2021屆高考數(shù)學(xué)模擬預(yù)熱卷(新高考)(二)

注意事項(xiàng)：1、答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)

在答題卡上

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={0,根-2,/},8={xwZ[l<x<5},若Ac3={4},則實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合是()

A.{2,6}B.{-2,6}C.{-2,2}1).{-2,2,6)

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)牛且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。為()

2-1

A.2B.—2C.—D.—

22

3.為了落實(shí)中央提出的精準(zhǔn)扶貧政策，永濟(jì)市人力資源和社會(huì)保障局派3人到開(kāi)張鎮(zhèn)石橋村包扶5

戶貧困戶，要求每戶都有且只有1人包扶，每人至少包扶1戶，則不同的包扶方案種數(shù)為()

A.30B.90C.150D.210

4.VA8C的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c。若VA8C的面積為幺*—工，則C=()。

4

A.-B.-C.-D.-

2346

5.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分,評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉

1個(gè)最高分、1個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比,不變的數(shù)字特征是

0

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

6.某種計(jì)算機(jī)病毒是通過(guò)電子郵件進(jìn)行傳播的,下表是某公司前5天監(jiān)測(cè)到的數(shù)據(jù)：

第X天12345

被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)量y/臺(tái)10203981160

則下列函數(shù)模型中，能較好地反映計(jì)算機(jī)在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是()

A.y=10xB.y=5x2-5x+10

J

C._y=101og2x+10D.y=5x2

7.在平行四邊形ABC。中，AC與3。交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與C￡)交于點(diǎn)

尸，若而=4，麗=5,則赤=()

11-11-21-12r

A.-a+—bB.—a+—bC.-a+-bD.—a+—b

42243323

8.函數(shù)y=〃x)是R上的奇函數(shù)，滿足f(3+x)=/(3—x)當(dāng)xw(0,3)時(shí)，/(x)=2*,則/(百=()

A.2B.-2C.-D.—

22

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知雙曲線。?-￡=l(q>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳序戶為雙曲線上一點(diǎn)，且

歸用=2歸段，若sin/耳尸￡=半，則對(duì)雙曲線中若c,e的有關(guān)結(jié)論正確的是0

A.e=A/6B.e=2C.b=45aD.b=ga

10.已知數(shù)列｛對(duì)｝的前n項(xiàng)和為S.，若凡是S“與;1(4/0)的等差中項(xiàng)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)且僅當(dāng)4=2時(shí)，數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛七｝一定是單調(diào)遞增數(shù)列

C.數(shù)列是單調(diào)數(shù)列D.a?a?+2>0

11.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?0,*?),導(dǎo)函數(shù)為/'(x)R'(x)-/"(x)=xlnx：il.=則()

A.r(j=0B.在x=g處取得極大值

C.0</(1)<1D.〃x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

12.某學(xué)校共有6個(gè)學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐(選擇到每個(gè)

餐廳概率相同)，則下列結(jié)論正確的是()

A.四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為上

18

B.四人去了同一餐廳就餐的概率為二一

1296

C.四人中恰有兩人去了第一餐廳就餐的概率為至

216

D.四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知片,乙分別是雙曲線3/-〉2=3〃2(〃>0)的左、右焦點(diǎn),P是拋物線丁=8亦與雙曲線的一

個(gè)交點(diǎn).若歸用+|尸段=12,則拋物線的準(zhǔn)線方程為

14.若正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為5“，且5,=(鋁)，〃eN*,定義數(shù)列也｝對(duì)于正整數(shù)幅粼是

使不等式q22”成立的n的最小值，則他,｝的前10項(xiàng)和為.

15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCQ-A4GA中，E為BC的中點(diǎn)，P為直線0E上一動(dòng)點(diǎn)，則

點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為.

16.己知三棱錐p-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足BA=BC=>j6'

ZABC=-，若該三棱錐體積的最大值為3其外接球的體積為.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）在AABC中，NB=2,AB=15,點(diǎn)。在邊8C上，CD=1,cosZADC=—.

326

（1）求sin44￡>;

（2）求△ABC的面積.

