PAGE3-牛頓-萊布尼茲公式的幾種證法之比較學(xué)生姓名：XXX指導(dǎo)教師:XX摘要：微積分學(xué)是人類(lèi)近代史上最杰出的科學(xué)成果之一,它是幾千年來(lái)人類(lèi)智慧的結(jié)晶,微積分的創(chuàng)立,不僅解決了當(dāng)時(shí)的一些重要的科學(xué)問(wèn)題,而且由此產(chǎn)生了諸如微積分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)等一些重要的數(shù)學(xué)分支。牛頓和萊布尼茲為微積分學(xué)的奠基人,他們的巨大貢獻(xiàn)早已載入數(shù)學(xué)史冊(cè)，本文將依次介紹了牛頓——萊布尼茲公式的歷史，并從三個(gè)方面談了著名的牛頓——萊布尼茲公式的作用；用四種方法證明了牛頓——萊布尼茲公式，并對(duì)這幾種證明方法進(jìn)行較全面地比較，從中可以知道它們之間的異同和各自特點(diǎn),以便在教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡x用,博采眾長(zhǎng),以取得更好的效果。最后對(duì)其應(yīng)用范圍進(jìn)行了推廣，以便讓人們更深刻地了解牛頓——萊布尼茲公式并能在教學(xué)、實(shí)踐中熟練應(yīng)用。關(guān)鍵詞:牛頓——萊布尼茲作用證明比較推廣微積分的形成及作用微積分的醞釀?dòng)?7世紀(jì)上半葉到世紀(jì)末,18世紀(jì)微積分進(jìn)一步發(fā)展,這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起,刺激和推動(dòng)了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生,從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域[1]。微積分從醞釀到萌芽、建立、發(fā)展直至完善,凝結(jié)了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的心血和勞動(dòng),是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家艱苦奮斗的集體成果,熟悉微積分的歷史發(fā)展,了解人類(lèi)這一巨大財(cái)富的積累過(guò)程和數(shù)學(xué)家們所經(jīng)歷的艱苦漫長(zhǎng)的道路及奮斗精神,對(duì)于提高一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高自身的數(shù)學(xué)意識(shí)和思維能力,適用于指導(dǎo)實(shí)際工作,都具有很重要的意義。1.1微積分的早期萌芽積分學(xué)的思想萌芽比微分學(xué)的思想萌芽早,這要追溯到遙遠(yuǎn)的古希臘時(shí)代，這一時(shí)代有許多代表人物。（1）.歐多克索斯的窮竭法歐多克索斯是古希臘的數(shù)學(xué)家,他在數(shù)學(xué)上的重要貢獻(xiàn)是發(fā)展和完善了安蒂豐的“窮竭法”，歐多克索斯應(yīng)用窮竭法成功地證明了下述命題:兩圓面積之比等于其半徑平方之比;兩球體積之比等于其半徑立方之比;圓錐體和棱錐體的體積各為同底同高的圓柱體和棱柱體體積的等等。將窮竭法發(fā)展成為一種嚴(yán)格的證明方法,但他沒(méi)有明確的極限思想。（2）.阿基米德的平衡法阿基米德的數(shù)學(xué)工作是創(chuàng)造與論證的結(jié)合,在《處理力學(xué)問(wèn)題的方法》這篇著作中,阿基米德論述了15個(gè)命題,集中闡明了發(fā)現(xiàn)求積公式的方法,這種方法被稱(chēng)為“平衡法”,他的平衡法與現(xiàn)代積分的基本思想實(shí)質(zhì)是相同的，阿基米德利用平衡法解決了許多幾何圖形求面積、體積的問(wèn)題,而平衡法本身是以極限為基礎(chǔ)的,而當(dāng)時(shí)不可能有極限理論,阿基米德意識(shí)到了他的平衡法在數(shù)學(xué)上缺乏嚴(yán)密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一個(gè)面積或體積后,必定要用窮竭法加以證明。（3）.劉徽的割圓術(shù)和體積理論劉徽在積分學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要在兩個(gè)方面:割圓術(shù)和體積理論.割圓術(shù)是運(yùn)用極限思想證明圓面積公式及計(jì)算圓周率的方法,割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓;劉徽的面積與體積理論建立在他的“出入相補(bǔ)”原理上,在球體積公式的推算中,劉徽首創(chuàng)了立體圖形“牟合方蓋”,但劉徽在求牟合方蓋的體積時(shí),遇到很大的困難終未能解決。（4）.