數(shù)據(jù)包絡(luò)分析〔DEA〕1/7/20241整理課件數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是線性規(guī)劃模型的應(yīng)用之一，常被用來衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營單位的相對效率。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價(jià)同類型組織〔或工程〕工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營業(yè)部等，各自具有相同〔或相近〕的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效上下，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績效排序。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述

1/7/20242整理課件數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大局部機(jī)構(gòu)的運(yùn)營單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤、市場份額和成長率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營單位效率高，哪個(gè)單位效率低。因而，需采用一種全新的方法進(jìn)行績效比較。這種方法就是二十世紀(jì)七十年代末產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析〔DEA〕。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對優(yōu)勢的。1/7/20243整理課件1978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits〞〔決策單元的有效性度量〕，刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志〞上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡稱C2R模型。該模型用以評價(jià)部門間的相對有效性〔因此被稱為DEA有效〕。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析〔DEA〕源起DEA模型是直接使用輸入、輸出數(shù)據(jù)建立非參數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。1/7/20244整理課件數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國軍用飛機(jī)的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面．目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大。它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性〔例如投資工程評價(jià)〕；研究在做決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何〔例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進(jìn)行政策評價(jià)。1/7/20245整理課件數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀最引人注目的研究是把DEA與其它評價(jià)方法進(jìn)行比較。例如將DEA應(yīng)用于北卡羅來納州各醫(yī)院的有效性評價(jià)。已有的按計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方式給出的回歸生產(chǎn)函數(shù)認(rèn)為，此例中不存在規(guī)模收益。DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產(chǎn)函數(shù)不能象DEA那樣正確測定規(guī)模收益．其關(guān)鍵在于：DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣；DEA致力于每個(gè)單個(gè)醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對整個(gè)集合的統(tǒng)計(jì)回歸優(yōu)化。在其它的研究中，例如在評價(jià)醫(yī)院經(jīng)營有效性時(shí)，將DEA與馬薩諸塞州有效性評定委員會使用的比例方法進(jìn)行了比較，當(dāng)使用模擬方法對DEA進(jìn)行檢驗(yàn)后認(rèn)為，盡管由回歸函數(shù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效．1/7/20246整理課件數(shù)據(jù)包絡(luò)分析〔DEA〕模型簡介DEA是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃〔包括線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無限規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等〕模型，評價(jià)具有多個(gè)輸入、特別是多個(gè)輸出的“部門〞或“單位〞〔稱為“決策單元〞，簡記DMU〕間的相對有效性〔稱為DEA有效〕。實(shí)際上“效率〞或“相對有效性〞的概念也是指產(chǎn)出與投入之比，不過是加權(quán)意義之下的產(chǎn)出投入比。根據(jù)對各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能集的“生產(chǎn)前沿面〞上。1/7/20247整理課件在DEA中一般稱被衡量績效的組織為決策單元〔decisionmakingunit——DMU〕。設(shè)：n個(gè)決策單元〔j=1，2，…，n〕每個(gè)決策單元有相同的m項(xiàng)投入〔輸入〕〔i=1，2，…，m〕每個(gè)決策單元有相同的s項(xiàng)產(chǎn)出〔輸出〕〔r=1，2，…，s〕Xij——第j決策單元的第i項(xiàng)投入yrj——第j決策單元的第r項(xiàng)產(chǎn)出衡量第j0決策單元是否DEA有效數(shù)據(jù)包絡(luò)分析根本概念1/7/20248整理課件

