第7講拋物線基礎(chǔ)知識整合1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離eq\x(\s\up1(01))相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的eq\x(\s\up1(02))準(zhǔn)線.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：eq\x(\s\up1(03))|MF|＝d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離).2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸eq\x(\s\up1(04))y＝0eq\x(\s\up1(05))x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，,0))Feq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，,\f(p,2)))Feq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，,－\f(p,2)))離心率e＝eq\x(\s\up1(09))1準(zhǔn)線方程eq\x(\s\up1(10))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(11))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(12))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(13))y＝eq\f(p,2)范圍eq\x(\s\up1(14))x≥0，y∈Req\x(\s\up1(15))x≤0，y∈Req\x(\s\up1(16))y≥0，x∈Req\x(\s\up1(17))y≤0，x∈R開口方向向eq\x(\s\up1(18))右向eq\x(\s\up1(19))左向eq\x(\s\up1(20))上向eq\x(\s\up1(21))下拋物線焦點(diǎn)弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的弦長等于2p.1．拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,8)，故選A．2．(2019·黑龍江聯(lián)考)若拋物線x2＝4y上的點(diǎn)P(m，n)到其焦點(diǎn)的距離為5，則n＝()A．eq\f(19,4) B．eq\f(9,2)C．3 D．4答案D解析拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1.根據(jù)拋物線的定義可知5＝n＋1，解得n＝4.故選D．3．過點(diǎn)P(－2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)yD．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)y答案A解析設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2,3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y，選A．4．已知拋物線C：y＝eq\f(x2,8)的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，且|AF|＝2y0，則x0＝()A．2 B．±2C．4 D．±4答案D解析由y＝eq\f(x2,8)，得x2＝8y，∴拋物線C的準(zhǔn)線方程為y＝－2，焦點(diǎn)為F(0,2)．由拋物線的性質(zhì)及題意，得|AF|＝2y0＝y(tǒng)0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故選D．5．(2019·廣東中山統(tǒng)測)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝()A．6 B．8C．9 D．10答案B解析由題意知，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程是x＝－1.∵過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故選B．6．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4eq\r(2)，則△POF的面積為()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4答案C解析利用|PF|＝xP＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，可得xP＝3eq\r(2)，∴yP＝±2eq\r(6).∴S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝2eq\r(3).故選C．核心考向突破精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向一拋物線的定義角度1到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)距離之和最小問題例1(2019·贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A．(0,0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)答案D解析過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2)．角度2到點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離之和最小問題例2(2020·邢臺模擬)已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________．答案5解析依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1,5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.角度3到定直線的距離最小問題例3已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．eq\f(3\r(5),5) B．2C．eq\f(11,5) D．3答案B解析由題意可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，則動點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，則動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，如圖所示，所以最小值是eq\f(|4－0＋6|,5)＝2.與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．[即時訓(xùn)練]1.(2019·濰坊質(zhì)檢)在y＝2x2上有一點(diǎn)P，它到A(1,3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案B解析如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即當(dāng)且僅當(dāng)A，P，N三點(diǎn)共線時取等號．∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即為1，則可排除A，C，D，故選B．2．已知P是拋物線y2＝4x上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是()A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(5)－1答案D解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為eq\f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值為eq\r(5)－1.考向二拋物線的方程例4(1)若動點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是()A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案D解析∵點(diǎn)M到F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，∴點(diǎn)M到F的距離和它到直線x＝－4的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線，得點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝16x.