1復(fù)變函數(shù)

第5講本文件可從網(wǎng)址上下載(單擊ppt講義后選擇‘復(fù)變函數(shù)'子目錄)2§3初等函數(shù)3

1,指數(shù)函數(shù)希望能夠在復(fù)平面內(nèi)定義一個函數(shù)f(z)具有實(shí)函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)ex的三個性質(zhì):

i)f(z)在復(fù)平面內(nèi)解析;

ii)f'(z)=f(z)

iii)當(dāng)Im(z)=0時,f(z)=ex,其中x=Re(z)4前面的例1中已經(jīng)知道,函數(shù)

f(z)=ex(cosy+isiny)

是一個在復(fù)平面處處解析的函數(shù),且有

f'(z)=f(z),當(dāng)y=0時,f(z)=ex.f(z)稱為指數(shù)函數(shù).

記作expz=ex(cosy+isiny). (2.3.1)

等價于關(guān)系式:

|expz|=ex,

Arg(expz)=y+2kp (2.3.2)5由(2.3.2)中的第一式可知

expz0.

跟ex一樣,expz也服從加法定理:

expz1expz2=exp(z1+z2) (2.3.3)

6事實(shí)上,設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定義有7鑒于expz滿足條件iii),且加法定理也成立,為了方便,往往用ez代替expz.但是必須注意,這里的ez沒有冪的意義,僅僅作為代替expz的符號使用,因此我們就有

ez=ex(cosy+isiny) (2.3.4)

特別,當(dāng)x=0時,有

eiy=cosy+isiny (2.3.5)8

由加法定理,我們可以推出expz的周期性,它的周期性是2kpi,即

ez+2kpi=eze2kpi=ez

其中k為任何整數(shù).92.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).將滿足方程

ew=z (z0)

的函數(shù)w=f(z)稱為對數(shù)函數(shù).令w=u+iv,z=reiq,則 eu+iv=reiq,

所以 u=lnr,v=q.

因此 w=ln|z|+iArgz

10由于Argz為多值函數(shù),所以對數(shù)函數(shù)w=f(z)為多值函數(shù),并且每兩個值相差2pi的整數(shù)倍,記作

Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)11 Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)

如果規(guī)定上式中的Argz取主值argz,則Lnz為一單值函數(shù),記作lnz,稱為Lnz的主值,因此

lnz=ln|z|+iargz (2.3.7)

而其余各值可由

Lnz=lnz+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8)

表達(dá).對于每一個固定的k,(2.3.8)式為一單值函數(shù),稱為Lnz的一個分支.

特別,當(dāng)z=x>0時,Lnz的主值lnz=lnx,就是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù).12例1

求Ln2,Ln(-1)以及它們相應(yīng)的主值.

[解]因?yàn)長n2=ln2+2kpi,所以它的主值就是ln2.而Ln(-1)=ln1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k為整數(shù)),所以它的主值是ln(-1)=pi.

在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無對數(shù),此例說明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立.而且正實(shí)數(shù)的對數(shù)也是無窮多值的.13因此,復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.利用幅角的性質(zhì)不難證明:14對數(shù)函數(shù)的解析性.就主值lnz而言,其中l(wèi)n|z|除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)都是連續(xù)的,而argz在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù).因?yàn)槿粼O(shè)z=x+iy,則當(dāng)x<0時,所以,除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸,在復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)lnz處處連續(xù).綜上所述,z=ew在區(qū)域-p<v=argz<p內(nèi)的反函數(shù)w=lnz是單值的,由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知:15所以,lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析.由(2.3.8)式就可知道,Lnz的各個分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析,并且有相同的導(dǎo)數(shù)值.

今后我們應(yīng)用對數(shù)函數(shù)Lnz時,指的都是它在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支.163.乘冪ab與冪函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中,如果a為正數(shù),b為實(shí)數(shù),則乘冪ab可表示為ab=eblna,現(xiàn)在將它推廣到復(fù)數(shù)的情形.設(shè)a為不等于0的一個復(fù)數(shù),b為任意一個復(fù)數(shù),定義乘冪ab為ebLna,即

ab=ebLna (2.3.9)

由于Lna=ln|a|+i(arga+2kp)是多值的,因而ab也是多值的.當(dāng)b為整數(shù)時,由于

ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arga+2kp)]

=eb(ln|a|+iarga)+2kbpi=eblna,

所以這時ab具有單一的值.17當(dāng)b=p/q(p和q為互質(zhì)的整數(shù),q>0)時,由于ab具有q個值,即當(dāng)k=0,1,...,(q-1)時相應(yīng)的各個值.除此而外,一般而論ab具有無窮多個值.18192021zn在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù),(zn)'=nzn-1.22234.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)根據(jù)(2.3.5)我們有

eiy=cosy+isiny

e-iy=cosy-isiny

將這兩式相加與相減,分別得到現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情形,定義當(dāng)z為實(shí)數(shù)時,顯然這與(2.3.12)完全一致.24由于ez是以2pi為周期的周期函數(shù),因此cosz和sinz以2p為周期,即

cos(z+2p)=cosz, sin(z+2p)=sinz.

也容易推出cosz是偶函數(shù):

cos(-z)=cosz

而sinz是奇函數(shù):

sin(-z)=-sinz

由指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以求得

(cosz)'=-sinz,(sinz)'=cosz

由(2.3.13),易知

eiz=cosz+isinz (2.3.14)

普遍正確,即對于復(fù)數(shù),歐拉公式仍然成立.25由定義可知三角函數(shù)許多公式仍然成立由此得cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.但當(dāng)z為純虛數(shù)iy時,我們有26所以這兩個公式對于計算cosz與sinz的值有用.當(dāng)y

時,|siniy|和|cosiy|都趨于無窮大,因此,|sinz|1和|cosz|1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立.其它復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義如下:27與三角函數(shù)密切相關(guān)的是雙曲函數(shù),定義分別稱為雙曲余弦,正弦和正切函數(shù).chz和shz都是以2pi為周期的函數(shù),chz為偶函數(shù),shz為奇函數(shù),它們都是復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù),導(dǎo)數(shù)分別為: (chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18)不難證明chiy=cosy,shiy=isiny (2.3.19)285.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)定義為三角函數(shù)的反函數(shù),設(shè)

z=cosw,

則稱w為z