祖暅原理劉徽絞盡腦汁沒(méi)能解決的球體積推證問(wèn)題,到了祖沖之時(shí)代終于由祖暅解決了，祖暅對(duì)球體積的推導(dǎo)繼承了劉徽的路線,即從計(jì)算“牟合方蓋”的體積為突破,祖暅提出了一條原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.這就是著名的“祖暅原理”。（5）.卡瓦列里的不可分量原理卡瓦列里是意大利的數(shù)學(xué)家,他1635年發(fā)表《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》。著作中他發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法,建立了“卡瓦列里原理”:卡瓦列里對(duì)積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于1639年他利用平面上的不可分量原理建立了等價(jià)于積分的基本結(jié)果,使早期積分學(xué)突破了體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原型而向一般算法的過(guò)渡。下面再來(lái)談?wù)勎⒎謱W(xué)的早期萌芽，與積分學(xué)兩千多年的早期萌芽史相比,微分學(xué)的萌芽史就短得多了直到17世紀(jì),受到求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問(wèn)題的刺激,微分學(xué)才出現(xiàn)了重大突破。主要表現(xiàn)在下面三個(gè)方面上:（1）.費(fèi)馬求極大值與極小值的方法費(fèi)馬是法國(guó)數(shù)學(xué)家,費(fèi)馬求極大值與極小值的方法在1629年已經(jīng)設(shè)計(jì)完成了,但直到八、九年以后才在他的手稿《求最大值和最小值的方法》中發(fā)現(xiàn)。但費(fèi)馬的方法除了邏輯上的不完整外,還存在兩個(gè)問(wèn)題:一是費(fèi)馬的方法對(duì)極大值與極小值未加區(qū)別;再是費(fèi)馬不知道f(x)的導(dǎo)數(shù)為零只是極值的必要條件而非充分條件。（2）.費(fèi)馬求切線的方法費(fèi)馬在處理求曲線的切線和求極大值與極小值兩大問(wèn)題時(shí),所采用的方法是一致的,用現(xiàn)代語(yǔ)言說(shuō),都是先取增量,而后讓增量趨向于零,這正是微分學(xué)的實(shí)質(zhì)所在。(3).巴羅的微分三角形巴羅是英國(guó)的數(shù)學(xué)家,巴羅也給出了求曲線切線的方法,與費(fèi)馬不同,巴羅使用的是幾何學(xué)。巴羅幾何法的關(guān)鍵概念后來(lái)變得很有名,就是“微分三角形”,也叫“特征三角形”。巴羅求切線的方法非常接近微分學(xué)中所采用的方法,是費(fèi)馬方法的進(jìn)一步發(fā)展[2]。1.2微積分的創(chuàng)立數(shù)學(xué)家們?cè)?7世紀(jì)上半葉所做的一系列的工作為微積分的創(chuàng)立做了充分的準(zhǔn)備,但所有這些努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門(mén)獨(dú)立科學(xué)的誕生,因?yàn)樗麄兊姆椒ㄖ皇轻槍?duì)具體問(wèn)題,缺乏足夠的一般性。作為微積分的主要特征的微分與積分的互逆關(guān)系,雖然有的學(xué)者在研究中已經(jīng)觸及到了,然而沒(méi)有人能意識(shí)到這種聯(lián)系的重要價(jià)值而深入研究?？茖W(xué)巨人牛頓和萊布尼茲的出現(xiàn),完成了微積分創(chuàng)立中最后也是最關(guān)鍵的一步。牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年,1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法),次年5月建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分學(xué))。1666年10月,牛頓將前兩年研究成果整理成一篇論文《流數(shù)簡(jiǎn)論》,此論文是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。《流數(shù)簡(jiǎn)論》反映了牛頓微積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景。該文以速度形式引進(jìn)了“流數(shù)”(即微商)概念。牛頓對(duì)于面積計(jì)算與求切線問(wèn)題的互逆關(guān)系,明確地作為一般規(guī)律提出來(lái),并將其作為建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。