(2)已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________.答案x2＝4y解析因?yàn)椤鱂PM為等邊三角形，則|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m2,2p)))，則點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(p,2)))，因?yàn)榻裹c(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，△FPM是等邊三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2)＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝12，,p＝2，))因此拋物線的方程為x2＝4y.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程除可以用定義法和待定系數(shù)法外，還可以利用統(tǒng)一方程法．對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定，也就是說，不必設(shè)為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，這樣能減少計(jì)算量；同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．[即時訓(xùn)練]3.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研卷)若拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的方程為()A．y2＝4x B．y2＝36xC．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x答案C解析因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)到拋物線的對稱軸的距離為6，所以設(shè)該點(diǎn)為P(x0，±6)．因?yàn)镻到拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離為10，所以由拋物線的定義得x0＋eq\f(p,2)＝10①.因?yàn)镻在拋物線上，所以36＝2px0②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，則拋物線的方程為y2＝4x或y2＝36x.4．(2019·運(yùn)城模擬)已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線的方程為()A．x2＝eq\f(3,2)y B．x2＝6yC．x2＝－3y D．x2＝3y答案D解析設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,y＝2x－2))消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2a,2)＝3，即a＝3，因此所求的拋物線方程是x2＝3y.考向三拋物線的性質(zhì)例5(1)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線()A．有且只有一條 B．有且只有兩條C．有且只有三條 D．有且只有四條答案B解析若直線AB的斜率不存在時，則橫坐標(biāo)之和為1，不符合題意．若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，代入拋物線y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2＝0，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2.所以k＝±eq\r(2).所以這樣的直線有兩條．(2)(2018·北京高考)已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸．若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．答案(1,0)解析如圖，由題意可得，點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，將P(1,2)代入y2＝4ax，解得a＝1，∴y2＝4x，由拋物線方程可得，2p＝4，p＝2，eq\f(p,2)＝1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．(1)涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離或到準(zhǔn)線的距離時，?？上嗷マD(zhuǎn)化．(2)應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．[即時訓(xùn)練]5.(2019·長沙模擬)A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|＝4時，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是()A．x＝－1 B．y＝－1C．x＝－2 D．y＝－2答案A解析過A向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為B，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D．因?yàn)椤螼FA＝120°，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30°，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選A．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中有一定點(diǎn)A(4,2)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是________．答案x＝－eq\f(5,2)解析OA的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，斜率kOA＝eq\f(1,2)，OA的垂直平分線的方程為y－1＝－2(x－2)，即y＝－2x＋5.又拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)在x軸上，即y＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,y＝－2x＋5，))得拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，∴eq\f(5,2)＝eq\f(p,2)，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(5,2).考向四直線與拋物線的位置關(guān)系例6(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝eq\f(x2,2)，D為直線y＝－eq\f(1,2)上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．解(1)證明：設(shè)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，則xeq\o\al(2,1)＝2y1.因?yàn)閥′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.所以直線AB過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2(t2＋1)．設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1＝eq\r(t2＋1)，d2＝eq\f(2,\r(t2＋1)).因此，四邊形ADBE的面積S＝eq\f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq\r(t2＋1).設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))).因?yàn)閑q\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.當(dāng)t＝0時，S＝3；當(dāng)t＝±1時，S＝4eq\r(2).因此，四邊形ADBE的面積為3或4eq\r(2).