初高中數(shù)學(xué)銜接知識點(diǎn)專題

★專題一數(shù)與式的運(yùn)算

【要點(diǎn)回顧】

1.絕對值

[1]絕對值的代數(shù)意義：.即|回=.

⑵絕對值的幾何意義：的距離.

[3]兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：卜-4表示的距離.

[4]兩個絕對值不等式：|x|<a(a>0)o；|x|>a(a>0)<=>.

2,乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式：;

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

[公式1](a+b+c)*2=

[公式2]=a3+4*B/(立方和公式)

[公式3]=a3-6’(立方差公式)

說明:上述公式均稱為“乘法公式”.

3.根式

⑴式子6(a20)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：

(1)(6)2=;(2)冊-；(3)\[ab=；(4)J=.

⑵平方根與算術(shù)平方根的概念：叫做”的平方根，記作％=±&(。20),其

中〃(aN0)叫做a的算術(shù)平方根.

網(wǎng)立方根的概念：叫做a的立方根，記為》=孤

4.分式

44A

⑴分式的意義形如々的式子，若B中含有字母，且8H0,則稱々為分式.當(dāng)A#o時，分式々具有

BBB

下列性質(zhì)：(1);(2).

⑵繁分式當(dāng)分式4的分子、分母中至少有一個是分式時，4就叫做繁分式，如四誓“，

BB2"?

n+p

說明：繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質(zhì).

[3]分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的

有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分

子中的根號的過程

【例題選講】

例1解下列不等式：（1）忖一2|<1(2)|x-l|+|x-3|>4.

例2計算：

111211,

(1)(X?-H—(2)(―m——n)(——機(jī)~d--mn+—n)

5225104

(3)(a+2)(。-2)04+4/+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2

9,1

例3已知尤2-31=1=0,求的值.

X

已知a+/?+c=0,求。(』+!)+。(』+!)+。('+工)的值.

例4

bccaab

例5計算（沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）:

3

(1)(2)a-y+?2-x)2(x>i)

2+6

(4)2^——\[x^+\/8x

(3)

2+V3三g,求/+y3的值.

例6設(shè)X=，y

2^32+V3

2

Xx+3x+96xx-l

例7化簡：（1）—(2)H----------------

1-xX2-279x-x6+2x

X+-r

X——

X

XXXXx(x+1)X+1

(1)解法一：原式二

-22

1-x(l-x)-xX尸+x—XxX

X4--....乙-----X-------

x+—52—

x-l1+1XDX+1x+1

X

XXXx(x+1)X4-1

解法二：原式=—

(1-X)?Xx(i-x)Xx2

X+x+x----X

x2-1x+l

（X——）?工

X

x~+3x+96xx—\16x-1

(2)解：原式=------------------+-------------------=-----------------------------

(x-3)(x2+3x+9)x(9-x2)2(3+x)x-3(x+3)(x-3)2(x-3)

2(x4-3)—12—(X—l)(.x—3)—(九一3)一3-x

2(x+3)(x—3)2(x+3)(x-3)2(x+3)

說明：（1）分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡；

（2）分式的計算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式.

【鞏固練習(xí)】

1.解不等式|x+3|+|x-2|<7

設(shè)x="一,y="—，求代數(shù)式x2+xy+y2_

2.-----的值.

V3-2-V3+2x+y

3.當(dāng)3a2+。。-2y=0（4工0,。40）,求的值.

baab

設(shè)冗二立二!，求/+%2+2工一1的值.

4.

2

5.計算(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y—z)

6.化簡或計算:

(1)(>/18—4,1（2）2卡,亞一《2一布）71

2+V2^/3）F+穴

x4x+xy[yx+y[xy+y*b~4ab).(a十b

⑶(4)(G

xy-y2x4x-yy[yy/a+4bs[ab+b>[ab—a

★專題二因式分解

【要點(diǎn)回顧】

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運(yùn)算、解方程及

各種恒等變形中起著重要的作用.是一種重要的基本技能.

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,

還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等.

1.公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：；

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：.

[4](a+h+cY=

[5]a3+b3=(立方和公式)

[6](立方差公式)

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運(yùn)用上述公式可以進(jìn)行

因式分解.

