九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（文科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.全卷滿分150分，考試時(shí)間120

分鐘.

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫在答題卡上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第n卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題

卷上作答，答案無效.

3.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.

第I卷（選擇題60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

iz=@1.

+--12

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足22則Z=()

1V3.R1s/3.1

A.一1C.Dn.----1----1

222222

2.已知集合4={X|X20}B=,x\y=inf.-11貝ij低4)1B=()

IX)1,

A.(-1,0)B.(-8,0)C.(-2,-1)D.(-<?,-1)

x+2y>l

3.己知實(shí)數(shù)X,y滿足條件，x-y<\,則z=3x-4y的最大值為（)

J-l<0

A.-7B.1C.2D.3

4.已知命題P：3XGR,f+2x+2-a<0.若p為假命題，則實(shí)數(shù)“的取值范圍為（）

A.(1,+℃)B.[1,+<?)C.D.(-co,l]

5.正方體A6C。一4耳中，M是BG的中點(diǎn)，則直線DM與4。的位置關(guān)系是（）

A.異面垂直B.相交垂直C.異面不垂直D.相交不垂直

6執(zhí)行下邊的程序框圖’如果輸入的是〃=1,S=。,輸出的結(jié)果為磁’則判斷框中“O”應(yīng)填

入的是()

(開始)

I

/輸入〃,s/

A.〃<13B.n>12C.n<12D.n<\\

22

7.已知雙曲線C:=—4=l(a2>0)的左右焦點(diǎn)分別為《，尸2，時(shí)是雙曲線C左支上一點(diǎn)，且9

a'b"

點(diǎn)”關(guān)于點(diǎn)M對稱的點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為()

A.也+1B.V2+1C.V5+1D.75-1

8.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為=(“+；2_］，則其前8項(xiàng)和為()

995829

A.—B.—C.—D.—

10204545

9.定義在R上的奇函數(shù)/*)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(-1)=0,則關(guān)于x的不等式#(幻<0的解集為

()

A.(-1,0)?(0,1)B.(—1)50,1)

C.(―co,-])D(],+8)D.(—1,0)51,”)

10.已知函數(shù)/(x)=sin(x+；J+,則下列結(jié)論正確是()

兀5兀

A./(x)周期為兀，在上單調(diào)遞減

24

TI5兀

B./（x）周期為2兀，在二，二上單調(diào)遞減

一24一

7T571

C./（X）周期為兀，在彳,丁上單調(diào)遞增

124」

兀571

D.f（x）周期為2兀，在二,丁上單調(diào)遞增

.24_

11.青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下

彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測

量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓

相切，設(shè)切點(diǎn)為P,盤子的中心為。，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為A、8,點(diǎn)A關(guān)于。的對稱點(diǎn)為C.給出

下列四個(gè)命題：

①兩橢圓的焦距長相等；

②兩橢圓的離心率相等；

刨網(wǎng)=|叫

④8c與小橢圓相切

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

I3

12.設(shè)4=5m一，8=五一1，c=ln二，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

22

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>h>a

第n卷（非選擇題90分）

考生注意：

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22-23

題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量匕滿足a=（1,2）,且—Z?）,則a”=.

14.從邊長為1的正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)中，任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，則該線段長度為2的概率為.

15.函數(shù)/（幻=45山5%-卜一1|的所有零點(diǎn)之和為.

16.根據(jù)祖瞄原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)

截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是

底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等.若將這兩容器

置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同.如圖2,一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為4cm,高

為10cm,里面注入高為1cm的水，將一個(gè)半徑為4cm的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，

水面的高度為cm.（注：次“26）

圖2

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.九江市正在創(chuàng)建第七屆全國文明城市，某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生對九江創(chuàng)文的了解和重視，組織全校高三學(xué)

生進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少”知識(shí)競賽（滿分100）,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們

的知識(shí)競賽成績分布如下:

[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

文科生116234416

理科生92427328

合計(jì)1040507624

（1）在得分小于80分的學(xué)生樣本中，按文理科類分層抽樣抽取5名學(xué)生.