牛頓正是運(yùn)用了這種關(guān)系,將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類(lèi)普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分,并證明了二者的互逆關(guān)系,進(jìn)而將這兩類(lèi)運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體。牛頓的工作將微積分的創(chuàng)立從量的積累完成了質(zhì)的飛躍,正是在這樣的意義下,我們說(shuō)牛頓發(fā)明了微積分。牛頓的微積分理論主要體現(xiàn)在下述三部正式出版的論著里:(1)《運(yùn)用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析》(簡(jiǎn)稱(chēng)《分析學(xué)》,完成于1669年);(2)《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》(簡(jiǎn)稱(chēng)《流數(shù)法》,完成于1671年);(3)《曲線求積術(shù)》(簡(jiǎn)稱(chēng)《求積術(shù)》,完成于1691年)。牛頓的上述三部論著反映了牛頓微積分學(xué)說(shuō)的發(fā)展過(guò)程,是微積分發(fā)展史上的重要里程碑,也為近代數(shù)學(xué)甚至近代科學(xué)的產(chǎn)生發(fā)展開(kāi)辟了新紀(jì)元。與牛頓共享微積分創(chuàng)立這一榮譽(yù)的當(dāng)屬德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲了,但是兩人研究的出發(fā)點(diǎn)不同,牛頓始建微積分是以運(yùn)動(dòng)學(xué)為背景的,而萊布尼茲創(chuàng)立微積分的切入點(diǎn)是出于幾何問(wèn)題的思考,尤其是對(duì)特征三角形的研究。他逐步認(rèn)識(shí)到:求曲線的切線依賴(lài)于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值當(dāng)這些差值變成無(wú)限小時(shí)之比;而求曲線下的面積則依賴(lài)于無(wú)限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和。萊布尼茲還發(fā)現(xiàn)了這兩個(gè)問(wèn)題的互逆關(guān)系。他在自己對(duì)數(shù)的序列的研究中,找出了一種更一般的算法,將以往解決上述兩類(lèi)問(wèn)題的各種結(jié)果和技巧統(tǒng)一起來(lái)。萊布尼茲總結(jié)出求切線不過(guò)是求差,求積不過(guò)是求和。到了1676年,他給出了冪函數(shù)的微分和積分公式,1677年在一篇手稿中,他陳述了他的微積分基本定理。1684年,萊布尼茲發(fā)表了第一篇微積分論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》,這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式公開(kāi)發(fā)表的微積分文獻(xiàn);1686年,萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》,在這篇文章中首次出現(xiàn)在印刷出版物上;1693年,萊布尼茲又在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇論文,其中更清楚地闡述了微分與積分的關(guān)系;關(guān)于積分常數(shù)的論述發(fā)表于1694年[3]。就微積分創(chuàng)立而言,牛頓與萊布尼茲功績(jī)相當(dāng),盡管兩人各自采用了不同的方法,但他們都各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理,并建立了一套有效的微分與積分的算法。1.3牛頓與萊布尼茲公式的作用與意義（1）、牛頓——萊布尼茲公式蘊(yùn)含了極限的思想方法極限的思想方法,是微積分學(xué)的基本方法。微積分學(xué)中的一些重要概念,連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等均是用極限來(lái)直接定義的。牛頓——萊布尼茲公式作為微積分的重要公式,它集中體現(xiàn)了極限的思想方法。這個(gè)公式的證明方法常見(jiàn)的有兩種：一種方法是萊布尼茲的方法,即先引入積分上限函數(shù),然后證明出積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為被積函數(shù)本身,再根據(jù)一個(gè)函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)之差為某一常數(shù)這一性質(zhì)推出牛頓——萊布尼茲公式；另一種方法是從定積分的定義出發(fā),利用拉格朗日中值定理推得牛頓——萊布尼茲公式[4]。