基于統(tǒng)計(jì)回歸方法對(duì)線性代數(shù)課后作業(yè)量與成績(jī)關(guān)系探討獲獎(jiǎng)科研報(bào)告摘

要：該文提出了一種基于統(tǒng)計(jì)回歸方法研究課后作業(yè)量的影響因素以及如何幫助老師更加合理的布置課后作業(yè)的方案，找出其影響課后作業(yè)量的因素，對(duì)其建立線性回歸模型，對(duì)于各種無法量化的定性的因素，采用了定性變量的數(shù)量化方法進(jìn)行分析，通過軟件進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、方程的顯著性檢驗(yàn)（F-檢驗(yàn)）、變量的顯著性檢驗(yàn)（t-檢驗(yàn)）、逐步回歸分析、拉格朗日檢驗(yàn)、異方差檢驗(yàn)等后，選取與被解釋變量有關(guān)的因素，加以統(tǒng)計(jì)分析得出最后結(jié)果。

關(guān)鍵詞：作業(yè)量;學(xué)生掌握程度;回歸分析;定性變量的量化;最優(yōu)解

一、具體問題及分析

線性代數(shù)課程作業(yè)量的影響因素有很多，如：老師授課的多少，學(xué)生的課余時(shí)間，其余課程的作業(yè)量等，我們需找出作業(yè)量與影響因素之間的關(guān)系。因?yàn)橛绊懸蛩剌^多，我們決定采用回歸分析的方法進(jìn)行研究，這就需要大量數(shù)據(jù)，我們決定通過向?qū)W生進(jìn)行問卷調(diào)查的形式采取抽樣調(diào)查的方法獲取數(shù)據(jù)。其中，作業(yè)量通過學(xué)生完成作業(yè)時(shí)間來衡量，若以題數(shù)衡量，由于每題的難易程度不同，難以標(biāo)準(zhǔn)化。在獲取數(shù)據(jù)后利用EViews系統(tǒng)軟件對(duì)所取得數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行分析，并采用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、方程的顯著性檢驗(yàn)（F-檢驗(yàn)）、變量的顯著性檢驗(yàn)（t-檢驗(yàn)）、逐步回歸分析、拉格朗日檢驗(yàn)、異方差檢驗(yàn)，用以評(píng)判所取因素對(duì)課后作業(yè)量的差異性，從而判斷結(jié)果的可信性。

二、模型的假設(shè)

1.t-檢驗(yàn)

t-檢驗(yàn)是用t分布理論來預(yù)測(cè)差異發(fā)生的概率，從而得出變量因素是否顯著。

當(dāng)總體分布是正態(tài)分布，那么樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈t分布。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中，t為樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量，為樣本平均數(shù)，μ為總體平均數(shù)，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本容量。

2.White檢驗(yàn)思想

在異方差形式未知的情況下，假設(shè)當(dāng)模型中包括了3個(gè)自變量，形如：

其中為方程的殘差值，此時(shí)White檢驗(yàn)就是上述回歸的整體顯著性的F檢驗(yàn)，如果此時(shí)F檢驗(yàn)顯著，那么就存在異方差，反之則不存在異方差。但是當(dāng)自變量增多的時(shí)候，上述回歸中的自變量將呈現(xiàn)出幾何級(jí)增加，因此將大量損失自由度。因此存在的一個(gè)改進(jìn)為，作回歸：

此時(shí)采用F檢驗(yàn)來檢驗(yàn)的原假設(shè)即可。

三、模型的建立與求解

我們考慮影響線性代數(shù)課程的因素，因而我們根據(jù)實(shí)際學(xué)習(xí)狀況，從學(xué)生、教師的角度客觀的考察影響因素，并對(duì)所收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而確定影響作業(yè)量的因素。從實(shí)際學(xué)習(xí)生活中，我們知道對(duì)課后作業(yè)量的布置影響主要來自學(xué)生和教師兩個(gè)方面，在滿足假設(shè)前提的基礎(chǔ)上，得出聽講程度、學(xué)生接受程度、教師授課水平、作業(yè)難易度、作業(yè)題目數(shù)量、其余課程的數(shù)量、其余作業(yè)所需時(shí)間的影響因素。將作業(yè)量看成被解釋變量，以上其中因素看成解釋變量，對(duì)所建立方程進(jìn)行回歸分析。