①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人；

②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率.

（2）如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”，能否有99.9%把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”與文理

科類有關(guān)？

參考數(shù)據(jù)：

p(Y次)010

n(ad-bc￥

其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.在銳角-ABC中，角A,B,。所對的邊為〃，b,c,已知(a-Z?+c)(a-b-c)+a)=O,

besinC=3ccosA+3acosC.

(1)求c；

(2)求Q+Z7的取值范圍.

77

19.如圖，在三棱柱ABC-Agq中，ACL平面A4,B/,ZABBt=-,45=1，AC=AA=2,D為

棱5用的中點(diǎn).

(2)若E為棱BC的中點(diǎn)，求三棱錐E—AG。的體積.

20.已知P是拋物線E:x2=2py(p>0)上一動(dòng)點(diǎn)，。(0,3)是圓/：(％—1)2+(y一根)2=1上一點(diǎn)，忸@

的最小值為2加.

(1)求拋物線E的方程;

(2)N(a,。)是圓M內(nèi)一點(diǎn)，直線/過點(diǎn)N且與直線垂直，/與拋物線C相交于4，為兩點(diǎn)，與圓M

相交于4,4兩點(diǎn)，且|AA|=|&Aj,當(dāng)a+力取最小值時(shí)，求直線的方程.

21.已知函數(shù)/(x)=。"一"一x-sinx,aeR.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，證明：/(x)>0；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，判斷/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說明理由.

請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

J1Q—____

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/的方程為缶+及y+l=0,曲線C的參數(shù)方程為，-cosa(a

y-tana

為參數(shù)).以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線/的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

(2)設(shè)直線y=^(Z>0)與曲線C相交于點(diǎn)4B,與直線/相交于點(diǎn)C,求總產(chǎn)+[5祭+0^7最

大值.

選修4—5：不等式選講

23.已知函數(shù)/(x)=2|x-l|+|x-a|(aeR).

(1)若/(x)的最小值為1,求a的值；

(2)若/(x)<a|x|+6恒成立，求。的取值范圍.

九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（文科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.全卷滿分150分，考

試時(shí)間120分鐘.

考生注意:

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫在答題卡上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第n卷用黑色簽字筆在答

題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.

3.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.

第I卷（選擇題60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

731.

1Z=---1----1

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足22,則z2=（）

A.-+—iB.也iC.gD.

222222

1百.

——4------1

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得到z,從而得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閕z=—+-!-i，則一即2=，一立i，

222222

故選:C

2.已知集合A={x|xNO},B=<x|y=Inx-—|,則B=()

A.(—1,0)B.(-oo,0)C.(-2,-1)D.

(H?,-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合集合交集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】由x」>0=l)>Onx>l,或-l<x<0,

xx

因?yàn)锳={x|xNO},所以"A={x|x<0},

所以(QA)I5=(-1,0),

故選：A

x+2y>\

3.己知實(shí)數(shù)x,y滿足條件,則z=3x—4y的最大值為()

y_]?0

A.-7B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

31

【分析】根據(jù)題意，作出可行域，結(jié)合圖像可知，當(dāng)/：y=二x--z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z最大,

-44

即可得到結(jié)果.

由約束條件可得可行域的區(qū)域，

3131

因?yàn)閦=3x—4y,可轉(zhuǎn)化為y=-x——z,平移直線=——z,

4444

結(jié)合圖像可得，當(dāng)直線/過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，

x+2y-1[x=\,、

且{,,，解得《八，即點(diǎn)4(1,0),

x—y=1Iy=0

所以Zmax=3X1-0=3.

故選:D

4.已知命題P：玉eR,x2+2x+2—a<()，若P為假命題，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

A.(1,+℃)B.[1,+℃)C.(-℃,1)D.