18.（12分）已知數(shù)列｛〃“｝的前5項(xiàng)分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,數(shù)列"｝滿足".

⑴求也｝的前n項(xiàng)和S“.

（2）求數(shù)列］言二｝的前“項(xiàng)和

19.（12分）體溫是人體健康狀況的直接反應(yīng)，一般認(rèn)為成年人腋下溫度T（單位：°C）平均在

36。<：口37。。之間即為正常體溫，超過(guò)37.1。。即為發(fā)熱.發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)

熱類型：低熱：37.1<丁<38；高熱：38<T<40；超高熱（有生命危險(xiǎn)）：T>40.

某位患者因患肺炎發(fā)熱，于12日至26日住院治療.醫(yī)生根據(jù)病情變化，從14日開(kāi)始，以3天為一

個(gè)療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進(jìn)行消炎退熱.住院期間，患者每天上午8:00服藥，護(hù)

士每天下午16:00為患者測(cè)量腋下體溫記錄如下：

抗生素沒(méi)有使用使用“抗生素A”治療使用“抗生素B”治療

使用情

況

日期12013日14日15日16日17日18日19日

體溫

38.739.439.740.139.939.238.939.0

(℃)

抗生素使使用“抗生素C”治療沒(méi)有使用

用情況

日期20日21日22日23日24日25日26日

體溫(℃)38.438.037.637.136.836.636.3

(1)請(qǐng)你計(jì)算住院期間該患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值;

(2)在19日一23日期間，醫(yī)生會(huì)隨機(jī)選取3天在測(cè)量體溫的同時(shí)為該患者進(jìn)行某一特殊項(xiàng)目“a

項(xiàng)目”的檢查，記X為高熱體溫下做“?項(xiàng)目”檢查的天數(shù)，試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(3)抗生素治療一般在服藥后2-8個(gè)小時(shí)就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，開(kāi)始?xì)缂?xì)菌，達(dá)到消炎退

熱效果.假設(shè)三種抗生素治療效果相互獨(dú)立，請(qǐng)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并

說(shuō)明理由.

20.(12分)如圖所示,該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)正四棱錐P-/WCD組合而

成的，ADA.AF,AE=AD-2.

(1)證明：平面加DJL平面

(2)求正四棱錐P-的高h(yuǎn)，使得二面角C—A尸-P的余弦值是述.

3

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=%2—(2/w+l)尤+￡)。

(1)當(dāng)加=-;時(shí)，若函數(shù)g(x)=/(%)+(〃-1)In九恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍;

(2)當(dāng)x>l時(shí)，/(幻<(1)/恒成立，求m的取值范圍。

22.(12分)已知橢圓C：m+y=l(a>0>0)的離心率為變，且過(guò)點(diǎn)A(2,l)

a22

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)在C上，且D為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q，使得|。。|為定值.

答案以及解析

一、單項(xiàng)選擇題

1.答案：B

解析:因?yàn)锳c3={4},所以4wA.若加—2=4,即機(jī)=6,A={0,4,36},8={2,3,4},

Ac8={4},符合題意.若，/=4,即〃?=12,當(dāng)m=2時(shí)，〃[-2=0,不符合題意；當(dāng)機(jī)=一2

時(shí)，A={0,T,4},8={2,3,4},AcB={4},符合題意.所以實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合為{6,-2}.

2.答案：A

(

解析：復(fù)1+數(shù)ai(l+a。i)2+.i)<=——2-a+-——2ai+i，它是純虛數(shù)，所以"2,

故選A

3.答案：C

解析：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

C2C：

①、將5戶貧困戶分成3組,若分成2、2、1的三組，有=15種分組方法,

若分成3、1、1的三組，有G4G=10種分組方法，

4

則有15+10=25種分組方法，

②、將分好的三組全排列,對(duì)應(yīng)派出的3人,有A；=6種情況，

則有25x6=150種不同的包扶方案，

所以C選項(xiàng)是正確的.