求解拋物線綜合問題的方法(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式．[即時訓(xùn)練]7.(2020·福建泉州第一次質(zhì)量檢測)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在C上，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，|AB|＝4.(1)求C的方程；(2)過F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．若C上僅存在三個點(diǎn)Ki(i＝1,2,3)，使得△MNKi的面積等于16，求l的方程．解解法一：(1)由拋物線的對稱性，可知AB∥x軸，且A，B的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(p,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(p,2)))，所以4＝2p·eq\f(p,2)，解得p＝2，故C的方程為x2＝4y.(2)如圖，作與l平行且與C相切的直線l′，切點(diǎn)為K.由題意，可知△MNK的面積等于16.設(shè)l的方程為y＝kx＋1，方程x2＝4y可化為y＝eq\f(1,4)x2，則y′＝eq\f(1,2)x，令y′＝k，解得x＝2k，將x＝2k代入x2＝4y，得y＝k2，故K(2k，k2)，所以K到l的距離d＝eq\f(|2k2－k2＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(k2＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx＋1，))消去y，得x2－4kx－4＝0，從而x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝eq\r(k2＋1)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4(k2＋1)，故△MNK的面積為eq\f(1,2)|MN|·d＝2(k2＋1)eq\r(k2＋1)，從而2(k2＋1)eq\r(k2＋1)＝16，解得k＝eq\r(3)或k＝－eq\r(3).所以l的方程為y＝eq\r(3)x＋1或y＝－eq\r(3)x＋1.解法二：(1)設(shè)A(x0，y0)，B(x0′，y0′)，則xeq\o\al(2,0)＝2py0，x0′2＝2py0′，因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以x0＋x0′＝0，y0＋y0′＝p，故y0＝y(tǒng)0′＝eq\f(p,2)，從而|AB|＝2|x0|，故|x0|＝2，所以4＝2p·eq\f(p,2)，解得p＝2，故C的方程為x2＝4y.(2)直線l斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx＋1))消去y，得x2－4kx－4＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝eq\r(k2＋1)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4(k2＋1)，因?yàn)辄c(diǎn)K在C上，設(shè)Keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(1,4)m2))，則點(diǎn)K到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(km－\f(1,4)m2＋1)),\r(k2＋1))，△MNK的面積等于16，所以關(guān)于m的方程eq\f(1,2)×4(k2＋1)×eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(km－\f(1,4)m2＋1)),\r(k2＋1))＝2eq\r(k2＋1)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(km－\f(1,4)m2＋1))＝16恰有三個不同實(shí)根，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m2－km－1))＝eq\f(8,\r(k2＋1))恰有三個不同實(shí)根，所以m＝2k，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)2k2－k·2k－1))＝k2＋1＝eq\f(8,\r(k2＋1))，解得k＝eq\r(3)或k＝－eq\r(3).所以l的方程為y＝eq\r(3)x＋1或y＝－eq\r(3)x＋1.化歸思想解決拋物線中的比值問題1．(2019·長沙模擬)已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，則p的值等于________.答案2解析依題意，得點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K，由拋物線的定義，知|MF|＝|MK|，由eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，則|KN|∶|KM|＝2∶1，即kFN＝eq\f(0－2,\f(p,2)－0)＝－eq\f(4,p)，得－eq\f(4,p)＝－2，解得p＝2.2．(2019·山東臨沂三模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線m與C交于A，B兩點(diǎn)，AF⊥BF，線段AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則eq\f(|AB|,|MN|)的最小值為________．答案eq\r(2)解析如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，作AQ⊥l于點(diǎn)Q，BP⊥l于點(diǎn)P，由拋物線的定義可設(shè)|AF|＝|AQ|＝a，|BF|＝|BP|＝b，由勾股定理可知|AB|＝eq\r(|AF|2＋|BF|2)＝eq\r(a2＋b2)，由梯形中位線的性質(zhì)可得|MN|＝eq\f(a＋b,2)，則eq\f(|AB|,|MN|)＝eq\f(\r(a2＋b2),\f(a＋b,2))≥eq\f(\r(\f(1,2)a＋b2),\f(a＋b,2))＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，即eq\f(|AB|,|MN|)的最小值為eq\r(2).答題啟示圓錐曲線中存在線段比值問題，應(yīng)采用化歸轉(zhuǎn)化思想方法轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，或有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，有時還利用相似比或三角函數(shù)求解．對點(diǎn)訓(xùn)練1．(2019·安徽宣城第二次調(diào)研)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AF|>|BF|，則eq\f(|AF|,|BF|)＝________.答案3解析拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∵直線l的傾斜角為60°，∴直線l的方程為y－0＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，設(shè)直線l與拋物線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，聯(lián)立方程組，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，解得x1＝eq\f(3p,2)，x2＝eq\f(p,6)，∴|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝2p，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(2p,3)，∴|AF|∶|BF|＝3∶1，∴eq\f(|AF|,|BF|)的值為3.2．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F作斜率大于0的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)(M在x軸上方)，且與直線l交于點(diǎn)Q.若eq\f(|FN|,|NQ|)＝eq\f(3,4)，|MF|＝16，則p的值為________．答案4解析過M，N分別作l的垂線，垂足分別為M1，N1，過F作MM1的垂線，垂足為P.