2.分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式.而對于四項(xiàng)以上的多

項(xiàng)式，如〃?&+加?+/切+?既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理.這

種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.

常見題型：(1)分組后能提取公因式(2)分組后能直接運(yùn)用公式

3.十字相乘法

(1)X?+(p+q)x+pg型的因式分解

這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1;②常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)之積；③一次項(xiàng)

系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個因數(shù)之和.

*/x1+(p+q)x+pq-x2+px+qx+pq-x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q),

/.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

運(yùn)用這個公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式.

(2)一般二次三項(xiàng)式。/+汝+。型的因式分解

由+(4。2+42仇)》+。]。2=31%+4)(。2尤+。2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)。分解成為/，常數(shù)項(xiàng)。

分解成CG，把q,%，C1,C2寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到4c2+。2《，如果它正好

等于ox?+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)6,那么ax1+力x+c就可以分解成(qx+CiX/x+c?),其中位于上

一行，。2，。2位于下一行.這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十

字相乘法.

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三

項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添項(xiàng)法

【例題選講】

例1(公式法)分解因式：(1)3。3b—8山4；(2)d一時

例2(分組分解法)分解因式：(1)ab(c2-d2)-(a2-b2)cd(2)2,x~+4xy+2_y~—8z"

例3(十字相乘法)把下列各式因式分解：⑴f+5x—24(2)X2-2X-15

(3)x2+xy-6j2(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12

解：(1)—24=(—3)x8,(—3)+8=5，f+5x—24=[x+(—3)](x+8)=(x-3)(x+8)

(2).—15=(—5)x3,(—5)+3=—2X2-2X-15=[X+(-5)](X+3)=(x-5)(x+3)

(3)分析：把f+孫一6y2看成x的二次三項(xiàng)式，這時常數(shù)項(xiàng)是-6y2,一次項(xiàng)系數(shù)是y,把一6y2分

解成3y與一2y的積，而3y+(-2y)=y,正好是一次項(xiàng)系數(shù).

解：x2+xy-6y2=x2+yx-62=(x+3y)(x-2y)

(4)由換元思想，只要把V+x整體看作一個字母。，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式

cr—8a+12.解：(%2+x)2—8(x2+x)+12=(x~+x—6)(x2+尤-2)=(x+3)(x—2)(x+2)(x—1)

例4(十字相乘法)把下列各式因式分解：⑴12/一5%-2；(2)5x2+6xy-Sy2

、3-2

解：⑴12X2-5X-2=(3X-2)(4X+1)；x；

12y

X

⑵5d+6孫-8y2=(x+2y)(5x-4y)5^y

說明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速

度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法“湊“，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用

加法'‘湊"，先‘'湊''絕對值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號.

例5(拆項(xiàng)法)分解因式/一3/+4

【鞏固練習(xí)】

1.把下列各式分解因式：

(1)db(c~-d~)+cd^cr-b~)(2)X2-4mx+8mn-4n2

(3)X4+64(4)X3-11X2+31X-21(5)xi-4xy2-2x2y+8y3

2.

2.已知。+人=—,次?=2,求代數(shù)式。20+2々％2+ab2的值.

3

3.現(xiàn)給出三個多項(xiàng)式，-x2+x-l,-X2+3X+1,-x2-x,請你選擇其中兩個進(jìn)行加法運(yùn)算，并把

222

結(jié)果因式分解.

4.已知。+匕+c=0,求證：a3+a1c+b~c—abc+ly'=0.

★專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【要點(diǎn)回顧】

1.一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程?2+法+。=。（”力0）,用配方法將其變形為：.

由于可以用/一4公的取值情況來判定一元二次方程的根的情況.因此，把廿-4ac叫做一元二次方程

ar2+/zr+c=0（。/0）的根的判別式，表示為：A=Z?2-4?c

對于一元二次方程ax2+3x+c=0（。邦），有

[1]當(dāng)A_0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：；

⑵當(dāng)A_0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：;

[3]當(dāng)A_0時，方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

定理：如果一元二次方程ox?+bx+c=O（a#0）的兩個根為王,馬，那么：

X=

說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為“韋

達(dá)定理上述定理成立的前提是ANO.