4.答案：C

解析：已知V43C的面積為g,又slahsinC,所以L心sine=a十",整理可

4224

21222>22

得sinC="一+'。根據(jù)余弦定理可知cosC=M上^,所以sinC=cosC。因?yàn)镃e(0,7r),

lab2ab

所以C=K。故選c。

4

5.答案:A

解析：記9個(gè)原始評(píng)分分別為出戾°,”,4/送,〃"（按從小到大的順序排列），易知e為7個(gè)有效評(píng)分

與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù),故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.

6.答案：D

解析:對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x=1,2,3,4,5時(shí),對(duì)應(yīng)的y值分別為10,20,30,40,50;對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x=l,2,3,4,5

時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為10,20,40,70,110;對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)x=l,2,3,4,5時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為

10,20,10+101嗅3,30,10+101鳴5;對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)x=1,2,3,4,5時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為

10,20,4。8.而表中所給的數(shù)據(jù)當(dāng)x=l,2,3,4,5時(shí),對(duì)應(yīng)的y值分別為10,20,39,81,160,通過(guò)比

較,即可發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)D中y的值誤差最小，即y=5x2'能較好地反映y與x之間的關(guān)系,故選D.

7.答案：C

解析：如圖所示,

□ABCD中，△DEFSABEA,

.DEDF\

??-------------,

EBAB3

0/71

再由=8可得匕一=-，

DC3

:.DF=-DC；

3

又/=口麗=5,

:.DC=OC-OD=-AC--BD=-a--bf

2222

__11_

???DF=-a——b；

66

5LAD=Ob-OA=-BD--CA=-b+-a

2222

7^=7J5+DF=[-b+-a\+[-a--b\=-a+-h.

(22八66J33

故選：C.

8.答案：B

解析：?.?f(3+x)=/(3-x)

Af(6+x)=f(-x)

又?..函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)

/(-x)=-./-(%)

/(6+X)=/(-x)=-f{x)：./(12+x)=/(x)

則7=12是函數(shù)y=，(x)的一個(gè)周期

設(shè)xe(-6,-3)則X+6e(0,3),/(x+6)=2t+6=f(-x)=-f(x)

即/(%)=-2*",

/(-5)=-2故選：B

二、多項(xiàng)選擇題

9.答案:ABCD

22

解析：因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線二-與=1上，結(jié)合雙曲線的定義可得|產(chǎn)制-|尸周=2。由題意得

arb~

|「周=2|尸瑪I，二|「制T桃|=|尸閭=2a解出|尸?=24尸秒=4「F=4在三角形尸耳鳥(niǎo)中,設(shè)

忻用=2c,又sinN4Pg=@5，所以cosN耳尸6=±；，當(dāng)cosN耳時(shí)，由余弦定理得

|耳&=|「甲+|Pp7月件彳匹sN4即：4c2=162+42-2<<4x^2x;所以

4?=16/，即。=2。，.入=￡=2又42+匕2=02=4/,可得h=島同理當(dāng)cos時(shí)，

a4

可得4c2=24/,即c=又〃，.,二而又〃+〃2=/=6/,可得6

10.答案：CD

解析：因?yàn)椤?是S”與2.的等差中項(xiàng)，所以2a“=5“+2,所以4=4外=22.又

24I=SI+〃”..2),所以q,=2a,i，所以數(shù)列｛a,,｝是以A為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

??=2-2"-',故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.當(dāng)九<0時(shí)，數(shù)列｛〃“｝是單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.因?yàn)閍“=42"，

所以當(dāng)4>0時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)4<0時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,

472"Tb，J[a?\

故選項(xiàng)C正確.由于%a,*=(421)(22"+'》幾=">0,故選項(xiàng)D正確.所以正確選項(xiàng)為CD.

11.答案：ACD

解析：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+co),導(dǎo)函數(shù)為f\x),xf\x)-f(x)=xInx,即滿足

x/(均/(jO

----------=?

X---X

礦(x)一/(x).

，可設(shè)/H=J_ln2x+/;(b為常數(shù))，.■J(x)=Lln2x+fer.

x22

/.f(x)=—xln2x+—x.

22

..J⑴=g，滿足0</⑴正確.