S,l]

【答案】D

【解析】

【分析】首先由P為假命題，得出力為真命題，即VxeR,%2+2%+2—。？0恒成立，

由△?(),即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槊}夕：HxeR,f+2x+2一a<(),

所以一]P；VreR,x2+2x+2-a>0>

又因?yàn)?，為假命題，所以力為真命題，

即VxeR,￥+2x+2-a?0恒成立，

所以AKO,即22—4(2—a)<0,

解得,

故選：D.

5.正方體ABCD—AACQi中，M是8G的中點(diǎn)，則直線OM與AC的位置關(guān)系是()

A.異面垂直B.相交垂直C.異面不垂直D.相交不

垂直

【答案】B

【解析】

【分析】如圖，通過證明4c4。，可得力歷與4。共面相交，后利用三角形相似可得

CM與4。的位置關(guān)系.

【詳解】如圖，因A4CD,且44=co,

則四邊形A4C。為平行四邊形，故4。A。.

又MwB\C,則DM與4c共面相交.設(shè)DM與\C相交于E.

又設(shè)正方體棱長為2,則=亞，A。=2亞，MD=8'C=2區(qū)

MECEMC1

注意到上MCE..D\E,則石；=工7=777=o，

ED3￡)A2

則可得ME=近，CE=

33

74

因"爐+<7爐=彳+：=2=MC2,則DM1A.C,

即?！迸c4c的位置關(guān)系是相交垂直.

故選：B

4095

6.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是〃=1,S=0,輸出的結(jié)果為一二，則判斷框中

4096

“<3>”應(yīng)填入的是（）

/輸出s/

A.”<13B.〃>12C.〃<12D.H<11

【答案】C

【解析】

【分析】利用程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，不斷循環(huán)直到滿足為止.

【詳解】根據(jù)程序框圖，輸入〃=1,5=0,則5=,，滿足循環(huán)條件，〃二2,

2

34095

〃=2,S=—,滿足循環(huán)條件，〃=3.....〃=12,S=——，

44096

不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A,B,D錯(cuò)誤.

故選：C.

22

7.已知雙曲線C:二—二=1（。力〉0）的左右焦點(diǎn)分別為片，鳥，M是雙曲線C左支上一

ab

點(diǎn)，且巾與，點(diǎn)6關(guān)于點(diǎn)M對稱的點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為（）

A.V3+1B.V2+1c.#）+1D.V5-1

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可知一人耳尸為等邊三角形，即可得至！用=c,|ME|=&c,再根據(jù)雙

曲線的定義磯=2。，即可求出離心率.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)M對稱的點(diǎn)為F,可知目=|阿|,

又叫，M鳥，所以鳥耳尸為等腰三角形，則|匹|=|耳用，

又因?yàn)閨。制=|。用，所以|咐|=|即］,

則|歷|=|尸閭=|耳閭，互7聲為等邊三角形，

因?yàn)閨償|=2c,所以|M用=；忸用=以|Af^|=7（2c）2-c2=73C.

由雙曲線的定義可知，||叫|一眼引=20,即（6-l）c=2a,

故選：A.

8.已知數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)為=（〃+［）匚，則其前8項(xiàng)和為（

【答案】D

【解析】

【分析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.

〃(〃+2)2n〃+2

g，1八111111111J111129

2(32435810)2(2910J45

故選：D

9.定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+<?)上單調(diào)遞增，且/(-1)=0,則關(guān)于x的不等式

^。)<。的解集為()

A.(-1,0)(0,1)B.(-a>,-l)u(0,l)

C.(-00,-1)51,+8)D.(一1,0)51")

【答案】A

【解析】

【分析】首先由/")為R上的奇函數(shù)，在(0,+?。)上單調(diào)遞增和/(-1)=0得出，/(*)在

(-8,0)上單調(diào)遞增，且/(0)=0,/(1)=0,畫出大致圖像，分類討論X的取值，即得出

不等式的解集.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，且/(0)=0,/(1)=(),

可畫出其大致圖像，如圖所示，

因?yàn)榕c(x)<0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(%)<0,解得

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)>0,解得一1<%<0,

當(dāng)x=0時(shí)，顯然不合題意，

所以不等式4Xx)<0的解集為(一1,0)口(0,1),

故選：A.

