2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（f—2x—3）（x+2）5的展開式中，項的系數(shù)為（）

A.-23B.17C.20D.63

2.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面

積為（）

c.V13D.722

3.已知函數(shù)/（x）=lnx+ln（3-x）,則（）

A.函數(shù)F。）在（0,3）上單調遞增B.函數(shù)/（X）在（0,3）上單調遞減

C.函數(shù)圖像關于x=g對稱D.函數(shù)/（X）圖像關于［3,對稱

4.函數(shù)〃力=卜2—4x+l）-e'的大致圖象是（）

5.已知函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，則;'（X）可以為（）

v

x3e-_23M

A./'（%）=彳——B.f（x）=-------C.f（x）=——xD./（x）=——

3xxxx

22

6.已知雙曲線E:二一二=1（。>0力〉0）滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線：/=4x的焦點廠重合；②

a"b~

雙曲線E與過點P（4,2）的幕函數(shù)f（x）=xa的圖象交于點。，且該幕函數(shù)在點。處的切線過點F關于原點的對稱點.則

雙曲線的離心率是（）

A.立里B.墾1C.-

D.V5+1

222

7.（3/+犬）（2-工）8展開式中x2的系數(shù)為（）

X

A.-1280B.4864C.一4864D.1280

/、14+

8.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的公比鄉(xiāng)W1,且。2，不生，4成等差數(shù)列，則^~1的值為（）

2。4+

1—5/5>/5+1

A.------B.------

22

C..TD.正里或叵11

222

22

9.若雙曲線C:二-二=1的焦距為4石，則。的一個焦點到一條漸近線的距離為（）

4m

A.2B.4c.V19D.2M

10.小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設小王和外賣小哥都在12：00-12：10之間隨機到達小王所居

住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）

11.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點（％,y）（其中i=1,2,L,300）,求得的回歸方程是9=/；x+4,則下列說法正確的

是（）

A.至少有一個樣本點落在回歸直線m=立+4上

B.若所有樣本點都在回歸直線$=忘+4上，則變量同的相關系數(shù)為1

C.對所有的解釋變量茗（i=l,2,L,300）,去,+4的值一定與上有誤差

D.若回歸直線》=晟+4的斜率/；>0,則變量x與y正相關

12.已知底面為邊長為2的正方形，側棱長為1的直四棱柱ABCD-44GA中，P是上底面AgGA上的動點?給

出以下四個結論中，正確的個數(shù)是（）

①與點。距離為G的點P形成一條曲線，則該曲線的長度是

②若DP〃面ACB-則OP與面ACG4所成角的正切值取值范圍是手,血；

③若DP=6,則0P在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為6夜.

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.正四面體A8CD的一個頂點A是圓柱。4上底面的圓心，另外三個頂點8c。圓柱下底面的圓周上，記正四面體

A8CD的體積為匕，圓柱。4的體積為匕，則孑的值是.

*2

14.根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸入的X的值為2,則輸出的y的值為.

Readx

Ifx>2then

y—3x-4

Else

EndIf

Printj

15.設雙曲線:一點=13>0）的一條漸近線方程為y=￥%,則該雙曲線的離心率為.

21

16.已知x>0,y>0,且一H—=1,若x+2y>+2〃?恒成立，則實數(shù)”的取值范圍是.

%>

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

/,22_2

17.(12分)在AABC中，角A，B,C的對邊分別為a,b,c,其中a<c,幺二~—

he

(1)求角C的值；

(2)若c=45,a=27叵,。為AC邊上的任意一點，求AD+25D的最小值.

18.(12分)已知函數(shù)/(幻=萬工2+/ZU+]nx.

(1)若函數(shù)不存在單調遞減區(qū)間，求實數(shù)〃?的取值范圍;

(2)若函數(shù)y=/(x)的兩個極值點為玉%(王<9),〃?<一半，求/(%)-/(%)的最小值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=工2x+Q]nx(a>0,beR).

(1)設〃=。+2,若/。)存在兩個極值點』，x2,且上一司>1，求證：/(3)—/(%2)|>3—41n2；

(2)設g(x)=4Xx)，g(x)在Je]不單調，且2%+L?4e恒成立，求。的取值范圍.(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx+x,g(x)=j

(1)若不等式/(力8(力</對x?l,+8)恒成立，求。的最小值；

(2)證明：/(x)+l-x>g(x).