Q/，(x)=gln2x+lnx+g=g(lnx+l)2WO,且僅有=

B錯(cuò)誤,A,D正確.故選ACD.

12.答案：ACD

解析：四位同學(xué)隨機(jī)選擇一家餐廳就餐有6,種選擇方法.四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為

與=9，所以選項(xiàng)A正確；四人去了同一餐廳就餐的概率為?=」一，所以選項(xiàng)B不正確：四人

中恰有兩人去了第一餐廳就餐的概率為至，所以選項(xiàng)c正確；每位同學(xué)選擇去第一餐廳

64216

的概率為、，所以去第一餐廳就餐的人數(shù)乂~814,：）,所以E（X）=4xg=|,所以選項(xiàng)D正確.

故選ACD.

三、填空題

13.答案：x=-2

22

解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得［-二=1（。＞0）,則K為拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方

a~3a

22

工上=1,1^1+1^1=12.

程為x=一2a，聯(lián)立,a23a2解得x=3a（-4舍去），即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.由＜

3\PF\-\PF\=2a,

y2=Sax,｝2

解得歸用=6-〃，/JPEl=3a+2〃=6-〃，解得a=l,.,.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2.

14.答案：1033

解析：當(dāng)〃=1時(shí)，解得4=1.

當(dāng)時(shí)，〃=S-S=&+-

nnn-l1

整理，得(4,+的)(凡一為T(mén)-2)=0.由題意得>0,

-2=0,故｛4｝為等差數(shù)列，且4=2〃-1.

令2〃一122'",則且〃eN*，:.bm=2",-'+l,zneN*.

???也}的前10項(xiàng)和為2°+)+22+L+29+10=-^—+10=1033.

1-2

15.答案：邁

5

解析：點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值就是異面直線2E與CG的距離?以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以

UUUUUUUUUU

DA,DC,DQ的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

UUUUUU

Dt(0,0,2),￡(1,2,0),C(0,2,0),C,(0,2,2),D,E=(1,2,-2),CC,=(0,0,2).設(shè)

UUULUUUUUUUUU

n±D}E,n1.CC],n=(x,y,z),則〃?0E=x+2y-2z=0,n-CCX=2z=0,.*.z=0,取y=-l,貝!j

uim「

uuu_I?.CFI2JS

x=Z：.n=(2,-1,0).又QCE=。,0,0),??.異面直線。波與CQ的距離d='------'=工

\n\5

16.答案：32

解析：如圖所示:

設(shè)球心為O,△ABC所在圓面的圓心為°>則0aL平面ABC；因?yàn)锽A=8C=",ZABC=-,

2

所以zMBC是等腰直角三角形，所以。是AC中點(diǎn)；所以當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，P為射線°。與

球的交點(diǎn)，所以匕…=/q?$”；因?yàn)椋=；,而迷=3,設(shè)球的半徑為R,所以

PQ=P8°。=曲/49=川3,所以5(R+'"2-3)?3=3,解得：R=2,所以

球的體積為：^=—.

33

四、解答題

17.答案：(1)由cosZA￡)C=,，知sinNAOC=

26

則

sinABAD=sin(ZADC-60)=sinZADC-cos60-cosZADC-sin60="走.x--—x—=

、>26226226

日nBD15

(2)在△A3中，由正弦定理得:一=———即羽=麗

sin/BADsinZADB

^2626

即8￡>=7,所以BC=7+1=8,

于是S=1?ABBCsinZAB。=-xl5x8xsin60°=306.

22

18.答案：(1)由q=I,g=1+2,4=1+2+3,%=l+2+3+4,L,得%=+D

所以"=_L=__=2(,—一-Y

ann(n+1)\n〃+1J

所以S=2(l」+，」+L+-——L]=2-

"(223nH+1J〃+

,,+l,,+1

⑵記g2+=2"2+^2=〃+〃2?

2-\-i4

n

則[=q+Q+L+cn

=(1+2+L+Ti)+[2+2.2~+3,2。+L+(〃-1),2"?.2"]

123,,_|

=n(n+)+j~2+2-2+3-2+L+(?-1)-2+?-2"].