(7T/TT

10.已知函數(shù)/(x)=sinx+—+sinx一一，則下列結(jié)論正確的是()

I4；I4；

兀5兀

A./(x)周期為兀，在上單調(diào)遞減

24

兀5兀

周期為2兀'在上單調(diào)遞減

TT5TE

c，周期為兀,在rT上單調(diào)遞增

7t5兀

D./(x)周期為2兀，在上單調(diào)遞增

24

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的正負(fù)性、單調(diào)性，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.

7ETT

【詳解】當(dāng)2版工工一］＜2也+兀(kEZ)時(shí)，即2E+iKxK2E+a(%￡Z),

/(x)=sin(x+；J+sin(x-；

=sin=V2sinx,

兀5兀

顯然該函數(shù)此時(shí)在-,y上單調(diào)遞減,

jr5兀9兀

當(dāng)2攵兀+兀?]一1W2%兀+2兀(左￡Z)時(shí)，即2for+—<x<2Z：7t+—(Z:eZ),

=sinM]

f(x)=sinx+—+sinlx--=V2cosx,

I4jI4jl4J

TT5兀

因此函數(shù)的周期為2兀，在上單調(diào)遞減，

_24_

故選：B

11.青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品

種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近

似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現(xiàn)不慎掉落

一根質(zhì)地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為P,盤子的中心為。，筷

子與大橢圓的兩交點(diǎn)為A、8,點(diǎn)A關(guān)于。的對稱點(diǎn)為C.給出下列四個(gè)命題：

①兩橢圓的焦距長相等；

②兩橢圓的離心率相等；

③附=|叫

④8C與小橢圓相切.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為JW（2>1）,設(shè)點(diǎn)尸（4,匕））、

A（玉,y）、3（馬,%），建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的幾何性質(zhì)可判斷①②；利用直線

與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷③的正誤；取尸（（）,"）以及2,可判斷④的正

誤.

【詳解】設(shè)大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為0（2>1）,

設(shè)點(diǎn)產(chǎn)（七,幾）、A（%,y）、6（%2，%），

以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長軸、短軸所在直線分別為X、>軸建立如下圖所示的平

面直角坐標(biāo)系，

22

設(shè)小橢圓的方程為餐+方=1,>。>0,。=一

Y\A

22

則大橢圓的方程為=+[=/l,

a1b2

對于①，大橢圓的焦距長為一勸2=2jWc:>2「兩橢圓的焦距不相等，①錯(cuò);

ar-2_勸2板

CCEJF-h4旬.Tr、小

八JJ'XXIIIJIZJSJHJJ'1X-J<_■

J^a\l~Zaci

對于③，當(dāng)直線AB與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)A、8關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，此時(shí)點(diǎn)P為線段A8的

中點(diǎn)，合乎題意，

當(dāng)直線AB的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線A8的方程為>="+〃?，

2

聯(lián)立匕、,2一2、.2一2/可得攻+。2卜2+2a1krnx+a1{nr-/?1=0,

\<ox-ray-a0

2

A=4a4k2m2-4a2{nr-b2^k2a2+/?)=0，可得加2=k2a2+b2，

1+a2kma2kmka2

k~a~+。-m~m

y=kx-vm

聯(lián)立段2+a2y2可得(%2a2+力2b2+2/初氏+〃2(加2一肪2)二0,

=Aa2h2

2a2km2a210n_2crk

由韋達(dá)定理可得=2x,即點(diǎn)P為線段AB的中

k2a2+b2'7772m0

點(diǎn),

綜上所述，|P4|=|「耳，③對；

丫22___

對于④，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0/)時(shí)，將y="代入鼻+齊=丸可得x=±aJI^T,

不妨取點(diǎn)|,則C(-ay/九-1,-b),

若Xw2,則直線BC的方程為x=-aJI=T，此時(shí)直線BC與橢圓不相切，④錯(cuò).

