408歷年算法題總結(jié)引言408考試是中國計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)水平考試（簡稱408）中的一項(xiàng)重要考試，旨在測試考生的計(jì)算機(jī)算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的知識和能力。在過去的年份里，408考試中的算法題一直是考生備戰(zhàn)和復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。為了幫助考生更好地備考408算法題，本文總結(jié)了過去幾年408考試中的一些經(jīng)典算法題，分析了題目的要求和解題思路，并給出了相應(yīng)的解答。題目一：最長公共子序列（LCS）題目描述給定兩個字符串s1和s2，求它們的最長公共子序列的長度。解題思路最長公共子序列問題是動態(tài)規(guī)劃中的經(jīng)典問題。我們可以使用一個二維數(shù)組dp來記錄s1和s2的最長公共子序列的長度。其中dp[i][j]表示s1的前i個字符和s2的前j個字符的最長公共子序列的長度。則可以得到如下狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：if(s1[i-1]==s2[j-1])

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

else

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);最終，答案就是dp[m][n]，其中m和n分別表示s1和s2的長度。代碼示例deflongest_common_subsequence(s1,s2):

m,n=len(s1),len(s2)

dp=[[0]*(n+1)for_inrange(m+1)]

foriinrange(1,m+1):

forjinrange(1,n+1):

ifs1[i-1]==s2[j-1]:

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

else:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

returndp[m][n]復(fù)雜度分析該算法的時間復(fù)雜度為O(mn)，其中m和n分別為s1和s2的長度?？臻g復(fù)雜度為O(mn)。題目二：01背包問題題目描述給定n個物品，每個物品有一個重量和一個價(jià)值，再給定一個背包的最大承重量W，求在不超過背包容量的情況下，能夠裝入背包的物品的最大價(jià)值是多少。解題思路01背包問題也是動態(tài)規(guī)劃中的經(jīng)典問題。我們可以使用一個二維數(shù)組dp來記錄背包問題的狀態(tài)。其中dp[i][j]表示在前i個物品中選擇總重量不超過j的物品能夠達(dá)到的最大價(jià)值。則可以得到如下狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：if(w[i-1]<=j)

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);

else

dp[i][j]=dp[i-1][j];最終，答案就是dp[n][W]，其中n為物品個數(shù)。代碼示例defknapsack(W,weights,values):

n=len(weights)

dp=[[0]*(W+1)for_inrange(n+1)]

foriinrange(1,n+1):

forjinrange(1,W+1):

ifweights[i-1]<=j:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])

else:

dp[i][j]=dp[i-1][j]

returndp[n][W]復(fù)雜度分析該算法的時間復(fù)雜度為O(nW)，其中n為物品個數(shù)，W為背包最大承重量。空間復(fù)雜度為O(nW)。題目三：最短路徑（Dijkstra算法）題目描述給定一個有向圖G，圖中的邊帶有權(quán)值，以及一個起點(diǎn)s，求從起點(diǎn)s到圖中其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑。解題思路Dijkstra算法是一種用于解決單源最短路徑問題的貪心算法。它從起點(diǎn)s開始，逐步找到離起點(diǎn)s最近的節(jié)點(diǎn)，然后更新該節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)的距離。具體來說，我們可以使用一個數(shù)組dist來記錄起點(diǎn)s到其他節(jié)點(diǎn)的最短距離，其中dist[i]表示起點(diǎn)s到節(jié)點(diǎn)i的最短距離。同時，我們還需要使用一個集合visited來記錄已經(jīng)找到最短路徑的節(jié)點(diǎn)。在每次迭代中，我們選擇距離起點(diǎn)s最近的節(jié)點(diǎn)u，并將該節(jié)點(diǎn)加入visited集合。然后，我們遍歷節(jié)點(diǎn)u的鄰居節(jié)點(diǎn)v，并更新節(jié)點(diǎn)v的距離。最終，當(dāng)visited集合中包含所有節(jié)點(diǎn)時，Dijkstra算法結(jié)束。代碼示例importheapq

defdijkstra(graph,start):

n=len(graph)

dist=[float('inf')]*n

dist[start]=0

visited=set()

heap=[(0,start)]

whileheap:

d,u=heapq.heappop(heap)

ifuinvisited:

continue

visited.add(u)

forv,wingraph[u]:

ifd+w<dist[v]:

dist[v]=d+w

heapq.heappush(heap,(dist[v],v))

returndist復(fù)雜度分析該算法的時間復(fù)雜度為O((V+E)logV)，其中V為圖中節(jié)點(diǎn)數(shù)，E為圖中邊數(shù)?？臻g復(fù)雜度為O(V)?？偨Y(jié)本文總結(jié)了408考試中的三道經(jīng)典算法題：最長公共子序列、01背包