設(shè)M“=2+2"+3"+L+(n-l)-2/,'+n-2n,?

則2M“=22+2-23+3-24+L+(〃-1)-2"+〃?2叫②

?-@,W-M?=2+22+23+L+2"-n-2',+',

所以吃=(〃-1)-2向+2.

所以雹=網(wǎng)71)+(“_]).2"+1+2.

19.答案：(1)由表可知，該患者共6天的體溫不低于39。。，記平均體溫為嚏，

一1

x=-(39.4+39.7+40.1+39.9+39.2+39.0)=39.55℃.

所以，患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值為39.55℃.

(2)X的所有可能取值為0,1,2.

3

P(x=o)=*CC0」1，

C；10'

3

5

C*C23

P（X=2）=一■=—

C；10

則X的分布列為:

X012

P133

lo5lo

所以E（X）=OX-S-+1X3+2X3=9.

105105

（3）“抗生素C”治療效果最佳可使用理由：

“抗生素8”使用期間先連續(xù)兩天降溫1.0。。又回升0.1。。，“抗生素C”使用期間持續(xù)降溫共計(jì)

1.2。。，說(shuō)明“抗生素C”降溫效果最好，故“抗生素C”治療效果最佳.

抗生素B”治療期間平均體溫39.03。＜7,方差約為0.0156：“抗生素C”平均體溫38。。，方差約

為0.1067,“抗生素C”治療期間體溫離散程度大，說(shuō)明存在某個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)降溫效果明顯，故“抗

生素C”治療效果最佳.

“抗生素8”治療效果最佳可使用理由：

自使用“抗生素8”開(kāi)始治療后，體溫才開(kāi)始穩(wěn)定下降，且使用“抗生素8”治療當(dāng)天共降溫

0.7℃,是單日降溫效果最好的一天，故“抗生素8”治療效果最佳.

20.答案：（1）在直三棱柱ADE-3C尸中，平面4JE,

u平面45E,所以AfiJ_.

又4）J_AF,cAT=AA5u平面ABFE,AFu平面ABFE,

所以AO_L平面43FE.

因?yàn)锳Du平面EM）,所以平面加D_L平面ABEE.

（2）由（1）知ADJ_平面ABEE,如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AE,A￡＞所在直線分別為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,尸（2,2,0）,C（2,0,2）,P（l,-/U）,AF=（2,2,0）,A2=（2,0,2）,QP=。,—31）.

設(shè)平面AFC的法向量為相=（%,y,z3

uim

行?m-AF=2x,+2y,=0,_

則｛uim取玉=1,則x=4=-1,

m-AC=2xj+2Z1=0,

所以〃7=(1,-1,一1).

設(shè)平面AFP的法向量為〃二(%,%，z?),

uim

_.n-AF=2x)+2%=0,宜,

則，uun~?-取w=1,則nl丫2=—1，z2=-1-〃，

it-AP=x2-hy2+z2=0,

所以u(píng)-i).

因?yàn)槎娼荂-A尸-尸的余弦值為述，

3

,x.\mn\|l+l+l+/z|2\[2

所以|cos</n,n)l=-~7,=-，

Iw||H|丹小2+(人+1)23

解得/?=1或〃=--(舍)，

5

所以正四棱錐P-ABCD的高〃=1.

21.答案：(1)由題知g(x)定義域?yàn)?0,+oo),當(dāng)根=-g時(shí)，^(x)=x2+alnx

所以8，*)=2+2》=空士

XX

①當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=x2,x>0時(shí)無(wú)零點(diǎn)。

②當(dāng)a>0時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(0,”)內(nèi)單調(diào)遞增，

1/1\/?y

取殉二6",貝!Jge=一1+ea<0

k)k)

又因?yàn)間⑴=1,所以g(殉)?g(l)v。，所以g(x)由1個(gè)零點(diǎn)。

③當(dāng)avO時(shí)，令g'(x)=O,得*=f

當(dāng)0<x<J二'時(shí)，g'(x)<0所以g(x)在[(),/；)單調(diào)遞減