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：

(I)韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)

的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；

(2)點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方

程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.

?3

12.設(shè)。=§足一，=Ve-1>c=ln=，則a,Z?,c的大小關(guān)系為()

22

A.a>h>cB.b>a>C

C.b>oaD.oh>a

【答案】B

【解析】

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)/(X)=s〃比—?dú)v(X+D和〃(X)=e'-(sinx+l),利用導(dǎo)數(shù)討論其單

調(diào)性可得.

【詳解】將3用變量X替代，則。=$[1?:,b=e'—1，c=ln(x+l),其中xe(O,l),

令/(x)=sinx-ln(x+1),則/'(x)=cosx———，

x+1

令g(x)=f\x)=cosx———，則g'(x)=-siar+-~,

x+1(x+1)

易知g'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，且g'(0)=l>0,g'(l)=；-sinl<0,

3x0e(0,1),使得g'(Xo)=O,

當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，g\x)>0,/'(x)單調(diào)遞增；當(dāng)工€(i,1)時(shí)，g'(x)<0,/'(x)單調(diào)遞

減.

又((0)=0,r(l)=cosl—g>0,.../'(%)>0,.../(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，

A/(%)>/(0)=0,即sinx>ln(x+l),sin^>ln(-^+l)：.a>c,

記〃(x)=e'-(sinx+l),XG(0,1),則”(X)=e'-COSX>0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

I1i

又//(())=e°—(sin()+1)=0,所以//(一)>人(0)=0,所以e?—l〉sinL所以

22

綜上，b>a>c.

故選：B.

第n卷(非選擇題90分)

考生注意：

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作

答.第22-23題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量”，匕滿足a=(1,2),且a_L(a-Z?),則a.6=.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由向量垂直可得其數(shù)量積為0,列出方程，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍J,(a—,且a=(l,2),則。?(a-8)=(),即。心=k|=(『+2，=5.

故答案為：5

14.從邊長為1的正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)中，任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，則該線段長度為2的概

率為.

【答案】-##0.2

5

【解析】

【分析】列舉出所有的線段，并列舉出長度為2的線段，利用古典概型的概率公式可求得所

求事件的概率.

【詳解】如下圖所示，在邊長為2的正六邊形中，

任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，所有的線段有：A3、AC、AZ>、AE>AF>BC、BD、BE、

BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15條，

其中長度為2的線段有：AD，BE、CF,共3條，

故所求概率為P=33=一1.

155

故答案為：—.

15.函數(shù)/(x)=4$皿]彳一,一1|的所有零點(diǎn)之和為.

【答案】6

【解析】

【分析】令f(x)=O,兩個(gè)解即為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成g(x)=4sin]x,〃(x)=|x-l]

兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，作圖即可求出零點(diǎn)，且g(x)和/z(x)的函數(shù)圖象關(guān)于x=l對稱，零

點(diǎn)也關(guān)于x=l,即可求出所有零點(diǎn)之和.

【詳解】解：令/。)=0,得4sinWx=|x—1],解得％=-3或x=5,即為零點(diǎn),

令g(x)=4sin]x/?(x)=|x-l|,

,.T—__=4

可知g(x)的周期兀，對稱軸x=l+4%MeZ,

2

且/?(x)的對稱軸尤=1,

做出g(x)=4sin]x和〃(x)=|x—1|的圖象如圖所示:

g(x)=4sin^x在(5,4)處的切線為x軸，，/(x)在(4,5)上存在零點(diǎn),

同理/(x)在(一3,-2)上存在零點(diǎn)，所以/(x)在［-3,5］上存在6個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)間(x)和〃(x)的函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，則fM零點(diǎn)關(guān)于x=1對稱，

所以/(x)的所有零點(diǎn)之和為6x1=6.

故答案為：6.

