第5講尺規(guī)作圖

1.能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.

2.會(huì)利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

3.會(huì)利用基本作圖完成：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形. 4.在尺規(guī)作圖中，了解尺規(guī)作圖的道理，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法.

1.(2017年山東棗莊)如圖

4-5-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，

弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是()圖4-5-1A.15B.30C.45D.60答案：B

2.(2017年浙江衢州)下列圖4-5-2四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角等于已知角；②作一個(gè)角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過(guò)直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線，則對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是()①②③④圖4-5-2A.①B.②C.③D.④答案：C3.如圖4-5-3，已知∠AOB和射線O′B′，用尺規(guī)作圖法作∠A′O′B′＝∠AOB(要求保留作圖痕跡).圖4-5-3解：如圖D47.圖D474.(2012年廣東)如圖4-5-4，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.(1)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)(2)在(1)中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數(shù).圖4-5-4解：(1)如圖D48.圖D48(2)∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠A＝180°－2∠ABC＝180°－144°＝36°.∵BD是∠ABC的平分線，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.5.(2013年廣東)如圖

4-5-5，已知平行四邊形ABCD.

(1)作圖：延長(zhǎng)BC，并在BC的延長(zhǎng)線上截取線段CE，使得CE＝BC；(用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)

(2)在(1)的條件下，連接AE，交CD于點(diǎn)F，求證：△AFD≌△EFC.圖4-5-5(1)解：如圖

D49.圖D49(2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵BC＝CE，∴AD＝CE.∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CEF.在△AFD和△EFC中，∴△AFD≌△EFC(AAS).知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容尺規(guī)作圖及基本作圖定義在幾何中，把限定用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖稱為尺規(guī)作圖五種基本作圖(1)作一條線段等于已知線段；

(2)作一個(gè)角等于已知角；(3)作一個(gè)角的平分線；(4)過(guò)定點(diǎn)作已知直線的垂線；(5)作線段的垂直平分線一般步驟(1)已知；(2)求作；(3)作法注意當(dāng)不要求寫(xiě)作法時(shí)，一般要保留作圖痕跡.對(duì)于較復(fù)雜的作圖，可先畫(huà)出草圖，使它同所要作的圖大致相同，然后借助草圖尋找作法基本作圖與應(yīng)用

例1：(2017年四川自貢)兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B與一條公路CD，一條河流CE的位置如圖4-5-6，某人要修建一避暑山莊，要求該山莊到A，B的距離必須相等，到CD和CE的距離也必須相等，且在∠DCE的內(nèi)部，請(qǐng)畫(huà)出該山莊的位置P.(不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)圖4-5-6

[思路分析]根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：到CD和CE的距離相等的點(diǎn)在∠ECD的平分線上，所以第一步作：∠ECD的平分線CF；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知：到A，B的距離相等的點(diǎn)在AB的垂直平分線上，所以第二步：作線段AB的垂直平分線MN，其交點(diǎn)就是P點(diǎn).解：如圖4-5-7，作法：①作∠ECD的平分線CF；圖4-5-7②作線段AB的垂直平分線MN；③MN與CF交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是山莊的位置.

【試題精選】

1.(2017年廣西貴港)如圖

4-5-8，尺規(guī)作圖(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)： 已知線段a和∠AOB，點(diǎn)M在OB上. (1)在OA邊上作點(diǎn)P，使OP＝2a；

(2)作∠AOB的平分線；(3)過(guò)點(diǎn)M作OB的垂線.圖4-5-8解：如圖D50，(1)點(diǎn)P為所求；(2)OC為所求；(3)MD為所求.圖D50

作圖與證明例2：(2018年四川攀枝花)已知△ABC中，∠A＝90°. (1)請(qǐng)?jiān)趫D4-5-9(1)中作出BC邊上的中線(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(2)如圖4-5-9(2)，設(shè)BC邊上的中線為AD，求證：BC＝2AD.(1)(2)圖4-5-9