特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程f+px+q=O,若Xi,X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知

X\+xi=-p,X\-X2-q,即p=-（Xi+x2）,q=X\-X2,

所以，方程f+px+qn?？苫癁镴C2—（Xi+x2）x+xrX2=0,由于汨，及是一元二次方程/+〃*+4=0的兩

根，所以，X|,X2也是一元二次方程;V2—（Xl+x2）x+x「X2=0.因此有

以兩個數(shù)XI,X2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是X2—（Xl+x2）x+xrX2=0.

【例題選講】

例1已知關(guān)于X的一元二次方程3%2-2%+左=0,根據(jù)下列條件，分別求出出的范圍:

（I）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

（3）方程有實(shí)數(shù)根；（4）方程無實(shí)數(shù)根.

例2已知實(shí)數(shù)％、y滿足f+V一孫+2%一丁+1=0,試求％、y的值.

例3若%,%是方程f+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值：

?911

(1)+/；(2)—I---；(3)(X1—5)(X2—5)；(4)|X]—1.

x}x2

例4已知4馬是一元二次方程4代2-4日+2+1=0的兩個實(shí)數(shù)根.

3

（1）是否存在實(shí)數(shù)%,使（2%一々）（%一2%）=一5成立？若存在，求出女的值；若不存在，請說明理由.

（2）求使土+逍-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)上的整數(shù)值.

龍2%

3■,

解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)％,使（2玉—￡）（玉—24）=一］成立.：一元二次方程4日2—4"+%+1=0的

4八0

兩個實(shí)數(shù)根，二1,n左<0又xx是一元二次方程

△=（-4左）2_44伏+1）=-16人0P2

X1+%2=1

4日2-4日+%+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，\4+1

氏+93Q

2

/.(2%,-x2)(x1-2X)=2(玉2+X^)-5XX=2a+x2)-9x}x1----=--=>k=-,但左<0.

2]24k25

3

???不存在實(shí)數(shù)3使（2%一年）（七一2%2）二一一成立.

(2)%+玉_2=百+々2_2=(.+々)-_4=至--4=---

x2X}XyX2XyX2A：+1Z+l

/.要使其值是整數(shù)，只需％+1能被4整除，故々+1=±1,±2,±4,注意到2<0,要使立+%一2的值

馬玉

為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為-2,-3,-5.

【鞏固練習(xí)】

11

1.若不W是方程20M—6X+3=0的兩個根，則一+一的值為()

Xx2

cC19

A.2B.—2C.-D.一

22

2.若f是一元二次方程o?+版+c=0(aN0)的根,則判別式△=b2-4ac和完全平方式M=(2at+h)2

的關(guān)系是()

A.\=MB.\>MC.\<MD.大小關(guān)系不能確定

3.設(shè)看,工2是方程f+px+q=0的兩實(shí)根，％+l，w+1是關(guān)于x的方程f+qx+p=0的兩實(shí)根，則p=

，q=.

4.已知實(shí)數(shù)a,"c滿足〃=6—〃,c?=。力-9,則。=,b=，c=.

5.已知關(guān)于%的方程f+3冗-m=0的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于11,求證：關(guān)于x的方程

(k-3)x2+kmx—m1+6加-4=0有實(shí)數(shù)根.

6.若a/是關(guān)于x的方程/一(22+1)犬+/+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，且不馬都大于L

(1)求實(shí)數(shù)上的取值范圍；(2)若土=」,求上的值.

x22

★專題四平面直角坐標(biāo)系'一次函數(shù)'反比例函數(shù)

【要點(diǎn)回顧】

1.平面直角坐標(biāo)系

[1]組成平面直角坐標(biāo)系。叫做x軸或橫

軸，叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)。稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

[2]平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對稱點(diǎn)：

對稱點(diǎn)或?qū)ΨQ直線方程對稱點(diǎn)的坐標(biāo)

X軸

y軸

原點(diǎn)

點(diǎn)(a,b)

直線x=a

直線y=〃

直線y=x

直線y=-x

2.函數(shù)圖象

[1]一次函數(shù)：__________________________稱y是x的一次函數(shù)，記為：y=kx+b(K。是常數(shù)，原0)

特別的，當(dāng)〃=0時;稱y是x的正比例函數(shù)。

[2]正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)產(chǎn)依々是常數(shù)，原0)的圖象是的一條直線，當(dāng)_____時，圖

象過原點(diǎn)及第一、第三象限，y隨x的增大而；當(dāng)________時，圖象過原點(diǎn)及第二、第四象限，y

隨x的增大而.

