PAGE3.1.1兩角差的余弦公式一、教材分析《兩角差的余弦公式》是人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第一節(jié)課的內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生主動參與，獨立思索，自己得出相應(yīng)的結(jié)論。二、教學(xué)目標1.引導(dǎo)學(xué)生建立兩角差的余弦公式。通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)。2.通過課題背景的設(shè)計，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。3.在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會合作交流的能力。三、教學(xué)重點難點重點兩角差余弦公式的探索和簡單應(yīng)用。難點探索過程的組織和引導(dǎo)。四、學(xué)情分析之前學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的性質(zhì)，以及平面向量的運算和應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上，要考慮如何利用任意角的正弦余弦值來表示，牢固的掌握這個公式，并會靈活運用公式進行下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。五、教學(xué)方法1.自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式.2.探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.3.反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距六、課前準備1.學(xué)生準備：預(yù)習(xí)《兩角差的余弦公式》，理解兩種方法的推理過程。2.教師準備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。七、課時安排：1課時八、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題以學(xué)校教學(xué)樓為背景素材（見課件）引入問題。并針對問題中的用計算器或不用計算器計算求值，以激趣激疑，導(dǎo)入課題。教師問：想一想:學(xué)校因某次活動的需要,需從樓頂?shù)腃點處往該點正對的地面上的A點處拉一條鋼繩,為了在購買鋼繩時不至于浪費,你能算一算到底需要多長鋼繩嗎?(要求在地面上測量,測量工具:皮尺,測角器)問題：（1）能不能不用計算器求值：，，（2）設(shè)計意圖：由給出的背景素材，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，喚起學(xué)生解決問題的興趣，和拋出新知識引起學(xué)生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)習(xí)方向。（二）、研探新知1.三角函數(shù)線法：問：①怎樣作出角、、的終邊。②怎樣作出角的余弦線OM③怎樣利用幾何直觀尋找OM的表示式。設(shè)計意圖：盡量用動畫課件把探索過程展示出來，使學(xué)生能從幾何直觀角度加強對公式結(jié)構(gòu)形式的認識。設(shè)角終邊與單位圓地交點為P1，。過點P作PM⊥X軸于點M，那么OM就是的余弦線。過點P作PA⊥OP1于A，過點A作AB⊥x軸于B，過點P作PC⊥AB于C那么 OA表示，AP表示，并且于是OM=OB+BM=OB+CP=OA+AP=最后要提醒學(xué)生注意，公式推導(dǎo)的前提條件：、、都是銳角，且2.向量法：問：①結(jié)合圖形，明確應(yīng)選哪幾個向量，它們怎么表示？怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計算公式得到結(jié)果。對探索的過程進一步嚴謹性的思考和處理，從而得到合理的科學(xué)結(jié)論。設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷利用向量知識解決一個數(shù)學(xué)問題的過程，體會向量方法解決數(shù)學(xué)問題的簡潔性。如圖如圖,建立單位圓O由向量數(shù)量積的概念,有AOBAOBxy由向量數(shù)量積的坐標表示,有因為、、都是任意角,所以也是任意角,但由誘導(dǎo)公式以總可找到一個，使得。于是對于任意角、都有例1.利用差角余弦公式求的值（求解過程讓學(xué)生獨立完成，注意引導(dǎo)學(xué)生多方向、多維度思考問題）解法1：解法2：變式訓(xùn)練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：（1）；（2）（讓學(xué)生聯(lián)系公式和本題的條件，考慮清楚要計算，應(yīng)作那些準備。）解：由，得又由，是第三象限角，得所以讓學(xué)生結(jié)合公式，明確需要再求哪些三角函數(shù)值，可使問題得到解決。變式訓(xùn)練： （三）、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維1.利用兩角和（差）的余弦公式，求【點評】：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會靈活運用.2.求值3．化簡提示：利用拆角思想的變換技巧（設(shè)計意圖：通過變式訓(xùn)練，進一步加深學(xué)生對公式的理解和應(yīng)用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學(xué)生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的靈活思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，促進思維的創(chuàng)新。）（四）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式，要求同學(xué)們掌握公式的推導(dǎo)，能熟練運用公式，注意公式的逆用。在解題過程中注意角、的象限，也就是符號問題，學(xué)會靈活運用.課下完成本節(jié)的課后練習(xí)以及課后延展作業(yè)，課本習(xí)題2.3.4(設(shè)計意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。)九、板書設(shè)計兩角差的余弦公式1.三角函數(shù)線法2.向量法例1變式訓(xùn)練例2變式訓(xùn)練當堂訓(xùn)練1.2.4.十、教學(xué)反思本節(jié)主要考察如何用任意角的正弦余弦值來表示，回顧公式的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征，注意符號區(qū)別以及公式中角，的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題.設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過自己小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過程，加深對公式及其推導(dǎo)過程（包括發(fā)現(xiàn)、猜想、論證的數(shù)學(xué)化的過程）的理解。十一、學(xué)案設(shè)計(見下頁)

3.1.1兩角差的余弦公式課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標預(yù)習(xí)《兩角差的余弦公式》，體會兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，尤其是向量法的運用。預(yù)習(xí)內(nèi)容閱讀課本相關(guān)內(nèi)容，經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，進一步體會向量方法作用，并回答以下問題：如何用任意角的正弦余弦值來表示；如何求出的值;會求的值嗎？提出疑惑疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案學(xué)習(xí)內(nèi)容通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)過程探究一：（1）能不能不用計算器求值：，，（2）探究二：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)1.三角函數(shù)線法：問：①怎樣作出角、、的終邊。②怎樣作出角的余弦線OM③怎樣利用幾何直觀尋找OM的表示式。2.向量法：問：①結(jié)合圖形，明確應(yīng)選哪幾個向量，它們怎么表示？怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計算公式得到結(jié)果。對探索的過程進一步嚴謹性的思考和處理，從而得到合理的科學(xué)結(jié)論。例題整理利用差角余弦公式求的值變式訓(xùn)練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：（1）；（2）變式訓(xùn)練：。反思總結(jié)本節(jié)主要考察如何用任意角的正弦余弦值來表示，回顧公式的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征，注意符號區(qū)別以及公式中角，的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).在求值的過程中，還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題.當堂檢測1.利用兩角和（差）的余弦公式，求2.求值3．化簡課后練習(xí)與提高一、選擇題1.的值為（）A.B.C.D.2.的值為（）A.B.C.D.3.已知，則的值等于（）A.B.C.D.二、填空題4.化簡=5.若，則=三、解答題、6.已知，求的值.下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？

齊：主動關(guān)好。

小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學(xué)談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們再見！

水跑上來說：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學(xué)們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學(xué)們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結(jié)束。

6.活動效果：

此次活動使學(xué)生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大