第十一講數(shù)陣圖

在神奇的數(shù)學(xué)王國里，有一類非常有趣的數(shù)學(xué)問題，它有各式各樣、花樣繁多的幾何陣列，變

化萬千、趣味無窮。它就是數(shù)陣圖,那么數(shù)陣圖到底長什么樣呢？寶貝們，讓我們揭開它神秘的面紗吧。

把2、4、6、8、10、12、14七個(gè)數(shù)填在下圖的圓圈中，使每個(gè)大圓上四個(gè)數(shù)的和相等。

嗯題目中城有給出每個(gè)大圓上四例的和W多少，只是謝聘，那該怎么辦呢？這下可讓寶貝

再仔細(xì)看一下題目，給出的7個(gè)數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，圖中兩個(gè)大圓有交叉，顯然交叉點(diǎn)

的數(shù)字既被左邊的大圓用到，也會被右邊的大圓用到。那就是說只要左邊大圓另外三個(gè)數(shù)字的

和等于右邊大圓另外三個(gè)數(shù)字的和就可以了。

現(xiàn)在題目就變得簡單了，只要在7個(gè)數(shù)字中抽出一個(gè)放在中間的交叉點(diǎn)，然后把剩下的

6個(gè)數(shù)字加在一起，再除以2,是不是就找到了左右大圓上除了交叉點(diǎn)之外的三個(gè)數(shù)字

之和啦？只是找到了和，也不意味著就能把6個(gè)數(shù)字對號入座排進(jìn)去。我們還是列個(gè)表格來

逐個(gè)判斷一下吧：

交叉點(diǎn)剩余6個(gè)數(shù)總和除以2可以排左邊三個(gè)數(shù)右邊三個(gè)數(shù)

隊(duì)嗎？

2(4+6+8+10+12+14)4-2=27X

4(2+6+8+10+12+14)4-2=26V2、10、146、8、12

6(2+4+8+10+12+14)4-2=25X

8(2+4+6+10+12+14)+2=24V2、10、124、6、14

10(2+4+6+8+12+14)+2=23X

12(2+4+6+8+10+14)-?2=22V4、8、102、6、14

14(2+4+6+8+10+14)4-2=21X

因?yàn)轭}目中給出的數(shù)字都是偶數(shù)，而偶數(shù)相加的和總是偶數(shù)，不可能是奇數(shù)，所以27、25、23、

21這四個(gè)數(shù)是無法根據(jù)題目中的數(shù)字組合出來，因而2、6、10、14這四個(gè)數(shù)字無法放到

中間的交叉點(diǎn)中。

至此，我們就成功的把三組答案都找了出來。當(dāng)然啦，在真正考試的時(shí)候并不需要寶貝

們找出所有解，只要找出一種就可以了。

也許早有聰明的寶貝兒一眼就看出來了：因?yàn)橛?個(gè)數(shù)字，很自然的就會想把中間的數(shù)

字8給抽取出來，因?yàn)檫@樣最對稱，對稱就是美，對不對？!然后稍稍一排隊(duì)，就能找到（2、

10、12、8）和（4、6、14、8）這組正確的解。這樣解當(dāng)然沒有問題啦，題目做的又快

又好，真棒！

如果寶貝們沒有這個(gè)靈感，也不要緊，就按照我們前面的解題思路來考慮就可以了：按照順序抽

取出-一個(gè)數(shù)放在中間，然后先計(jì)算剩余數(shù)字的和，再除以2；最后把剩余數(shù)字嘗試分成數(shù)量相

等的兩隊(duì)，讓兩隊(duì)數(shù)字的和都等于總和的一半，這樣就能找出答案了。

寶貝們，現(xiàn)在我們了解了什么是數(shù)陣圖了吧，數(shù)陣圖就是把一組數(shù)組成各種排列，從而能滿足一定的

要求。讓我們再來看一道數(shù)陣圖的題目吧。

把數(shù)字1、2、3、4、5分別填入圖中的方格內(nèi)，使橫行三個(gè)數(shù)的和與豎行三個(gè)數(shù)的和都等

于9.

這道題目就簡單了許多，相信難不住寶貝們。首先我們就可以觀察到行和列交叉的那個(gè)數(shù)字既參

與了橫行三個(gè)數(shù)字的和；又參與了豎行三個(gè)數(shù)字的和。又根據(jù)對稱原則，我們是不是第一個(gè)就

想到了1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字中間的那個(gè)3呀？優(yōu)先把3放到中間，無論是橫行還

是豎行，剩下兩個(gè)數(shù)字的和一定是6,因?yàn)?+6=9。再看一下剩下的數(shù)字：1、2、4、5。

W蜘1+5=6；2+4=6。那么我們就很容易找到答案了：

橫行：1、3、5豎

行：2、3、4

或者橫行豎行反一反也是一樣的。

上面都是典型的數(shù)陣圖題目，接下來看看非典型，但是更有趣的數(shù)陣圖題目吧。

下圖是一個(gè)九宮格，要將24個(gè)?擺到九宮格中，使九宮格的每條邊3個(gè)格子

中都有8個(gè)?，現(xiàn)在請你想一想，在圖中畫一畫。

寶貝們，我們要仔細(xì)的看清楚題目，要求是九宮格的每條邊的3個(gè)格子中都有8個(gè)?。

這里面就有幾點(diǎn)需要注意的：

1）每條邊，而不是每一行、每一列；這個(gè)可不要看錯(cuò)哦。九宮格一共有4條邊。

2）每條邊都要放8個(gè)?。

3）總共24個(gè)?，是需要都擺放到九宮格中的，不能多放、也不能遺漏。

4）每條邊有3個(gè)格子，但沒有要求每個(gè)格子必須放

5）題目要求將24個(gè)?全部擺放到九宮格中，但沒有規(guī)定要全部擺放到邊上格子中。

通曉了上面的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)，我們就會發(fā)現(xiàn)題目出的太靈活了，可以讓寶貝們隨意發(fā)揮自己的

