專題7.2平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題1．直線、被直線所截，，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，，．（1）若點(diǎn)在直線上，如圖①，，則；（2）若點(diǎn)在直線、之間，如圖②，試猜想、、之間的等量關(guān)系并給出證明；（3）若點(diǎn)在直線的下方，如圖③，（2）中、、之間的關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由．2．動(dòng)手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起，其中，，．（1）若，求的度數(shù)；（2）試猜想與的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若按住三角板不動(dòng)，繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，試探究當(dāng)時(shí)，等于多少度，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．3．如圖1，已知，點(diǎn)在上，連接．過(guò)點(diǎn)作，連接．（1）若，則；（2）如圖2，平分，射線的反向延長(zhǎng)線交的平分線于點(diǎn)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）在（1）的條件下，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．（題中所有角都是大于且小于的角）4．已知直線與互相垂直，垂足為，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，均不與點(diǎn)重合．（1）如圖1，平分，平分．若，則．（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，平分，的反向延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①若，則．②在點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，已知點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，的平分線，的平分線與的平分線所在的直線分別相交于點(diǎn)，．在中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．5．如圖1，點(diǎn)、分別在射線、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），、分別是和的角平分線，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）若，則；（直接寫出答案）（2）若，求出的度數(shù)；（用含的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系．6．已知：如圖所示，直線，另一直線交于，交于，且，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊且點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，的平分線交的平分線于點(diǎn)，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊且點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，的平分線交的平分線于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊且點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，的平分線交的平分線所在直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)，不說(shuō)明理由．7．如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），、分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．（1）的度數(shù)是，的度數(shù)是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是多少？8．如圖1，直線與直線垂直相交于，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，、分別是和的角平分線．（1）；（2）如圖2，若是的外角的角平分線，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（3）如圖3，過(guò)作直線與交于，且滿足，求證：．9．（問題背景），點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）．（問題思考）（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，．（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn)．①若，則．②隨著點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)，的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎(chǔ)上，如果，其余條件不變，隨著點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)（如圖③，．（用含的代數(shù)式表示）10．問題情境（1）如圖1，已知，，，求的度數(shù)．佩佩同學(xué)的思路：過(guò)點(diǎn)作，進(jìn)而，由平行線的性質(zhì)來(lái)求，求得；問題遷移（2）圖2，圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，，記，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．11．，點(diǎn)，分別在射線、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）．（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，；（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn)．①若，則；②隨著點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)，的大小是否會(huì)變化？如果不變，求的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖所示，有一塊直角三角板（足夠大），其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過(guò)、．（1）若，則，．（2）若，則．（3）請(qǐng)你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系．13．已知直線與互相垂直，垂足為，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、均不與點(diǎn)重合．【探究】如圖1，平分，平分．①若，則．②在點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展】如圖2，平分交于點(diǎn)，平分，的反向延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．在點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，直接寫出的度數(shù)；若變化，直接寫出的度數(shù)的變化范圍．14．已知：如圖，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是的平分線，的反向延長(zhǎng)線與的平分線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）試問動(dòng)點(diǎn)，分別在射線，上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化的范圍．15．將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起（如圖），其中，，．（1）若，求的度數(shù)；（2）試猜想與的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若三角板保持不動(dòng)，繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，試探究等于多少度時(shí)，？請(qǐng)你直接寫出答案．16．如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，且．（1）猜想直線與直線有怎樣的位置關(guān)系？說(shuō)明你的理由；（2）若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．17．，點(diǎn)，分別在射線、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)．（2）如圖2，平分，平分，的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．①若，則；②點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化規(guī)律．18．已知：直線，為直線上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．，為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，，滿足．點(diǎn)在上，且在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在直線上．（1）如圖1，若，，直接寫出的度數(shù)；（2）射線為的角平分線．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合，且時(shí)，直接寫出的度數(shù)．19．在中，射線平分交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平分①若，，則；若，則；②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的角平分線所在直線與射線交于點(diǎn)試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．20．如圖，，定點(diǎn)，分別在直線，上，在平行線，之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）試問：，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)是平行線，之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，猜想，，滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，直接寫出，，滿足的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖3，，分別平分，，且點(diǎn)在左側(cè)．①若，則的度數(shù)為；②猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．21．點(diǎn)在射線上，點(diǎn)、為射線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，，平分．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為．22．如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，且．（1）判斷直線與直線是否平行，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，．①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．23．【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，在中，線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且．求證：．【變式演練】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．【方法應(yīng)用】（3）如圖3，直線與直線相交于點(diǎn)，夾角的銳角為，點(diǎn)在直線上且在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)在直線上且在直線上方，點(diǎn)在直線上且在點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合）．當(dāng)時(shí)，平分，平分交直線于點(diǎn)，求的度數(shù)．24．如圖，，點(diǎn)．分別在、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）．（1）如圖1，，是的平分線，的反方向延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn)．①若，則．②猜想：的度數(shù)是否隨，的移動(dòng)發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．（2）如圖2，”，，，其余條件不變，則（用含、的代數(shù)式表示）25．（1）如圖1，，，．求度數(shù)；（2）如圖2，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你寫出、、間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．26．如圖1，于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，連接，．則，，三個(gè)角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系（不考慮點(diǎn)與點(diǎn)，，重合的情況）？并說(shuō)明理由．27．新定義：在中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的倍為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為2倍角三角形．（1）在中，，，則為倍角三角形．（2）如圖1，直線與直線相交于，，點(diǎn)、點(diǎn)分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)；已知、的角平分線交于點(diǎn)，在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，請(qǐng)求出的度數(shù)．（3）如圖2，直線直線于點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)分別在射線、上，已知、的角平分線分別與的角平分線所在的直線交于點(diǎn)、，若為3倍角三角形，試求的度數(shù)．28．（1）探究：如圖①，，點(diǎn)，，分別在直線，，上，連結(jié)，，當(dāng)點(diǎn)在直線的左側(cè)時(shí)，試說(shuō)明；（2）拓展：將圖①的點(diǎn)移動(dòng)到直線的右側(cè)，其他條件不變，如圖②．試探究，，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)是直線