[3]一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)丁=履+人伏、是常數(shù)，原0）的圖象是過點(diǎn)（0,與且與直線產(chǎn)區(qū)平行的

一條直線.設(shè)丁=依+。（原0）,則當(dāng)______時，y隨x的增大而；當(dāng)_____時，y隨x的增大而.

k

[4]反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=—（原0）是雙曲線，當(dāng)時，圖象在第一、第三象限，在每個象

x

限中，y隨x的增大而；當(dāng)________時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨x的增大

而.雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線丁=%與丁=—X：又是中心對稱圖形，對稱中心是原點(diǎn).

【例題選講】

例1已知A（2,yJ、B（%,—3）,根據(jù)下列條件，求出A、8點(diǎn)坐標(biāo).

（1）A、8關(guān)于x軸對稱；（2）A、3關(guān)于y軸對稱；（3）A、8關(guān)于原點(diǎn)對稱.

例2已知一次函數(shù)），=丘+2的圖象過第一、二、三象限且與x、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，若

AAO8的面積為2,求此一次函數(shù)的表達(dá)式。

例3如圖，反比例函數(shù)y=K的圖象與一次函數(shù)y的圖象交于A（l,3）,8（〃,一1）兩點(diǎn).

x

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.

解：（1）A（L3）在y=&的圖象上，.?.〉=』又-8（〃,一1）在y=2的圖象位

xr,x尤

上，."=一3,即3（—3,—1），《解得：m=\,b=2,反比例函數(shù)的o\

-1=-3m+b,方、\

解析式為y=3,一次函數(shù)的解析式為y=x+2,'I

X

（2）從圖象上可知，當(dāng)xv—3或Ovxvl時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)

的值大于一次函數(shù)的值。

【鞏固練習(xí)】

1.函數(shù)y=Ax+m與y=—（機(jī)。0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（）

x

2.如圖，平行四邊形ABC。中，4在坐標(biāo)原點(diǎn)，。在第一象限角平分線上，又知/3=6,A￡>=2板,

求8,C,。點(diǎn)的坐標(biāo).

ik

3.如圖，已知直線曠=一》與雙曲線y=—（%>0）交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.

2x

（1）求）的值;

k

（2）過原點(diǎn)。的另一條直線/交雙曲線y=—（左>0）于P,。兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)尸為頂點(diǎn)

x

組成的四邊形面積為24,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

★專題五二次函數(shù)

【要點(diǎn)回顧】

1.二次函數(shù)y=&+Z>x+c的圖像和性質(zhì)

問題口］函數(shù)y=a/與的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

問題［2］函數(shù)y=a（x+h）2+k與y=ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)>=加+加+《“和）的圖象的方法：

,,b,.,bb~b2/b、2b2-4ac

由于y=ar2+bx+c=〃（x2+—x）+c=〃（x2+—%+——-）+c———=---）~H-------,所以，y=

aa4礦4a2a4a

加+公+以存。）的圖象可以看作是將函數(shù)的圖象作左右平移、上下平移得到的，

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（/0）具有下列性質(zhì)：

[1]當(dāng)a>0時，函數(shù)y^a^+bx+c圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對稱軸為直

線；當(dāng)________時，y隨著x的增大而；當(dāng)________時，y隨著x的增大而；當(dāng)

時，函數(shù)取最小值.

[2]當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對稱軸為直

線；當(dāng)_______時，y隨著x的增大而；當(dāng)_______時,y隨著x的增大而；當(dāng)時,

函數(shù)取最大值_________.

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借

助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.

