第二章命題邏輯等值演算例1.設(shè)三元真值函數(shù)f為：f（0,0,0）＝0，f（0,0,1）＝1，f（0,1,0）＝0，f（1,0,0）＝1f（0,1,1）＝1，f（1,0,1）＝1，f（1,1,0）＝0，f（1,1,1）＝1試用一個僅含聯(lián)結(jié)詞，的命題形式來表示f。解：根據(jù)三元真值函數(shù)f的定義，可知其具有以下真值表：PQRf(P,Q,R)TTTTTTFFTFTTTFFTFTTTFTFFFFTTFFFF則根據(jù)真值表法可以求出f的主合取范式為：（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）而：（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）(P∨Q∨R)∧（P∨R）((P∨Q)∧P)∨R(P∧Q)∨R又由于：P∧Q(PQ)P∨QPQ所以，(P∧Q)∨R(P∧Q)R((PQ))R所以，f可以用僅含，的命題((PQ))R來表示。例2.不用真值表判斷下列公式是永真式、永假式還是其它。(P∨Q)(P∧Q);((QP)∨P)∧(P∨R);((P∨Q)R)((P∨Q)∨R).解：（1）(P∨Q)(P∧Q)(P∨Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)所以，(P∨Q)(P∧Q)既非永真式也非永假式。（2）((QP)∨P)∧(P∨R)((Q∨P)∨P)∧(P∨R)T∧(P∨R)F∧(P∨R)F所以，((QP)∨P)∧(P∨R)為永假式。（3）((P∨Q)R)((P∨Q)∨R)((P∨Q)∨R)((P∨Q)∨R)((P∨Q)∨R)((P∨Q)∨R)T所以，((P∨Q)R)((P∨Q)∨R)為永真式。例3.證明下列等價式。（1）(PQ)∧(PR)PQ∧R;（2）P∧Q∧(P∨Q)P∧Q∧(P∨Q).解：說明:這兩道題看似麻煩，但是如果不采用直接推導(dǎo)的方法，而是利用范式或是左右夾擊推導(dǎo)的方法，會起到事半功倍的效果。(1).(PQ)∧(PR)(P∨Q)∧(P∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)M4∧M5∧M6PQ∧RP∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)M4∧M5∧M6所以，(PQ)∧(PR)PQ∧R成立。(2).P∧Q∧(P∨Q)(P∧Q∧P)∨(P∧Q∧Q)FP∧Q∧(P∨Q)(P∧Q∧P)∨(P∧Q∧Q)F所以，P∧Q∧(P∨Q)P∧Q∧(P∨Q)例4.試求下列各公式的主析取范式和主合取范式。(P(Q∧R))∧(P(QR))((P∨Q)R)PT:(P∧Q)∨(P∧Q)U:(R∧S)∨(R∧S)W:(M∧N)∨(M∧N)根據(jù)題意得GT∧U∧WT，于是GT∧U∧W((P∧Q)∨(P∧Q))∧((R∧S)∨(R∧S))∧W((P∧Q∧R∧S)∨(P∧Q∧R∧S)∨(P∧Q∧R∧S)∨(P∧Q∧R∧S))∧W由于P和R不能同時為真，Q和S不能同時為真，P和S不能同時為真（因?yàn)檫@樣不符合題意），故上式變?yōu)椋篏(P∧Q∧R∧S)∧((M∧N)∨(M∧N))(P∧Q∧R∧S∧M∧N)∨(P∧Q∧R∧S∧M∧N)由于P,R,M不能同時為真，P,S,N不能同時為真（因?yàn)檫@樣不符合題意），則上式僅剩一項(xiàng)P∧Q∧R∧S∧M∧N，可見王小紅不是班長，李強(qiáng)是生活委員，丁金生是班長，王小紅不是生活委員，李強(qiáng)不是班長，王小紅是學(xué)習(xí)委員，于是得到：王小紅是學(xué)習(xí)委員，李強(qiáng)是生活委員，丁金生是班長。例8.（討論題）試用多種方法證明蘊(yùn)含式P∧Q(PQ)解:方法一：只要證明P∧Q(PQ)是永真式。P∧Q(PQ)(P∧Q)∨(P∨Q)P∨Q∨P∨QQ∨P∨QT即為永真式，故P∧Q(PQ)成立。方法二：設(shè)P∧Q為T，則P和Q都為T，則PQ為T，故P∧Q(PQ)。方法三：設(shè)PQ為F，則P為T，Q為F，則P∧Q為F，故P∧Q(PQ)。例9.（討論題）聯(lián)結(jié)詞“”和“”服從結(jié)合律么？解：聯(lián)結(jié)詞“”和“”均不服從結(jié)合律。證明方法有以下兩種：方法一：(PQ)R((P∧Q)∧R)(P∧Q)∨R而P(QR)(P∧(Q∧R))P∨(Q∧R)一般而言(P∧Q)∨R與P∨(P∧Q)是不等價的,故聯(lián)結(jié)詞“”不服從結(jié)合律。(PQ)R((P∨Q)∨R)(P∨Q)∧R而P(QR)(P∨(Q∨R))P∧(Q∨R)一般而言(P∨Q)∧R與P∧(Q∨R)是不等價的，故聯(lián)結(jié)詞“”不服從結(jié)合律。方法二：可以舉例如下：對于，給出一組真值指派：P為F，Q為T，R為T，則(PQ)R為F，但是P(QR)為T，故聯(lián)結(jié)詞“”不服從結(jié)合律。對于，給出一組真值指派：P為T，Q為F，R為F，則(PQ)R為T，但是P(QR)為F，故聯(lián)結(jié)詞“”不服從結(jié)合律。例10.（思考題）設(shè)計(jì)一個保密鎖的控制電路，鎖上共有三個按鈕A,Q,C。當(dāng)三鍵同時按下，或只有A,Q兩鍵按下，或只有A,Q其中之一按下時，鎖被打開。請寫出此控制電路的公式并畫出線路圖。分析：本題是邏輯在電路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。解題時先用真值表求出開鎖條件，再寫出邏輯表達(dá)式，化成最簡的形式，最后根據(jù)最簡表達(dá)式畫出電路圖。解：根據(jù)題目要求，列出開鎖條件的真值表：設(shè)P：A按下，Q：B按下，R：C按下得真值表如下所示：PQRG00000010010101101001101011011111由真值表寫出邏輯表達(dá)式為：GP∧Q∧R∨P∧Q∧R∨P∧Q∧R∨P∧Q∧RP∧Q∨(P∧Q∨P∧Q)∧RP∧Q∨((P∨Q)∧(P∨Q))∧R(P∧Q∨P∨Q)∧(P∧Q∨(P∨Q))∧(P∧Q∨R)(P∨Q)∧(P∧Q∨R)P∧Q∨(P∨Q)∧RP∧Q∨P∧R∨Q∧R故保密鎖的控制電路如圖所示：&A&11B