（2）牛頓——萊布尼茲公式較好地解決了定積分的計(jì)算牛頓——萊布尼茲公式的產(chǎn)生,在當(dāng)時(shí)使人們找到了解決曲線的長(zhǎng),曲線圍成的面積和曲面圍成的體積的一般方法,而后隨著微積分學(xué)的不斷發(fā)展、完善,以及他與其他學(xué)科之間日益密切的聯(lián)系,這個(gè)公式的應(yīng)用范圍也在不斷擴(kuò)大,這個(gè)公式本身解決的定積分的計(jì)算內(nèi)容也逐漸增多。從牛頓——萊布尼茲公式可以看出,只要能求出被積函數(shù)的原函數(shù),不管原函數(shù)是初等函數(shù)還是用級(jí)數(shù)的形式給出,總可以求出這個(gè)積分的值或者滿(mǎn)足一定精確度的近似值。當(dāng)原函數(shù)是由級(jí)數(shù)的形式給出時(shí),可用逐項(xiàng)積分的方法求得原函數(shù),再利用牛頓——萊布尼茲公式求得積分的近似值[5]。（3）牛頓——萊布尼茲公式是聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的橋梁牛頓——萊布尼茲公式之所以重要的又一原因是它將微分學(xué)和積分學(xué)有機(jī)地聯(lián)系在一起。公式中的被積函數(shù)是等式右端的導(dǎo)函數(shù),求積分的問(wèn)題則轉(zhuǎn)化成求被積函數(shù)的原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量問(wèn)題[6]。綜上所述,牛頓——萊布尼茲公式不但從一個(gè)方面揭示了微積分的本質(zhì),而且具有很大的實(shí)用價(jià)值,從公式本身的結(jié)構(gòu)、形式上看也是非常優(yōu)美的,這些也正是任何一個(gè)重要的數(shù)學(xué)公式所必備的。2、牛頓——萊布尼茲公式的定義、四種證明方法及比較2.1、牛頓——萊布尼茲公式的定義若在閉區(qū)間上連續(xù),則(1)在上存在原函數(shù),就是的一個(gè)原函數(shù);(2)對(duì)在上的任意一個(gè)原函數(shù),都有[7]。2.2、牛頓——萊布尼茲公式的四種證明方法及比較（1）、證法一定理1(微積分基本定理)若在上連續(xù),則由在上的定積分所定義的函數(shù)，(2)是在上的原函數(shù)。積分(2)是上限的函數(shù),通常稱(chēng)它為活動(dòng)上限定積分。根據(jù)定理1,是的一個(gè)原函數(shù),由于一個(gè)函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù),所以若在此式中令,則由于得,移項(xiàng)得令以及定積分的值與積分變量無(wú)關(guān)的關(guān)系,即得(2)。證畢[8]。牛頓—萊布尼茲公式是微積分學(xué)基本定理的一個(gè)重要應(yīng)用,它使得計(jì)算定積分問(wèn)題,從求和式的極限轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù)值差的問(wèn)題。（2）、證法二在上可導(dǎo)因此連續(xù)。設(shè)是區(qū)間的任意一個(gè)分割,設(shè),,為上任意兩點(diǎn)。由中值定理得存在,使。因?yàn)樵谏线B續(xù),所以對(duì),存在,使得當(dāng)時(shí),有.即[9]。（3）、證法三[10]在上可導(dǎo),因此連續(xù)。設(shè)是區(qū)間的任意一個(gè)分割,則其中是較高階的無(wú)窮小量。設(shè)(是關(guān)于的無(wú)窮小)對(duì),存在，使得當(dāng),有,則即。因?yàn)樵谏线B續(xù),所以任給,存在>0,使得存在<,對(duì)于任意,只要<,就有,故即.（4）、證法四因?yàn)樵谏线B續(xù),又根據(jù)中值定理得(1)(2)(1)、(2)參見(jiàn)證法二[11]。2.3、幾種證明方法的比較(1)證法1是高數(shù)教材中普遍采用的方法。這一證法須先證明定理l(即原函數(shù)的存在性定理),肯定了連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù),并以變上限的定積分形式給出了f(x)的一個(gè)原函數(shù)。然后利用變上限的定積分來(lái)證明牛頓—萊布尼茲公式。這一證法在理論上是嚴(yán)謹(jǐn),完整的,但內(nèi)容繁瑣,在課堂上講這一證法增加額外負(fù)擔(dān),對(duì)掌握公式益處不大。(2)證法2利用中值定理直接證明公式,較簡(jiǎn)潔。該證法出自北京大學(xué)沈燮昌所著《數(shù)學(xué)分析》(高等教育出版社,1986)。(3)證法3用微分直接證明公式,清晰地反映出微積分學(xué)中導(dǎo)數(shù),微分,不定積分,定積分這幾個(gè)重要的基本概念之間的關(guān)系,有利于學(xué)習(xí)時(shí)融會(huì)貫通。該證法系筆者獨(dú)立完成。(4)證法4是由證法2,3演化出來(lái)的一種更簡(jiǎn)便的方法,易于掌握[12]。