第十三章軸對稱

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點(diǎn)1利用軸對稱知識解決最短路徑問題

1.（教材P85變式題）如圖，直線1外有不重合的兩點(diǎn)A、B,在直線1上求作一點(diǎn)C,

使得AC+BC的值最小,作法:①作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)B，;②連接AB與直線

1相交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C為所求作的點(diǎn).在解決這個問題時沒有運(yùn)用到的知識或方法

是（）

A.轉(zhuǎn)化思想

B.三角形的兩邊之和大于第三邊

C.兩點(diǎn)之間，線段最短

D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角

2.（2021貴州貴陽八中期中）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，有A、B兩點(diǎn),在直線a

上求一點(diǎn)P,使PA+PB最短，則點(diǎn)P應(yīng)選在（）

4b—?-------------1-------------1-------------1

!++B?I

IIIII

T-D?~t!0

IIIII

L_______1._I_+_—T

IIIII

IIIII

L__J__U__.J

A.C點(diǎn)B.D點(diǎn)C.E點(diǎn)D.F點(diǎn)

3.（2021遼寧大連六校聯(lián)考）如圖,OA、OB分別是線段MC、MD的垂直平分

線,MD=5cm,

MC=7cm,CD=10cm,一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E,再爬到

OB邊上任意一點(diǎn)F,然后爬回M點(diǎn)處，則小螞蟻爬行的最短路徑的長為

知識點(diǎn)2利用平移解決造橋選址問題

4.如圖所示,在一條河的兩岸有兩個村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河垂

直，設(shè)河的寬度不變，試問:橋架在何處，才能使從A到B的距離最短？

*

R

5.如圖所示，在P、Q兩村之間有兩條河,且每條河的寬度相同，從P村到Q村，要經(jīng)

過兩座大橋EF、MN.現(xiàn)在要設(shè)計一條道路，并在兩條河上分別架這兩座垂直于河

岸的大橋，問:如何設(shè)計這兩座大橋EF、MN的位置，使由P村到Q村的路程最

短?（要求在圖上標(biāo)出道路和大橋的位置）

能力提升全練

6.（2022黑龍江齊齊哈爾期末,10,優(yōu)）如圖，在△ABC中，直線1垂直平分AB分別交

CB、AB于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F為直線1上任意一點(diǎn),AC=3,CB=4,則△ACF周長的最小

值是（）

A.4B.6C.7D.10

7.（2018天津中考』1,的）如圖，在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為

對角線BD上的一個動點(diǎn)，則下列線段的長等于AP+EP的最小值的是（）

A.ABB.DEC.BDD.AF

8.（2021青海西寧中考改編,17,通）如圖,△ABC是等邊三角形,N是AB的中點(diǎn),AD

是BC邊上的中線,M是AD上的一個動點(diǎn)，連接BM,MN,當(dāng)BM+MN的值最小

時,NMBN的度數(shù)是.

9.（2020青海西寧中考改編,18,倘）如圖，在等腰4ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC邊上,

連接AD,CD=5,AD=13,直線EF是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)M在EF上運(yùn)動，則

△CDM周長的最小值為.

"EDC

素養(yǎng)探究全練

10.［數(shù)學(xué)建模］如圖,某公路（視為X軸）的同一側(cè)有A,B,C三個村莊,要在公路邊建

一貨棧D（在x軸上），向A,B,C三個村莊運(yùn)送農(nóng)用物資,路線是

?一八一8一（2一》（或D—C-B—A—D）.試問公路上是否存在點(diǎn)D,使送貨路程之

和最短?若存在，請在圖中畫出點(diǎn)D所在的位置;若不存在,請說明理由.

5

4?8(2,4)

3

2?4L2)

?C(4,l)

0\234x

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.D將AC+BC的長度最短問題轉(zhuǎn)化為從A到B，的最短路線問題,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化

思想;從A到B，的最短路線即為線段AB；這應(yīng)用了“兩點(diǎn)之間,線段最短”;驗(yàn)證時

利用三角形的兩邊之和大于第三邊，故選D.

2.A如圖，點(diǎn)A，是點(diǎn)A關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)，連接AB,則A'B與直線a的交點(diǎn)即

為點(diǎn)P,此時PA+PB最短，

A'B與直線a交于點(diǎn)C,.,.點(diǎn)P應(yīng)選在C點(diǎn).故選A.

4*-1---------r------1---------1

'????

3.10cm

解析設(shè)CD與OA的交點(diǎn)為E,與OB的交點(diǎn)為F,

VOA>OB分別是線段MC、MD的垂直平分線，

.?.ME=CE,MF=DF,

...小螞蟻爬行的最短路徑的長=CD=10cm.

4.解析如圖，作BB唾直于河岸GH,且BB，等于河寬，

連接AB：與河岸EF交于P,將PB沿與河垂直的方向平移，得到DB,連接PD,則

PD〃BB^PD=BB：

利用平移可知PB'=BD.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知滿足題意的路徑中，路徑A-P-D-B最短.

故橋架在PD處符合題意.

■

R

5.解析如圖所示.

⑴過點(diǎn)P作PAJJi,垂足為A,過點(diǎn)Q作QB_l_b,垂足為B;

(2)分別在PA和QB上截取PC=QD=河的寬度；

(3)連接CD,分別交b和14于點(diǎn)E和M;

(4)過點(diǎn)E和M分別作h和b的垂線段，垂足分別為F和N;

(5)連接PF和QN,則路線P—FTETMTN—Q就是滿足題意的最短路線.

能力提升全練

6.C?.?直線1垂直平分AB,

:.A、B關(guān)于直線1對稱，

，F(xiàn)與D點(diǎn)重合時,AF+CF的值最小，最小值是BC=4,.\ZiACF周長的最小值

=AC+CF+AF=AC+CD+BD=AC+BC=3+4=7,故選C.

7.D如圖，連接CP,由AD=CD,NADP=NCDP=45o,DP=DP,可得△ADP^ACDP,

AP=CP,AP+PE=CP+PE,

當(dāng)點(diǎn)E,P,C在同一條直線上時,AP+EP的最小值為CE的長,

此時,由AB=CD,ZABF=ZCDE=90°,BF=DE,

可得△ABF^ACDE,

.,.AF=CE,.\AP+EP的最小值等于線段AF的長，

故選D.

8.30°

解析連接CM,CN,如圖,

,/AABC是等邊三角形,AD是BC邊上的中線,

AD±BC,BD=CD,ZABC=ZACB=60°,

...直線AD是BC的垂直平分線，

，BM=CM,

.?.BM+MN=CM+MN,即當(dāng)C、M、N三點(diǎn)共線時,BM+MN的值最小，為CN的長,

,/AABC是等邊三角形，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，

...CN平分NACB,

，ZMCB=30°,

VMC=MB,

，NMBC=NMCB=30。，

ZMBN=60°-30°=30°.

9.18

解析如圖，連接AM,

???EF垂直平分線段AC,

.\MA=MC,

.\DM+MC=MD+AM,

.,.當(dāng)A、D、M共線時,DM+MC的值最小,

即當(dāng)DM+MC的值最小時,DM+MC=AD,

.「DM+MC的最小值為13,

...ACDM周長的最小值=13+5=18.

素養(yǎng)探究全練

10.解析無論是走D-A—B7C—D,還是走D—C一B-A