天津市東麗區(qū)天津耀華濱海學(xué)校2024屆高三數(shù)學(xué)試題下學(xué)期第四次月考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．2．如圖所示，正方體的棱，的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A．1 B．2 C．3 D．44．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．20175．不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A． B． C． D．7．將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種8．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線E上的一點(diǎn)，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)M，且M為的中點(diǎn)，則雙曲線E的漸近線方程為()A． B． C． D．10．如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計(jì)，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．10811．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，若，則的最小正周期為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn)，的面積為3，則的值是______.14．設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.15．下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的的值為_(kāi)_________．16．在疫情防控過(guò)程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下，第15天開(kāi)始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開(kāi)始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_(kāi)______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知x∈R，設(shè)，，記函數(shù).（1）求函數(shù)取最小值時(shí)x的取值范圍；（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線：在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.19．（12分）已知．（1）已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；（2）求不等式的解集．20．（12分）已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線分別交橢圓于和，且，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線與曲線、相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)，若的極徑分別為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)表示出線段長(zhǎng)度，由勾股定理，解出每條線段的長(zhǎng)度，再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系，求出離心率.【題目詳解】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法，通過(guò)幾何關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)系，得到離心率.屬于中檔題.2、C【解題分析】

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【題目詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則，，，取平面的法向量為，設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．3、D【解題分析】

先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【題目詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.4、B【解題分析】

根據(jù)題意計(jì)算，，，計(jì)算，，，得到答案.【題目詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，故，，，，故，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故前項(xiàng)和最大.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列和的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.5、A【解題分析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【題目詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.6、B【解題分析】

由題意可得，且，故有①，再根據(jù)，求得②，由①②可得的最大值，檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件．【題目詳解】解：函數(shù)，，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，，且，、，，即為奇數(shù)①．在，單調(diào)，，②．由①②可得的最大值為1．當(dāng)時(shí)，由為圖象的對(duì)稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點(diǎn)，同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．7、D【解題分析】

采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開(kāi)始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【題目詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8、A【解題分析】

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)一步確定的取值范圍即可【題目詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時(shí)，得，解得；當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題9、C【解題分析】

由雙曲線定義得，，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關(guān)系，從而得到漸近線的斜率.【題目詳解】根據(jù)題意，點(diǎn)P一定在左支上.由及，得，，再結(jié)合M為的中點(diǎn)，得，又因?yàn)镺M是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn).在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形等知識(shí)，是一道中檔題.10、B【解題分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【題目詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，則小直角三角形的邊長(zhǎng)為，

則小正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.11、D【解題分析】

通過(guò)列舉法可求解，如兩角分別為時(shí)【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，但，故充分條件推不出；當(dāng)時(shí)，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、C【解題分析】

根據(jù)題意，知當(dāng)時(shí)，，由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【題目詳解】解：由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，∴由對(duì)稱軸可知，滿足，即.同理，滿足，即，∴，，所以最小正周期為：.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期，涉及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

對(duì)求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程，令，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由的面積為3，求解即得.【題目詳解】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，難度不大.14、1【解題分析】

根據(jù)為定義在上的偶函數(shù)，得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）求解.【題目詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的值為1.故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解題分析】

分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結(jié)論.【題目詳解】解:初始,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;經(jīng)判斷,此時(shí)跳出循環(huán),輸出.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是對(duì)算法語(yǔ)句的理解,屬基礎(chǔ)題.16、161【解題分析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果．【題目詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人．第15天開(kāi)始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開(kāi)始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，從第15天開(kāi)始，每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則第19天治愈出院患者的人數(shù)為，，解得，第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到f（x）=，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【題目詳解】（1）.令，k∈Z，即時(shí)，，取最小值，所以，所求的取值集合是；（2）由，得，因?yàn)?，所以，所以?在中，由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積，因此的面積的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和二倍角公式，兩角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題.18、（1）；（2）不存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.【解題分析】

（1）分類時(shí)，恒成立，時(shí)，分離參數(shù)為，引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可；（2），導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解．再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得．【題目詳解】解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以，若，為任意實(shí)數(shù)，恒成立.若，恒成立，即當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.，所以，要使時(shí)，恒成立，的取值范圍為.（2）由題意，曲線為：.令，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，因此在區(qū)間上的最小值，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程在上有實(shí)數(shù)解.而，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解.故不存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立，考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由導(dǎo)數(shù)幾何把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．本題屬于困難題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）依據(jù)能成立問(wèn)題知，，然后利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范圍；（2）按照零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式即可?！绢}目詳解】因?yàn)椴坏仁接袑?shí)數(shù)解，所以因?yàn)?，所以故。①?dāng)時(shí)，，所以，故②當(dāng)時(shí)，，所以，故③當(dāng)時(shí)，，所以，故綜上，原不等式的解集為。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式有解問(wèn)題的解法以及含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式問(wèn)題的解法，意在考查零點(diǎn)分段法、絕對(duì)值三角不等式和轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的應(yīng)用。20、（1）；（2）存在，.【解題分析】

（1）由條件建立關(guān)于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求得，求得，②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據(jù)等差中項(xiàng)可求得，得出結(jié)論.【題目詳解】（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；（2），