通過分析可以得出學(xué)生聽課程度、教師授課水平和其余作業(yè)所需時(shí)間和作業(yè)量成正比例關(guān)系，作業(yè)難易度與作業(yè)量成反比例關(guān)系，這就要求教師在實(shí)際授課過程中考慮學(xué)生的聽課程度，對(duì)于學(xué)生認(rèn)真聽課的情況要給予適當(dāng)多的作業(yè)量，從而達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固更好掌握知識(shí);授課水平較高的教師因?yàn)槟芙o出較高的教學(xué)質(zhì)量，因此可能會(huì)多布置作業(yè);回歸結(jié)果顯示的其余作業(yè)所需時(shí)間與作業(yè)量成正比例關(guān)系是超出一般理解的，因此這就建議教師了解學(xué)生所有課程的作業(yè)時(shí)間，通過合理安排線性代數(shù)作業(yè)的時(shí)間來達(dá)到讓學(xué)生學(xué)習(xí)達(dá)到最大效益。

四、結(jié)論檢驗(yàn)

影響作業(yè)量的因素有學(xué)生聽課程度、教師授課水平、作業(yè)難易度、其余作業(yè)所需時(shí)間。結(jié)合實(shí)際可以得出學(xué)生聽課程度、教師授課水平和其余作業(yè)所需時(shí)間和作業(yè)量成正比例關(guān)系，作業(yè)難易度與作業(yè)量成反比例關(guān)系。檢驗(yàn)過程中采用了逐步回歸分析，逐步回歸分析發(fā)現(xiàn)方程擬合優(yōu)度不高并且存在異方差，因此采用WHITE檢驗(yàn)異方差，用WLS（最小二乘法）對(duì)方程修正異方差，在使用1/resid的權(quán)重后發(fā)結(jié)果沒有很理想，因此采用1/resid^2的權(quán)重，得出可決系數(shù)為0.999952，并且方程能通過t-檢驗(yàn)、F-檢驗(yàn)、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，模型建立合理。當(dāng)老師每節(jié)課布置1小時(shí)的作業(yè)量時(shí)，學(xué)生掌握程度可達(dá)到最大為6.36，即掌握程度為63.6%。

五、模型的評(píng)價(jià)與推廣

1.模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）用經(jīng)濟(jì)學(xué)問題類比所需解決的問題，將學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度類比成經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收益，通過對(duì)各種因素的考察、分析得出模型所需要的變量（2）模型中對(duì)難以量化的變量采用了性變量的數(shù)量化方法進(jìn)行分析，從而將變量數(shù)據(jù)化方便統(tǒng)計(jì)分析;（3）統(tǒng)計(jì)分析、回歸分析等方法成熟，計(jì)算可靠，結(jié)果直觀可信;

2.模型的缺點(diǎn)

（1）樣本數(shù)據(jù)有限，代表性不強(qiáng);（2）假設(shè)條件較為理想，實(shí)際難以達(dá)到這樣的理想水平;（3）各量化指標(biāo)對(duì)學(xué)生掌握程度的影響使得非線性因素增加，導(dǎo)致問題變復(fù)雜，產(chǎn)生誤差;（4）模型處理時(shí)雖然形式簡(jiǎn)單，便于計(jì)算，而且也選取了真實(shí)可靠的數(shù)據(jù)，但是學(xué)生學(xué)習(xí)問題并不具有普遍性，此模型得出的結(jié)論只能反映學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握程度與作業(yè)量的大致關(guān)系。

3.優(yōu)化

在模