(3)設方程〃x)—8⑺7的實根為x0.令尸=x>x(定

F(XI)=E(X2)，證明：F(x2)<F(2xa-x^.

21.(12分)設函數(shù)/(》)=,+。|+,一可，

(1)當。=1,b=2,求不等式/(X)26的解集；

(2)已知。>(),h>Q,/(x)的最小值為1,求證：-----+------>-.

2a+12b+l4

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=|x-l|+|

(D當a=2時，解不等式/。)24.

(II)若不等式/(x)22a恒成立，求實數(shù)。的取值范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式，結合乘法分配律，求得V的系數(shù).

【詳解】

5的展開式的通項公式為則

(x+2)Tr+l=-2’.

①(d-2x—3)出(一3),則(x+2)5出爐，該項為：(―3)-C；?2°-x5=—3/；

②(f—2x—3)出(一2%)，則(x+2)5出該項為：(-2).C]-2'-X5=-20A:5；

③(f-2x—3)出則(》+2)5出不，該項為：1C122/5=40X5；

綜上所述：合并后的V項的系數(shù)為17.

故選：B

【點睛】

本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎知識，考查理解能力，計算能力，分類討論和應用意識.

2.D

【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐

P—ABC.S&PAC=^SPAB=,S居AC=^^22,SAASC=2,故最大面的面積為夜.選D.

【點睛】

本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現(xiàn).

3.C

【解析】

依題意可得了(3-x)=/(x),即函數(shù)圖像關于x對稱，再求出函數(shù)的導函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調性；

【詳解】

解：由.f(3-x)=ln(3-x)+ln[3-(3-x)]=ln(3-x)+lnx=/(x),

.-./(3-x)=/(x),所以函數(shù)圖像關于x==對稱，

2

,112x—3i.

又/'(x)=――--=-_f(x)在(0,3上不單調.

x3-xx(x-3)'

故正確的只有C,

故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)的對稱性的判定，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，屬于基礎題.

4.A

【解析】

用了<0排除8,C；用x=2排除O；可得正確答案.

【詳解】

解：當x<()時，x2-4x+l>0?ex>0,

所以/(x)>0,故可排除B,C；

當x=2時，/(2)=—3e2<0,故可排除。.

故選：A.

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎題.

5.A

【解析】

根據(jù)圖象可知，函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在(0,+。)上單調遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出.

【詳解】

首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知，f(x)=--匚為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；

x

其次，在剩下的3個選項，對其在（O,+8）上的零點個數(shù)進行判斷，/（x）='在（0,+8）上無零點，不符合題意，排除

X

2

D；然后，對剩下的2個選項，進行單調性判斷，/（幻=工-x在（0,+。）上單調遞減，不符合題意，排除C.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質的判斷，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題.

6.B

【解析】

由已知可求出焦點坐標為（i,o）,（-1,0），可求得幕函數(shù)為/（*）=G，設出切點通過導數(shù)求出切線方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切點坐標，然后求解雙曲線的離心率.

【詳解】

依題意可得，拋物線y2=4x的焦點為尸（1,0）,尸關于原點的對稱點（一1,0）；2=4。，a=g，所以/（》）=）=6,

/（乃=志，設。（如歷，貝!1^^=再，解得工,=1，,可得**1，又c=l,。2=儲+從，

/7_,c=1君+1

可解得a=*二，故雙曲線的離心率是〃一61-2.

2

故選B.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標，求塞函數(shù)解析式，直線的斜率公式及導數(shù)的幾何意義,考查了學生分

析問題和解決問題的能力，難度一般.

7.A

【解析】

根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為：（3?。?/.C；26（-Jj化簡求值即可.

【詳解】

根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出3d項，第二個括號里出L項,或者第一個括號里出第二個括號里

X

出5,具體為：（3_?）C；27n+/.C；26（—

化簡得到-1280x2

故得到答案為：A.

【點睛】

求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：

⑴求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項，再由特定項的特點求出「值即可.

⑵已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r+1項，由特定項得出「值，最后求出

其參數(shù).

8.C

【解析】

分析：解決該題的關鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比4所滿足的

等量關系式，解方程即可得結果.

詳解：根據(jù)題意有為+q即/一夕一1=0,因為數(shù)列各項都是正數(shù)，所以4=1±*1,而

22

咄3=叵匚，故選C.

?4+?5q1+V52

點睛：該題應用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比4,而待求量就是代入即可得結果.

q

9.B

【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)加，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求得結果.