16.根據(jù)祖曬原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面

所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖1所示，一個(gè)容器是半

徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的

圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等.若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高

度也相同.如圖2,一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為4cm,高為10cm,里面注入高為1cm的

水，將一個(gè)半徑為4cm的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為

cm.(注：啦=1.26)

圖1圖2

【答案】1.48

【解析】

分析】根據(jù)祖曬原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運(yùn)算公式求解即可.

【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為〃，

由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，

由圖1知相應(yīng)圓臺(tái)的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，

故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺(tái)的體積，因?yàn)槿萜鲀?nèi)水的體積為以=71x42x1=16兀，

相應(yīng)圓臺(tái)的體積為7tx42x4—，X7tX（4—/z）2X（4——~無,

所以］6兀=叫_（4/）7t,解得人=4-*=4-2啦*4-2x1.26=1.48cm,

33

故答案為：1.48

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.）

17.九江市正在創(chuàng)建第七屆全國文明城市，某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生對九江創(chuàng)文了解和重視,

組織全校高三學(xué)生進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少“知識(shí)競賽（滿分100）,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、

理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們的知識(shí)競賽成績分布如下：

[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

文科生116234416

理科生92427328

合計(jì)1040507624

（1）在得分小于80分的學(xué)生樣本中，按文理科類分層抽樣抽取5名學(xué)生.

①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人；

②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率.

（2）如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”，能否有99.9%的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競

賽優(yōu)秀獎(jiǎng)''與文理科類有關(guān)？

參考數(shù)據(jù)：

P（K』）

ko

n(ad-be)“，,,

K--------------------------,其中〃=〃+/?+c+d?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

7

【答案】（1）①文科生2人，理科生3人；②—

(2)沒有％的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”與文理科類有關(guān).

【解析】

【分析】(1)求出抽取的5人中文科生2人，理科生3人，再利用列舉法求出概率作答.

(2)先列聯(lián)表，求出K?的觀測值，再與臨界值表比對作答.

【小問1詳解】

①得分小于80分的學(xué)生中，文科生與理科生人數(shù)分別為：40和60,比例為2:3,

所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人.

②這5名學(xué)生有2人是文科生，記這兩人為。,人，3人是理科生，記這三人為1,2,3,

隨機(jī)抽取兩名同學(xué)2人包含的基本事件有：

3份,(a,1),(a,2),(a,3),0,1),0,2),0,3),(1,2),(1,3),(2,3),共10個(gè)，

其中至少有一名文科生情況有7種：(a,b),(a,有(a,2),(a,3),S,1),(仇2),(/?,3),

7

因此抽取的2名學(xué)生至少有一名文科生的概率為P(A)=—.

10

【小問2詳解】

由題中數(shù)據(jù)可得如下聯(lián)表：

創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎(jiǎng)未獲優(yōu)秀獎(jiǎng)合計(jì)

文科生6040100

理科生4060100

合計(jì)100100200

則市的觀測值：

K2=Md—be#=200(60x60-40x40)2=&<10828,

(a+b)(c+d)(a+c)(〃+d)100x100x100x100

所以沒有％的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”與文理科類有關(guān).

18.在銳角一ABC中，角A,B,C所對的邊為mc,已知-b+c)(。一匕一c)+ob=。,

besinC=3ccosA+3acosC.

(1)求c；

(2)求a+的取值范圍.

【答案】(1)2#)

(2)(6,473]

【解析】

71

【分析】（1）由（。-2+。）（。-6一。）+。6=0得出。=3,再利用正弦定理，兩角和的正

弦公式及誘導(dǎo)公式，將人。$出。=3。8524+3。86。轉(zhuǎn)化為§由3?（??立=3§由3，即可

2

求出答案;

271

（2）利用正弦定理，將。+人轉(zhuǎn)化為4sinA+4sin3,再根據(jù)三角形內(nèi)角和得出3=——A,

3

代入，根據(jù)兩角差的正弦公式及輔助角公式得出。+b=46sin(A+看)，再由一ABC為

銳角三角形得出角A的范圍，即可。+人的取值范圍.