想象力。比如可以在邊上的三個(gè)格子里都放上?；也可以只放兩個(gè)格子、空一個(gè)格子；甚至可以

只放一個(gè)格子，另外兩個(gè)格子都空著。

寶貝們千位不要不仔細(xì)審題目，就想當(dāng)然的認(rèn)為：一定要邊上的每個(gè)格子都得放?，并且24個(gè)

?都一定要放在邊上的格子里。如果這樣想的話，那么思維就被限制住了，就要花費(fèi)很長時(shí)間

去尋找這個(gè)“完美”答案了。很多時(shí)候，簡單就是美，比如下面這個(gè)答案：

8

8

8

或

8

8

8

上面的兩種擺放方法粗看不可思議，但仔細(xì)一計(jì)算，發(fā)現(xiàn)完全滿足題目的要求：1）

24個(gè)?全部擺放到了九宮格中了。

2）每條邊的三個(gè)格子中都擺放了8個(gè)?。

很簡單就把這道題目給做出來了，是不是！看似天馬行空，但卻實(shí)實(shí)在在的把問題給解決了。

當(dāng)然，這并不是靈光乍現(xiàn)，一下子就想到的，畢竟這樣的天才太少了。不過只要遵循正確的解題

思路，每個(gè)寶寶都能找到這樣充滿靈氣的解。那面對這樣的題目，解題思路是什么呢，讓我們

一起來看看吧。

這道題目本質(zhì)上是拆數(shù)字問題，就是把8拆成不同喉且合，8能拆分成多種數(shù)字的組合，那到底

依據(jù)什么規(guī)律來拆分呢，這就要看題目的要求了。根據(jù)題目的意思，我們可以把

?放到邊上三個(gè)格子中的一個(gè)、兩個(gè)或是三個(gè)格子中。因此我們在拆分8的時(shí)候也要相

應(yīng)的嘗試拆分成1個(gè)數(shù)、兩個(gè)數(shù)、三個(gè)數(shù)，分別對應(yīng)放到一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)格子中。

一個(gè)數(shù)（全部放到一個(gè)格子中）8

=8

兩個(gè)數(shù)（放到兩個(gè)格子中）

8=1+7

8=2+6

8=3+5

8=4+4

三個(gè)數(shù)（放到三個(gè)格子中）

8=1+1+6

8=1+2+5

8=1+3+4

8=2+2+4

8=2+3+3

數(shù)字的先后順序不重要，比如1+7和7+1是一樣的，1+3+4和4+3+1也是一樣的，因

此8的拆分就被我們?nèi)苛谐鰜砹恕?/p>

對于8個(gè)?放到一個(gè)格子中，除了最開始給出的答案，還可以有下面一種擺法（具體位置還可

以調(diào)整）

8

8

8

對于8個(gè)?放到兩個(gè)格子中，選擇就多了很多，我們以1+7為例來看一下。這要求每一

條邊上都要出現(xiàn)7和1兩個(gè)數(shù)字，多余的?就被放到中間的格子中。所有?力唯一起要等于24。

為了不遺漏，我們需要請出表格小助手：

需要幾個(gè)7需要幾個(gè)1中間格子放幾解成立嗎？

1X（無法每條邊

都放8個(gè)）

228V

246

330

4X（超過24）

寶貝們，數(shù)曲頻是有規(guī)律的，如果是只有陽相同的大數(shù)月陷斕潴瓢闡胡上每個(gè)大數(shù)可以覆

蓋兩條邊。如果是三個(gè)相同的大數(shù)，那么就要一個(gè)放在角上，覆蓋兩條邊，另外兩個(gè)分別放在另

外兩條邊的中間。如果是四個(gè)相同的數(shù)，那么就要分別放在四條邊的中間格子里。

71

8

17

兩個(gè)7,放對角（兩個(gè)1放在另外的對角）

71

161

17

兩個(gè)7,放對角（四個(gè)1,分別放在邊上中間的格子里）

17

71

17

三個(gè)7,一個(gè)放角上，另外兩個(gè)放邊上中間的格子。

對于放兩個(gè)格子的情況，就以1+7為例講解了一下，剩下的2+6、3+5、4+4請寶貝們自己開

動小腦筋想一想吧。

放三個(gè)格子的情況，有1+1+6、1+2+5、1+3+4、2+2+4、2+3+3一共五種組合，我們同樣

選一種，把其余的留給寶貝們思考。選哪個(gè)呢，就選1+3+4吧。只要?jiǎng)邮之嬕划?，我們就?/p>

發(fā)現(xiàn)好多種解法：

134

323

431

314

161

413

143

44

341

314

143

431

會坐絢絢

?J*J??????

咱們就不一一列舉了，其中第三種是中間格子不用放?的“完美”解。只要遵循正確的解題思路,

那些充滿靈氣的解也好，完美解也好，都會被一一找出來，一個(gè)也跑不了。

寶貝們，我們再看一道類似的題目加深一下印象

小胖在九宮格中的每邊都放了9個(gè)?，小胖至少放了多少個(gè)?？最多放了多少個(gè)