【詳解】

22

因為雙曲線C:土-二=1的焦距為46，

4"廠

故可得4+/=（26），解得〃/二16,不妨取根=4；

又焦點E（26,0）,其中一條漸近線為y=-2x,

由點到直線的距離公式即可求的d=曲1=4.

亞

故選：B.

【點睛】

本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質，屬綜合基礎題.

10.c

【解析】

設出兩人到達小王的時間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進行求解即可.

【詳解】

x<y

設小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為x，y,以12：oo點為開始算起，則有"「在平面直角

y-x<5

10?101創(chuàng)010-1倉寧5々

p—22j-

10'108

故選：C

【點睛】

本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學運算能力.

11.D

【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.

【詳解】

回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點，但樣本點可能全部不在回歸直線上，故A錯誤；

所有樣本點都在回歸直線e=邑：+4上，則變量間的相關系數(shù)為±i,故B錯誤；

若所有的樣本點都在回歸直線$=法+4上，則+&的值與y,相等，故C錯誤；

相關系數(shù)r與5符號相同，若回歸直線》=應+4的斜率3>0,則r>0,樣本點分布應從左到右是上升的，則變量X

與y正相關，故D正確.

故選D.

【點睛】

本題主要考查線性回歸方程的性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.

12.C

【解析】

①與點。距離為G的點P形成以。為圓心，半徑為0的,圓弧MN,利用弧長公式，可得結論；②當P在A（或

4

C）時，DP與面AC&4所成角ZDA。（或NOG。）的正切值為"最小，當P在。?時，DP與面ACGA所成角

3

NDOQ的正切值為0最大，可得正切值取值范圍是［乎,0］；③設P（X,y,1）,則f+y2+1=3,即尤2+y2=2,

可得OP在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和.

【詳解】

如圖：

①錯誤，因為DF=yjDp2-DD：==及，與點。距離為石的點p形成以。為圓心，半徑為3的

I圓弧腦V,長度為L.2兀.血=變兀；

442

②正確，因為面〃面AC4,所以點P必須在面對角線4G上運動，當P在4（或G）時，0P與面Acqa

所成角ND4,。（或NOG。）的正切值為"最?。?。為下底面面對角線的交點），當尸在。I時，DP與面

3

-f--

所成角的正切值為血最大，所以正切值取值范圍是半6；

③正確，設P（x,y,l）,則Y+y2+i=3,即f+y2=2,op在前后、左右、上下面上的正投影長分別為+i,

J7W，所以六個面上的正投影長度之++夜卜22『+1；“+1+夜=60,

\7

當且僅當p在a時取等號.

【點睛】

本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.立

47

【解析】

設正四面體的棱長為。，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解.

【詳解】

解：設正四面體的棱長為。，

則底面積為」xax立4=且/,底面外接圓的半徑為且“，

2243

高為g'等j=%.

二正四面體的體積乂=L旦2、旦=23,

134312

圓柱04的體積立a]^L=—a\.

I3Jx3a9

夜3

則匕-以上?-立

V,屈、4兀

——na

9

故答案為：息.

4萬

【點睛】

本題主要考查多面體與旋轉體體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題.

14.1

【解析】

滿足條件執(zhí)行y-3x—4,否則執(zhí)行y—2A2.

【詳解】

'3X-4X>2

本題實質是求分段函數(shù)丁=:22'c在x=2處的函數(shù)值，當x=2時，>=1.

-2x~\x<2

故答案為：1

【點睛】

本題考查條件語句的應用，此類題要做到讀懂算法語句，本題是一道容易題.

15.顯

2

【解析】

根據(jù)漸近線得到/,=&,c=底,計算得到離心率.

【詳解】

—-4=1(^>0).一條漸近線方程為：y=—x，故〃=五，c=底,e=-=—.

4b22a2

故答案為：顯.

2

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學生的計算能力.

16.(-4,2)

【解析】

試題分析：因為x+2y=(x+2y)(2+L)=4+生+土N4+2x±=8當且僅當x=2)'時取等號，所以

XyXyvXy

tv1+2m<8=^>-4<m<2

考點：基本不等式求最值

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y；(2)9+2773.

4

【解析】

(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結果；

27

(2)在AABC中，由余弦定理得b=AC=63,在ABC。中結合正弦定理求出3。=-從而得出C7),即可

sin。

得出y=AO+2B。的解析式，最后結合斜率的幾何意義，即可求出AO+28O的最小值.

