1（﹣n，n），A2n（n+1，n）（n為正整數(shù)），所以2n﹣1＝2023，∴n＝1012，所以A2021（﹣1012，1012），故答案為：（﹣1012，1012）.三.解答題（共3小題）16.【解答】解：（1）2x2﹣3x+1＝0，因式分解得（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝1；（2）17、（1）頂點(diǎn)（1，9）（2）2019.【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，，解得，即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+500；（2）由題意