∵eq\f(|FN|,|NQ|)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(|NN1|,|NQ|)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(|MP|,|MF|)＝eq\f(3,4)，∴|MP|＝eq\f(3,4)|MF|，∴|MF|＝|MM1|＝|MP|＋p＝eq\f(3,4)|MF|＋p，∴p＝4.課時作業(yè)1．拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)答案D解析拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝2py(p>0)中p的幾何意義為：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，又p＝eq\f(1,4)，故選D．2．(2019·全國卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個焦點(diǎn)，則p＝()A．2 B．3C．4 D．8答案D解析拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(2p)，0)).由題意得eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.故選D．3．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1 B．2C．4 D．8答案A解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(1,4).因?yàn)閨AF|＝eq\f(5,4)x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1.故選A．4．(2019·山西太原模擬)拋物線x2＝4y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為()A．2eq\r(2) B．1C．2 D．3答案A解析根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.根據(jù)拋物線的定義，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入拋物線方程求得xP＝±2eq\r(2)，∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2eq\r(2).故選A．5．(2019·湖南師大附中模擬)設(shè)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝－4 B．x＝－3C．x＝－2 D．x＝－1答案A解析把y＝0代入2x＋3y－8＝0，得2x－8＝0，解得x＝4，∴拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，∴拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－4.故選A．6．過拋物線C：x2＝2y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1，則|AF|＝()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析∵x2＝2y，∴y＝eq\f(x2,2)，∴y′＝x，∵拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∵拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴直線l的方程為y＝eq\f(1,2)，∴|AF|＝|BF|＝1.故選A．7．(2019·天津高考)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)答案D解析由已知易得，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線l：x＝－1，所以|OF|＝1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，不妨設(shè)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(b,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(b,a)))，所以|AB|＝eq\f(2b,a)＝4|OF|＝4，所以eq\f(b,a)＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又雙曲線方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).故選D．8．過點(diǎn)P(－2,0)的直線與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝eq\f(1,2)|AB|，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(7,5)C．eq\f(9,7) D．2答案A解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過A，B作直線x＝－2的垂線，垂足分別為D，E.∵|PA|＝eq\f(1,2)|AB|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x1＋2＝x2＋2，,3y1＝y(tǒng)2.))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))得x1＝eq\f(2,3)，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1＋eq\f(2,3)＝eq\f(5,3).9．(2019·安徽合肥檢測)已知雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1的兩條漸近線分別與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△OAB的面積為1，則p的值為()A．1 B．eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4答案B解析雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±2x，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，故A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，±p))，|AB|＝2p，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×2p×eq\f(p,2)＝eq\f(p2,2)＝1，解得p＝eq\r(2)，故選B．10．(2020·湖北襄陽測試)已知拋物線y＝eq\f(1,2)x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，則|MF|＝()A．2 B．3C．eq\r(2) D．eq\r(3)答案C解析如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq\r(2)|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq\r(2).故選C．11．如圖所示，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為eq\r(3)的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是()A．4 B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．8答案C解析由題意可得F(1,0)，直線AF：y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝eq\f(1,3).由于點(diǎn)A在x軸上方，所以其坐標(biāo)為(3,2eq\r(3))．∵|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率為eq\r(3)，即傾斜角為60°，∴∠KAF＝60°，∴△AKF為等邊三角形，∴△AKF的面積為eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).12．(2019·重慶南開中學(xué)第三次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B在拋物線上，且△ABF的重心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)))，則eq\f(||FA|－|FB||,|AB|)＝()A．