2.4牛頓——萊布尼茲公式在物理中的應(yīng)用物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都是以最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的，例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是從勻速、勻變速直線運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)是以點(diǎn)電荷為基礎(chǔ)，對(duì)于實(shí)際中的復(fù)雜問(wèn)題，則可以化整為零，把它分割成在較小時(shí)間、空間等范圍內(nèi)的相應(yīng)局部問(wèn)題，只要局部范圍被分割到足夠小，小到這些局部問(wèn)題可近似處理為簡(jiǎn)單、基本、可研究的問(wèn)題，把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累積起來(lái)，就可以得到問(wèn)題的結(jié)果。牛頓一萊布尼茲公式可對(duì)應(yīng)一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型—質(zhì)點(diǎn)在直線上的變速運(yùn)動(dòng).假設(shè)在時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置為,那么從時(shí)刻起到時(shí)刻止,質(zhì)點(diǎn)實(shí)際上走了多遠(yuǎn)呢?顯然就是.另一方面,設(shè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的速度為V(t),對(duì)于時(shí)間間隔的任意一個(gè)劃分了Ｔ:質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)所走的路程應(yīng)為（＊） 其中即應(yīng)有再注意到，便得知速度的求積是路程,路程的求導(dǎo)是速度,也即這就顯示了積分與微分是兩個(gè)互逆的運(yùn)算,且這里導(dǎo)出的關(guān)系式(*)正是牛頓一萊布尼茲公式[13]。3、牛頓-萊布尼茲公式應(yīng)用范圍的推廣和舉例在(1)式定理中,函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是牛頓-萊布尼茲公式成立的一個(gè)重要條件。然而,在閉區(qū)間上連續(xù)只是定積分存在的充分而非必要條件。那么,當(dāng)定積分存在而函數(shù)并不在閉區(qū)間上連續(xù)時(shí),牛頓-萊布尼茲公式又是否成立呢?事實(shí)上,有下面的結(jié)論。定理1函數(shù)在閉區(qū)間上可積,若存在函數(shù)F(x)滿(mǎn)足條件(1)在上連續(xù);(2)在內(nèi)可導(dǎo),且,則有證在區(qū)間中插入個(gè),,…,,,…,,將區(qū)間n等分。其中，,,記。因在上連續(xù),故有又因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,于是在各個(gè)小區(qū)間上滿(mǎn)足拉格朗日微分中值定理?xiàng)l件。故有使得所以,又因在閉區(qū)間上可積,所以無(wú)論對(duì)區(qū)間怎樣劃分,怎樣在區(qū)間上取點(diǎn),皆存在并等于同一個(gè)常數(shù).故按照將等分并取上述這些的方法(此時(shí)與等價(jià))即有下面舉例說(shuō)明這一定理的應(yīng)用。例1在上不連續(xù)。但由于在上有界且只有三個(gè)間斷點(diǎn),,．所以在上可積?？紤]函數(shù)在上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo),且。于是根據(jù)定理1應(yīng)有事實(shí)上,還能進(jìn)一步放寬公式成立的條件。定理2函數(shù)在閉區(qū)間上可積,若存在函數(shù)F(x)滿(mǎn)足條件(1)在上連續(xù);(2)內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)外皆有恒成立,則有證假設(shè)點(diǎn),,…,,=是開(kāi)區(qū)間內(nèi)使得不成立的全部點(diǎn)。這些點(diǎn)將整個(gè)閉區(qū)間分割成個(gè)小閉區(qū)間:,,…,。和在這個(gè)小區(qū)間上皆滿(mǎn)足定理1條件。于是有下面舉例說(shuō)明這一定理的應(yīng)用。例2顯然在閉區(qū)間上有界,且只有兩個(gè)間斷點(diǎn),。所以在上可積。雖然在上不連續(xù),但存在函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)除了點(diǎn),外皆有。