【小問1詳解】

解：(a-b+c)(a-b-c)+ab=Of

2,2，,□!!ci~+b~-c~1

a'+b--c2^ah>即-----------

lah2

cosC=—,

2

又，0＜。＜兀，

3

..sinC——，

2

百

bcsinC=3ccosA+3acosC,sinC=——

2

sin8?c?*=3(sinCcosA+sinAcosC)=3sin(A+C)=3sinB>

0<B<7T,即sin3w0,

:.^-c=3?解得C=2G.

2

【小問2詳解】

a_b_c_2>/3_

解：由正弦定理得，sinA-5布8-sin。一正一，

T

a=4sinA,h=4sinB,

-*?a+〃=4sinA+4sin3,

Tl

A+8+C=7i,C=—,

3

n2兀.

B------A

3

則a=4sinA+4sin

Gi

4(sinA+cosA+—sinA)

22

=6sinA+26C0SA

兀

二4百sinAA+一

I6

..ABC為銳角三角形，

...Ae,?,成。,切

Ae

A+一￡

sin(A+2)w

???4瓜in(A+臚(6,4碼,

即〃+b￡(6,46].

7T

19.如圖，在三棱柱ABC-A用G中，AC_L平面ZABBt=-,43=1，

AC=A4,=2,。為棱的中點(diǎn).

(1)求證：4￡>_1平面4(；。；

（2）若E為棱8c的中點(diǎn)，求三棱錐E-AG。的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵—

4

【解析】

【分析】（1）由題意可得△48。為等邊三角形，耳。為等腰三角形，進(jìn)而證明

AO1.4。，利用線面垂直的性質(zhì)可得AC_LAO,再利用線面垂直的判定即可證明AD_L

平面AG。；

（2）由（1）△/!￡￡>為直角三角形，求出其面積，連接A4,以A為原點(diǎn)，AB,AC,AB.

的正方向?yàn)閤,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出AE=[g,l,o]和平面AG。的一個(gè)方向

量〃=卜6,一6,1）,利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求出高，在根據(jù)錐體的體積公式即可

求解.

【小問1詳解】

7T

證明：已知乙488]=彳，AB=1,A&=2,

則B4=A4,=2,AB|=AB=1,/￡）44=兀_1=等

又。為棱B區(qū)的中點(diǎn)，則旦O=8O=g8g=1,

所以△A8O為等邊三角形，△44。為等腰三角形，

則NBDA——,Ng——\TI----|,

3213J6

7T

所以ZA￡）A=兀一NBZM—NgZM,=],即

因?yàn)锳C_L平面44,8/,ADu平面A44B,

所以ACLAD,即LAD,

而4。1門4。=4，4G，4Ou平面AG。，所以AD_L平面ACQ.

【小問2詳解】

由（1）可知，AD=\,

由A￡>,平面AG。，GOu平面AG。，所以AO，G。，則△AQ。為直角三角形，

由AC,平面44隹8,A^u平面A4.B產(chǎn)，所以AC1AA1,所以

因?yàn)?。1=伍=2,所以在RtAA4G中，AC,=7AA2+ACI2=2^2.

則在Rt^AG。中，CQ=dAC；_AI)2=#i,

所以SAG，＞=gAO.G°=*，

TT

連接A%已知NABB］=5，AB=1,BB、=2,

由余弦定理|4團(tuán)2=卜6「+怛4「—248.84-05/7184=1+4—2*1*2乂(=3,

滿足|叫「當(dāng)人邦+同用廣，所以NBA4=],即ABLA.

而AC,平面A448,所以AB,A片,AC兩兩垂直,

以A為原點(diǎn)，A3,AC,A4的正方向?yàn)閤,?z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),。［:，。，苧)，C,(-1,2,73),

所以AE=［；,1,O),AD=；，0，孚，AC,=(-1,2,73),

設(shè)。=(x,y,z)為平面AG。的一個(gè)法向量,

L+2=0

〃?A。=0

則《，即《22，令z=l，則力=卜＞/^,