齊齊哈爾普高聯(lián)誼校高三期末考試數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：復(fù)數(shù)，數(shù)列立體幾何（含空間向量）占50%；集合，邏輯，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面向量占50%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)（）A．2 B．1 C． D．4．若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減6．若函數(shù)（）在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．圣?索菲亞教堂（英語(yǔ)：SaintSophiaCathedral）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一坐始建于1907年的拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位．其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱(chēng)之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算圣?索菲亞教堂的高度，在教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是15°和60°，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則小明估算圣·索菲亞教堂的高度為（）（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)向量，，則（）A． B． C． D．10．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．最大 C． D．11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)為偶函數(shù)D．若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則可以為12．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面平面B．的最小值為C．若直線與所成角的余弦值為，則D．若是的中點(diǎn)，則到平面的距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)，則______．14．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則______．15．已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（異于點(diǎn)）在直線上，則______．16．已知函數(shù)（）圖象上相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸的距離為，則函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在遞增的等比數(shù)列中，，，其中．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，．（1）求角；（2）若，求邊上高的最大值．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．（1）求與所成角的大??；（2）求與平而所成角的正弦值．20．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（12分）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，．（1）若是的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：．齊齊哈爾普高聯(lián)誼校高三期末考試-數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．D由，得，，所以，又，所以．2．A，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．3．C，所以，，所以．4．A設(shè)向量與的夾角是，則，又因?yàn)椋裕?．B6．D因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，所以．7．C，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，所以，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．8．B由題意知，，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，，所以，在中，米，所以小明估算索菲亞教堂的高度為60米．9．ACD因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)?，所以與不平行，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，C正確；因?yàn)椋?，D正確．10．AD因?yàn)椋?，得，即，則A正確；當(dāng)時(shí)，，則，最小，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，?duì)稱(chēng)軸為，所以，則C錯(cuò)誤；因?yàn)椋訢正確．11．ABD因?yàn)?，所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B正確；易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，，即，，當(dāng)時(shí)，，故D正確．12．ABD在正方體中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，故A正確；連接，由平面，得，故在中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，故B正確；如圖，以、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，假設(shè)存在點(diǎn)，使直線與所成角的余弦值為，則，解得（舍去），或，此時(shí)點(diǎn)是中點(diǎn)，，故C錯(cuò)誤；由且平面，知平面，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，故，所以點(diǎn)到平面的距離為，即到平面的距離為，D正確．13．0因?yàn)?，則，故．14．4根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．15．由點(diǎn)且點(diǎn)在直線上，可設(shè)，，可得，，則，且，所以．16．4由題知，函數(shù)的最小正周期為，，所以，則．又，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，作出和（，且）的圖象如圖所示，可知兩函數(shù)圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．17．解：（1）由，，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，得，，因此數(shù)列的公比，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）得，，．18．解：（1）由正弦定理及，得．因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕?）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)邊上的高為，又因?yàn)?，所以．即邊上高的最大值為?9．解：（1）易知，又底面，、底面，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為．（用證明平面得參照給分）（2）由（1）知，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則，．所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．20．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，，，于是解得，，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）方法1：由（1）知，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．所以方法2：由（1）知，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，…當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．21．（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以與為等邊三角形．又中點(diǎn)為，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以．又，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：連接，，設(shè)，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，所以，底面．以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得；9分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得；所以，所以二面角的正弦值為．22．解：（1）當(dāng)時(shí)，，易知，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．（2）由已知可得，①若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，易知當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，所以時(shí)，，時(shí)，，所以，又，，所以在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，顯然符合題意；②若時(shí)，，顯然不符合題意；③若時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，令得或；令得，即在上單調(diào)遞減，和上單調(diào)遞增，函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則