2.二次函數(shù)的三種表示方式

[1]二次函數(shù)的三種表示方式：

（1）.一般式：;

（2）.頂點(diǎn)式：；

（3）.交點(diǎn)式：.

說明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時，

可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則.二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：

①給出三點(diǎn)坐標(biāo)可利用一般式來求；

②給出兩點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)時可利用頂點(diǎn)式來求.

③給出三點(diǎn)，其中兩點(diǎn)為與x軸的兩個交點(diǎn)（網(wǎng),0）.（%,0）時可利用交點(diǎn)式來求.

3.分段函數(shù)

一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù).

【例題選講】

例1求二次函數(shù)y=-3d—6x+l圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)

x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象.

例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)

系如下表所示：

x/元130150165

W件705035

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為

多少元？此時每天的銷售利潤是多少？

例3己知函數(shù)y=f,—24xWa,其中。2—2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和

最小值時所對應(yīng)的自變量x的值.

例4根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

(1)已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+l上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,-1)；

(2)已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2；

(3)已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(一1,-22),(0,-8),(2,8).

例5在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過

40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0〈爛100)的信應(yīng)付多少郵資(單位：分)？寫出函數(shù)

表達(dá)式，作出函數(shù)圖象.

分析：由于當(dāng)自變量x在各個不同的范圍內(nèi)時，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的.所以，可以用分段函數(shù)給

出其對應(yīng)的函數(shù)解析式.在解題時，需要注意的是，當(dāng)x在各個小范圍內(nèi)(如20〈爛40)變化時，它所對

應(yīng)的函數(shù)值(郵資)并不變化(都是160分).

-80,xe(0,20]

160xe(20,40]

解：設(shè)每封信的郵資為y(單位：分)，則y是x的函數(shù).這個函數(shù)的解析式為y240,xe(40,60]

320xe(60,80]

400,xe(80,100]

y(分)

400

320-

240-

160

80

o100x(克)

由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖所示.

【鞏固練習(xí)】

1.選擇題：

(1)把函數(shù)丫=—。―1)2+4的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

(A)(-1,4)(B)(-1,-4)(C)(1,-4)(D)(1,4)

(2)函數(shù)y=T+4x+6的最值情況是()

(A)有最大值6(B)有最小值6

(C)有最大值10(D)有最大值2

(3)函數(shù)y=2?+4x-5中，當(dāng)一30<2時，則y值的取值范圍是()

(A)-3<y<l(B)-7<><1

(C)-7<)<11(D)-7<y<ll

2.填空：

(1)已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-2,0),8(1,0),且過點(diǎn)C(2,4),則該二次函數(shù)的表達(dá)

式為.

(2)已知某二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(一1,0),(0,3),(1,4),則該函數(shù)的表達(dá)式為.

3.根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1),B(1,0),C(-1,2)；

(2)已知拋物線的頂點(diǎn)為(1,一3),且與y軸交于點(diǎn)(0,1)；

(3)已知拋物線與x軸交于點(diǎn)M(-3,0),(5,0),且與y軸交于點(diǎn)(0,-3)；

(4)已知拋物線的頂點(diǎn)為(3,-2),且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4.

4.如圖，某農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞.已

知墻的長度為6m,問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？

//、/////////{/

5.如圖所示，在邊長為2的正方形A8CD的邊上有一個動點(diǎn)P,從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABCD移動一周后,

回到A點(diǎn).設(shè)點(diǎn)A移動的路程為x,ABAC的面積為y.

(1)求函數(shù)y的解析式；

(2)畫出函數(shù)y的圖像；

(3)求函數(shù)y的取值范圍.

★專題六二次函數(shù)的最值問題

【要點(diǎn)回顧】

1.二次函數(shù)了=。、2+。龍+。(。/0)的最值.

h4cic-b~

二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時的最值情況（當(dāng)a>0時，函數(shù)在%=-—處取得最小值*——,

2a4a

h4ac—h~

無最大值；當(dāng)a<0時，函數(shù)在x=-二處取得最大值，無最小值.

2a4a

2.二次函數(shù)最大值或最小值的求法.

第一步確定a的符號，a>0有最小值，。<0有最大值；

第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對應(yīng)的最大值或最小值.