故由定理2有以上討論牛頓-萊布尼茲公式應(yīng)用范圍的推廣,當(dāng)適當(dāng)放寬條件時(shí),牛頓-萊布尼茲公式仍成立。但是,計(jì)算積分過(guò)程中若不注意該公式成立的條件而亂用也將會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重錯(cuò)誤[14]。4、結(jié)論“牛頓——萊布尼茲公式”,作為微積分基本公式,在于這個(gè)公式把計(jì)算一個(gè)函數(shù)的定積分問(wèn)題歸結(jié)為求該函數(shù)的原函數(shù)問(wèn)題,把兩個(gè)貌似不相關(guān)的問(wèn)題,亦微分學(xué)的中心問(wèn)題(切線問(wèn)題)與積分學(xué)的中心問(wèn)題(求積問(wèn)題)溝通起來(lái),表達(dá)了客觀現(xiàn)實(shí)中微分學(xué)與積分學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系。本文討論了牛頓——萊布尼茲公式的歷史與作用，主要討論了牛頓——萊布尼茲公式的四種證明方法及其比較，及其在數(shù)學(xué)和物理上的應(yīng)用，最后介紹了牛頓-萊布尼茲公式應(yīng)用范圍的推廣,當(dāng)適當(dāng)放寬條件時(shí),牛頓-萊布尼茲公式仍成立。但是,計(jì)算積分過(guò)程中若不注意該公式成立的條件而亂用也將會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重錯(cuò)誤。牛頓-萊布尼茲公式的內(nèi)涵豐富,值得挖掘和討論的內(nèi)容還很多[15]。參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上,下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]陳啟嫻.牛頓-萊布尼茲公式應(yīng)用范圍的推廣[J].西華大學(xué)學(xué)報(bào),2005,(24)5:78～80.[3]馬保國(guó).微積分學(xué)中值定理研究[M].北京:中國(guó)教育文化出版社,2006.[4]鞏子坤.牛頓-萊布尼茲公式的再推廣[J].洛陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào),1996,14(2):16～18.[5]李信明.牛頓-萊布尼茲公式的推廣[J].濰坊學(xué)院學(xué)報(bào),2001,(1)2:23～24.[6]湯澤瀅,周敏,鄧小妮.對(duì)牛頓-萊布尼茲公式的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,1999,(19)4:46～48[7]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:人民教育出版社,1982.[8]G.Klambauer著、莊亞棟譯:數(shù)學(xué)分析[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1983.[9]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2002.[10]菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,1957.[11]吉米多維奇著,李榮氵東譯.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].北京:人民教育出版社,1958.[12]徐桂芝,楊慶新,顏威利.現(xiàn)代電磁技術(shù)發(fā)展綜述[J].河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2000,29(3):45-49.[13]戴蓉,等.磁光渦流成像)))一種新的無(wú)損檢測(cè)技術(shù)[J].無(wú)損檢測(cè),2004,21(12):546.[14]G.Hetherington,D.R.Hub,M.J.NicholsandP.L.Robinson.J.Chem.Soc.1955.3300[15]R.J.Gillespie,J.V.OubridgeandC.Solomons.J.Chem.Soc.19571804TheComParisonoftheProofsofNewton一LeibnizStudent:XXXTutor:XXXAbstract:Calculusisoneofthemostoutstandingscientificachievementsinhumanmodernhistory,itisthecrystallizationofhumanwisdomforthousandsofyears,thecreationofcalculus,notonlysolvedsomeimportantscientificproblemsatthattime,andtheresultingequationsuchascalculus,infiniteseriesa