eq\f(\r(17),17) B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(17),4) D．eq\f(3\r(2),4)答案A解析設(shè)點(diǎn)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由焦點(diǎn)F(1,0)，△ABF的重心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)))，及重心坐標(biāo)公式，得eq\f(xA＋xB＋1,3)＝eq\f(1,2)，eq\f(yA＋yB＋0,3)＝eq\f(1,3)，即xA＋xB＝eq\f(1,2)，yA＋yB＝1，由拋物線的定義可得|FA|－|FB|＝xA＋1－(xB＋1)＝xA－xB＝eq\f(y\o\al(2,A)－y\o\al(2,B),4)，由點(diǎn)在拋物線上可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,A)＝4xA，,y\o\al(2,B)＝4xB，))作差yeq\o\al(2,A)－yeq\o\al(2,B)＝4xA－4xB，化簡得kAB＝eq\f(yA－yB,xA－xB)＝eq\f(4,yA＋yB)＝4，代入弦長公式得|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|yA－yB|＝eq\f(\r(17),4)|yA－yB|，則eq\f(||FA|－|FB||,|AB|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,A)－y\o\al(2,B),4))),\f(\r(17),4)|yA－yB|)＝eq\f(|yA＋yB|,\r(17))＝eq\f(\r(17),17)，故選A．13．(2019·湖北黃岡質(zhì)量檢測)若拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，－1)，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案－eq\f(1,4)解析因?yàn)閽佄锞€y＝ax2，所以x2＝eq\f(1,a)y.由焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，－1)，得eq\f(1,4a)＝－1，所以a＝－eq\f(1,4).14．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________．答案eq\f(9,4)解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線的定義可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋eq\f(1,4)＋x2＋eq\f(1,4)＝5，解得x1＋x2＝eq\f(9,2)，所以線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(9,4).15．設(shè)P為拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)A(1,3)，且|PA|＋|PF|的最小值為eq\r(10)，則此拋物線的方程為________．答案y2＝8x解析若A(1,3)在拋物線內(nèi)部，則|PA|＋|PF|的最小值為1＋eq\f(p,2)＝eq\r(10)，故2p＝4(eq\r(10)－1)，拋物線的方程為y2＝4(eq\r(10)－1)x，此時A(1,3)在拋物線外部，不符合題意；若A(1,3)在拋物線外部，則|PA|＋|PF|的最小值為|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－1))2＋9)＝eq\r(10)，故p＝4，拋物線的方程為y2＝8x，此時A(1,3)在拋物線外部，符合題意．16．(2020·聊城模擬)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)A(－1,0)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為________；當(dāng)eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值時，直線AP的方程為________．答案eq\f(\r(2),2)x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0解析設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF|,|PA|)))2＝eq\f(16t4＋8t2＋1,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16t2,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16,16t2＋\f(1,t2)＋24)≥1－eq\f(16,2\r(16t2·\f(1,t2))＋24)＝1－eq\f(16,32)＝eq\f(1,2)，∵eq\f(|PF|,|PA|)>0，∴eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)16t2＝eq\f(1,t2)，即t＝±eq\f(1,2)時，eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值eq\f(\r(2),2)，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)．∴直線AP的方程為y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.17．(2019·安徽皖南八校聯(lián)考)過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上存在點(diǎn)M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．解(1)拋物線C：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).∵當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.(2)∵點(diǎn)M(－2，y0)在拋物線C上，∴y0＝eq\f(－22,4)＝1.又F(0,1)，∴設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．∵M(jìn)A⊥MB，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0.解得k＝2或k＝0.當(dāng)k＝0時，l過點(diǎn)M(舍去)，∴k＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋1.18．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2，0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：∠ABM＝∠ABN.解(1)當(dāng)l與x軸垂直時，l的方程為x＝2，可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，－2)．∴直線BM的方程為y＝eq\f(1,2)x＋1或y＝－eq\f(1,2)x－1.(2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時，AB為線段MN的垂直平分線，所以∠ABM＝∠ABN.當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝2x，))得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝eq\f(2,k)，y1y2＝－4.直線BM，BN的斜率之和為kBM＋kBN＝eq\f(y1,x1＋2)＋eq\f(y2,x2＋2)＝eq\f(x2y1＋x1y2＋2y1＋y2,x1＋2x2＋2).①將x1＝eq\f(y1,k)＋2，x2＝eq\f(y2,k)＋2及y1＋y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝eq\f(2y1y2＋4ky1＋y2,k)＝eq\f(－8＋8,k)＝0.∴kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，∴∠ABM＝∠ABN.綜上，∠ABM＝∠ABN.19．(2019·山東煙臺一模)已知F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過F的動直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線與x軸垂直時，|AB|＝4.(1)求拋物線C的方程；(