3.求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值.

如：y=+。尤+c在（其中機(jī)<〃）的最值.

第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：%=%：

第二步：討論：

[1]若?>0時求最小值或a<0時求最大值，需分三種情況討論：

①對稱軸小于m即/<m,即對稱軸在m<x<n的左側(cè)；

②對稱軸機(jī)即對稱軸在機(jī)的內(nèi)部；

③對稱軸大于n即x?>n,即對稱軸在m<x<n的右側(cè)。

[2]若a>0時求最大值或a<0時求最小值，需分兩種情況討論：

①對稱軸見〈絲干，即對稱軸在機(jī)WxW〃的中點(diǎn)的左側(cè)；

②對稱軸毛>竺干，即對稱軸在加《％工〃的中點(diǎn)的右側(cè)；

說明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置，具體情況，

參考例4。

【例題選講】

例1求下列函數(shù)的最大值或最小值.

（1）y—2工2—3x—5；（2）y———3x+4.

例2當(dāng)1<2時，求函數(shù)y=-x2-x+1的最大值和最小值.

例3當(dāng)xNO時，求函數(shù)y=—x（2—幻的取值范圍.

15

例4當(dāng)，l時，求函數(shù)），=—/9一工―一的最小值（其中/為常數(shù)）.

22

分析：由于x所給的范圍隨著/的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置.

解：函數(shù)y=—1fi一］一5巳的對稱軸為1=1.畫出其草圖.

22

1、5

(1)當(dāng)對稱軸在所給范圍左側(cè).即，>1時：當(dāng)％時，ymin=Q/一，一萬；

2

(2)當(dāng)對稱軸在所給范圍之間.即Ylv+lnOWYl時：當(dāng)x=l時，ymin=-xl-l--=-3；

⑶當(dāng)對稱軸在所給范圍右側(cè).即/+1<1=>?<0時：當(dāng)x=/+l時，

-r2-3,r<0

2

綜上所述：y=]-3,0<r<l

2

例5某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量加(件)與每件的銷售價

x(元)滿足一次函數(shù)=162-3%,30<%<54.

(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

【鞏固練習(xí)】

1.拋物線y=f—(利―4)x+2m—3,當(dāng)，”=時，圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)機(jī)=時，圖象

的頂點(diǎn)在X軸上；當(dāng)"2=時，圖象過原點(diǎn).

2.用一長度為/米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為.

3.設(shè)a>0,當(dāng)一IWXWI時，函數(shù)y=一依+6+i的最小值是t,最大值是()，求a,8的值.

4.已知函數(shù),=丁+2依+1在—上的最大值為4,求a的值.

5.求關(guān)于x的二次函數(shù)了=/-2a+1在一IWxWl上的最大值（f為常數(shù)）.

★專題七不等式

【要點(diǎn)回顧】

1.一元二次不等式及其解法

[1]定義：形如為關(guān)于x的一元二次不等式.

[2]一元二次不等式辦2+bx+c>0（或<0）與二次函數(shù)y=+匕x+c（a工0）及一元二次方程

以2+陵+。=。的關(guān)系（簡稱：三個二次）.

（i）一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：

（1）將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；

（2）觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象.

①如果圖象與x軸有兩個交點(diǎn)（%,o）,（%,0）,此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

玉,々（也可由根的判別式八>0來判斷）.則

②如果圖象與x軸只有一個交點(diǎn)（-2,0）,此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

2a

與=&=一2（也可由根的判別式八=0來判斷）.貝U：

g>I）a____________

ar363----

③如果圖象與x軸沒有交點(diǎn)，此時對應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根（也可由根的判別式A<0來判

斷）.則：

ar1?1K+C>?（>>fl）a

ar30）,0

（ii）解一元二次不等式的步驟是：

（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為正；

（2）若二次三項(xiàng)式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根那么“>0”型的解為

X<%或%>々（俗稱兩根之外）；“<0”型的解為玉<X</（俗稱兩根之間）；

b4f7c-h~

（3）否則，對二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成以2+次+c=a（x+—）2+—_——，結(jié)合完全平方式為非