【詳解】

/、b-\-c~-ci~-cos(+C)

besinCcosC

cosA

2cosA=

sinCcosC

由題知，a<c9則NAvNC,貝！JeosAwO

.'.2sinCcosC=l,

sin2C=L

.\C=-；

4

(2)在AABC中，由余弦定理得02=/+匕2一2他cos。,

b=AC=63,

設N8OC=e,A<e<3九3，其中sinA=33.

45

BDBC

在ABCD中，.萬sin0>

sin一

4

BD2772

?___________

"sin^"疝。，

4

27

：.BD

sin6*

CD二生以in("45)=空心也

sin。17sin。

由I、I人n,m027(sin6+cos6)2x272-cos6^

所以y=AQ+23O=63----------------------+-------=36-27+27x-----------,

sin6sin6sin0

_2-cos^_2-cos。

sin。0-sin6'

所以i的幾何意義為(0,2),(sin仇cos0)兩點連線斜率的相反數(shù)，

數(shù)形結合可得t=一:一。嗎也,

故AD+2BD的最小值為9+276.

【點睛】

本題考查正弦定理和余弦定理的實際應用，還涉及二倍角正弦公式和誘導公式，考查計算能力.

3

18.(1)[―2,+oo)(2)——In2

【解析】

分析：(1)先求導，再令/'(x)?o在(0,+8)上恒成立，得到x+’N-m在(0,+8)上恒成立，利用基本不等式得到

X

2

m的取值范圍.(2)先由r(x)=x+-+/?=r+〃"1=0得到

XX

再求得/(%)―/(x,)=ln±但—三，再構造函數(shù)

%+%=-m,x}x2=1,

令卜t,g(t)=lnt-；(t-m(O<t<D,再利用導數(shù)求其最小值.

詳解：(1)由函數(shù),〃X)=+3+向有意義，則%>0,即定義域為(。,+8)

由尸(x)=x+，〃+：,且/(x)不存在單調遞減區(qū)間，則/'(X)20在(0,一)上恒成立,

/.x+—>-m在(0,+巧上恒成立

X

vx>0,x+->2Vi=2,當且僅當x=1時取到最小值2

x

.?「mK2恒成立，解得mN-2

??.m的取值范圍為[-2,+。)

(2)由(1)知f(x)定義域為(O,+8),f'(x)=x+、+m,

X

令/'(x)=x+)+加=%+如+1=0,BPx2+mr+1=0

xx

由/(x)有兩個極值點玉,入2(°<玉<入2)

故公馬為方程X2+3+1=0的兩根，

Xy+x2=-m,xtx2=1,

加=一（玉+九2），XC—~^x2—

x-x=%2+mI2

則/(i)/(2)^1^i+1IU]-(^-x2+mx2+lnr2

2

(#-x,~)+〃?(X]一/)+In—-

2

一々2)-(%2_42)+ln}

ln五』五一強

x22X2%1J

由0<%<Z,令五=r,g?)=Inr-；,一；)，則0<r<1,

由g'(x)=L1+工Ji<0,則g⑺在(0,1)上單調遞減

t22t2t2

T7/3\/2日n/、/3^2

又.；mW——,即一(％+x2)<——

..%1+X2>三一

(%+%2)"——X1-+4-+2x/,———-H——+2=fd—一

X2X,t2

15

./+->-

t2

2

由0<rvl知0</

2

，g(x)Nglnl-1

22I*

3

綜上所述，/(%,)—/(馬)的最小值為:—ln2.

點睛：(1)本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學生對這些知識

的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點有兩個，其一是求出f(x,)-f(x)=In2但-2

2，其二是構造函數(shù)

令土=t,g(t)=lnt_(0<t<1),再利用導數(shù)求其最小值.

冗2

e2-y1e4-8ee2-8e

19.(1)證明見解析；(2)

44

【解析】

(1)先求出((x),又由后一司>1可判斷出f(x)在1,|上單調遞減，故/(xJ—/(x2)|=9—aln￡T,令

Z=|>2,記〃(r)=/-2rlnr-l,利用導數(shù)求出力(/)的最小值即可；

(2)由g(x)在［l,e］上不單調轉化為g'(x)=0在(l,e)上有解，可得勸=3一+。1nx+a,令

X

/x)=3x+”生竺+1,分類討論求*x)的最大值，再求解網(wǎng)x)aW4e即可.