[思路分析](1)如圖4-5-10(1)，作BC的垂直平分線得到BC的中點(diǎn)D，從而得到BC邊上的中線AD；

(2)延長(zhǎng)AD到E，使ED＝AD，連接EB，EC，如圖4-5-10(2)，通過(guò)證明四邊形ABEC為矩形得到AE＝BC，從而得到BC＝2AD.(1)(2)圖4-5-10(1)解：如圖

4-5-10(1)，AD為所作.(2)證明：延長(zhǎng)

AD到點(diǎn)E，使ED＝AD，連接EB，EC，如圖4-5-10(2)，∵CD＝BD，AD＝ED，∴四邊形ABEC為平行四邊形.∵∠CAB＝90°，∴四邊形ABEC為矩形.∴AE＝BC.∴BC＝2AD.【試題精選】2.如圖4-5-11，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一個(gè)外角.圖4-5-11實(shí)驗(yàn)與操作：根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母.(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)(1)作∠DAC的平分線AM；(2)作線段AC的垂直平分線，與AM交于點(diǎn)F，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE，CF.猜想并證明：猜想四邊形AECF的形狀并加以證明.解：(1)如圖D51.圖D51(2)四邊形AECF的形狀為菱形.理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AM平分∠DAC，∴∠DAM＝∠CAM.∵∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，∴∠CAM＝∠ACB.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE.∴OF＝OE，即AC和EF互相垂直平分.∴四邊形AECF的形狀為菱形.

[名師點(diǎn)評(píng)]中考通常以基本的尺規(guī)作圖為載體，在具體情境中醞釀與構(gòu)建圖形之間的形狀、位置、大小關(guān)系，進(jìn)而對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算、探究、發(fā)現(xiàn)與證明.作圖與計(jì)算例3：(2017年浙江嘉興)如圖

4-5-12，已知△ABC，∠B＝40°.圖4-5-12

(1)在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出⊙O與邊AB，BC，AC的切點(diǎn)D，E，F(xiàn)(保留痕跡，不必寫(xiě)作法);(2)連接EF，DF，求∠EFD的度數(shù).[思路分析](1)用尺規(guī)作圖的方法，作出∠A和∠C的平分線的交點(diǎn)即為內(nèi)切圓O；

(2)由切線的性質(zhì)可得∠ODB＝∠OEB＝90°，已知∠B的度數(shù)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求得∠DOE，由圓周角定理可求得∠EFD.解：(1)如圖4-5-13，圓O即為所求.圖4-5-13(2)如圖4-5-13，連接OD，OE，則OD⊥AB，OE⊥BC.∴∠ODB＝∠OEB＝90°.又∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°.∴∠EFD＝70°.【試題精選】

3.(2016年四川涼山州)如圖

4-5-14，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A(4,3)，B(4,1)，把△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到A1B1C.圖4-5-14(1)畫(huà)出△A1B1C，直接寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)；(2)求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△ABC所掃過(guò)的面積.解：(1)所求作△A1B1C如圖D52.圖D521.(2017年廣東)如圖

4-5-15，在△ABC中，∠A＞∠B.(1)作邊AB的垂直平分線DE，與AB，BC分別相交于點(diǎn)D，E(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)；(2)在(1)的條件下，連接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度數(shù).圖4-5-15解：(1)如圖D53.(2)∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∴∠EAB＝∠B＝50°.∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°.圖D532.(2016年廣東)如圖

4-5-16，已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn).(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E，并連接DE；(保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)(2)在(1)條件下，若DE＝4，求BC的長(zhǎng).圖4-5-16解：(1)如圖D54.圖D54(2)由三角形中位線定理，知BC＝2DE＝8.3.(2015年廣東)如圖

4-5-17，已知銳角三角形ABC.(1)過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線MN，交BC于點(diǎn)D；(用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)DC的長(zhǎng).圖4-5-17解：(1)如圖D55.

圖D55