XCl

【詳解】

2

(1)已知h=。+2(〃>0),f(x)=x-hx+a\nx9

：.f'(x)=2x—8+g=(X二)1(2匕),

XX

由尸(x)=0可得玉=1,x?=g

又由W—W|>1，知5〉2

???/(x)在1,.|上單調遞減，

二|/(%)—〃工2)|=/(1)—/圖=(一。嗚一1

令t=^>2,記〃⑺=*-2〃nr-l,則/⑺=2f-21nr—2

.?.〃〃?)=2-T=號辿>0.-."(f)在(2,+8)上單調遞增；

.?.勿⑺>勿(2)=2(1-In2)>0,h(t)在(2,+oo)上單調遞增；

/z(Z)>/?(2)=3-41n2>0,

.?.|/U,)-/(%2)|>3-41n2

(2)^(x)=x3-bx2+ax\nx,=3x2-2bx+a\nx+a,

???g(x)在［l,e］上不單調,

g'(x)在(1,e)上有正有負，g'(x)=0在(Le)上有解,

一,3x2+a\nx+a

：.2b=------------------xe(l,e),

x

,/26+,W4e恒成立,

a

、-.l/、-a+a\nx1…廠,/、3x2-a\nx(3Inx

記尸(x)=3x+---+-,則F(x)=——p——

記G(x)=華，.@幻=1-2”

XX

???G(x)在上單調增，在(五,e)上單調減.

G(X)max=G(&)=；

2e

于是知

3I

(i)當斤即〃<6e時，恒成立，尸(x)在(l,e)上單調增,

/.F(e)=3e+—+—<4^,

ea

2合一/。+040,“47^〈a*+47^

44

(ii)當。>6e時,

j=3\fe++—>3>/e+=12a>4e,故不滿足題意.

綜上所述，

【點睛】

本題主要考查了導數(shù)的綜合應用，考查了分類討論，轉化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.

20.(1)-(2)證明見解析(3)證明見解析

e

【解析】

(1)由題意可得，達尹Wa,令攵(6="4，利用導數(shù)得刈可在口,例)上單調遞減，進而可得結論；

(2)不等式轉化為lnx+L>4,令，x)=lnx+L/?(月=二，利用導數(shù)得單調性即可得到答案；

xexe

(3)由題意可得lnXo=C，進而可將不等式轉化為尸(%)</(2/一%)，再利用單調性可得xjn%〈冬仔,

記加(x)=xlnx—gW，再利用導數(shù)研究單調性可得m(x)在(1,%)上單調遞增，即

<加(%)=0,即玉InX<，二：'，即可得到結論.

【詳解】

(1)/(x)g(x)>ar2,即(尤lnx+x)?二?2?,化簡可得比】4a.

令攵(6=見二生，、--(lnx+1),因為％之1,所以乂1,inx+121.

、)ex-------x

所以R(x)VO,Mx)在［1,物)上單調遞減，MX)WA(1)=L

e

所以。的最小值為1.

e

(2)要證J'(x)+l-x>g(x),BPxlnx+1>—(x>0).

ex

兩邊同除以X可得lnx+，>L.

xe

設r(x)=lnx+L,貝!|f'(x)=L--y=

在(0,1)上，，(尤)<0,所以f(x)在(0,1)上單調遞減.

在。口)上,f(x)>0,所以*x)在+oo)上單調遞增,所以《％)上*1)=1.

設〃(x)=z，因為〃(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，所以〃(x)<〃(o)=l.

e

所以r(x)>/z(x),即/(x)+l-x>g(x).

⑶證明：方程/(X)-g(x)=x在區(qū)間(1,+8)上的實根為.％,即in/=，-,要證

e°

F(X2)<F(2X0-%,),由尸(xj=尸(％2)可知，即要證/(xJ<E(2xo-xJ.

當1cx時，*x)=xlnx,E'(x)=l+lnx>0,因而尸(x)在(l,x())上單調遞增.

當x>x0時，F(xiàn)(X)=2，尸'(%)==<0,因而尸(x)在(%,+s)上單調遞減.

ee

因為玉G。,/),所以2%—王〉玉)，要證FajcfQxo—玉).

即要證為1呻<蕓

2x-x

記=xInx---：：-91<x<玉).

因為lnxo=」「，所以/In/=興，則加(々，=/坨玉)一飛=0.