決策單元12…n投入項(xiàng)目12…mX11X12…X1nX21X22…X2n…………Xm1Xm2…Xmn12…n決策單元y11y12…y1ny21y22…y2n…………ys1ys2…ysn12…s產(chǎn)出項(xiàng)目1/7/20249整理課件輸入型與輸出型的DEA模型Input-DEA模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實(shí)際投入之比來估計(jì)。或者說，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求θ的最小。Output-DEA模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。1/7/202410整理課件C2R模型1/7/202411整理課件C2R的對偶輸入模型模型1/7/202412整理課件C2R的對偶輸出模型模型1/7/202413整理課件BC2的對偶輸入模型模型Banker,CharnesandCooper(1984)1/7/202414整理課件衡量某一決策單元j0是否DEA有效——是否處于由包絡(luò)線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個(gè)由n個(gè)決策單元組成〔線性組合成〕的假想決策單元。如果該假想單元的各項(xiàng)產(chǎn)出均不低于j0決策單元的各項(xiàng)產(chǎn)出，它的各項(xiàng)投入均低于j0決策單元的各項(xiàng)的各項(xiàng)投入。即有：

構(gòu)建DEA模型的思路∑

jyrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

jxij≤Exij0

（i=1，2，…，m，E＜1）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn這說明

j0決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。1/7/202415整理課件基于上述事實(shí)，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：minE

S.t.∑jyrj≥yrj0〔r=1，2，…，s〕∑jxij≤Exij0〔i=1，2，…，m〕∑j=1，j≥0〔j=1，2，…，n〕j=1j=1j=1nnn結(jié)果分析：1、當(dāng)求解結(jié)果有E＜1時(shí)，那么j0決策單元非DEA有效；2、否那么，那么j0決策單元DEA有效。1/7/202416整理課件具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型1/7/202417整理課件例1：考慮具有4個(gè)決策單元，2個(gè)輸入和1個(gè)輸出，相應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)由下表給出：3343132123411211211/7/202418整理課件考察DMU1，取ε＝10－51/7/202419整理課件最優(yōu)解為所以，DMU1為DEA有效。1/7/202420整理課件DEA有效性的判斷對具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型，可以根據(jù)以下規(guī)那么判斷DEA有效性：假設(shè)θ<1,那么DMUj0不為弱DEA有效；假設(shè)θ＝1,那么DMUj0僅為弱DEA有效；假設(shè)θ＝1,那么DMUj0為DEA有效；1/7/202421整理課件關(guān)于DEA模型的根本定理存在性定理：至少存在一個(gè)決策單元，它是DEA有效的。有效性與量綱選取無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與輸入和輸出量綱的選取無關(guān)。有效性與DMU同倍“增長〞無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與決策單元對應(yīng)的輸入和輸出同倍“增長〞無關(guān)。1/7/202422整理課件生產(chǎn)前沿面生產(chǎn)前沿面實(shí)際上是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效局部，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析〞的原因所在。決策單元為DEA有效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標(biāo)的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面〔Pareto最優(yōu)點(diǎn)構(gòu)成的面〕。1/7/202423整理課件技術(shù)有效與規(guī)模有效技術(shù)有效：輸出相對輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上?！财鋵?shí)這就是前面一直提到的相對有效性，注意，技術(shù)有效于純技術(shù)有效是不同的，有文獻(xiàn)指出，技術(shù)效率等于純技術(shù)效率與規(guī)模效率的乘積〕規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。1/7/202424整理課件DMU1DMU2DMU3DMU4xyoDMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應(yīng)的最優(yōu)值θ0＝1?？梢?，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟(jì)含義是：既為“技術(shù)有效〞，也為“規(guī)模有效〞。1/7/202425整理課件例2：碩士點(diǎn)教育質(zhì)量評價(jià)某系統(tǒng)工程研究所對我國金屬熱處理專業(yè)的26個(gè)碩士點(diǎn)的教育質(zhì)量，進(jìn)行了有效性評價(jià)。評價(jià)采用的指標(biāo)體系為：輸入：導(dǎo)師人數(shù)；實(shí)驗(yàn)設(shè)備；圖書資料；學(xué)生入學(xué)情況。輸出：科研成果；論文篇數(shù)；學(xué)生畢業(yè)時(shí)的情況。

相對有效性評價(jià)問題舉例1/7/202426整理課件例3：行風(fēng)〔行業(yè)作風(fēng)〕建設(shè)有效性評價(jià)本工程研究人員選定江蘇省S市交通客運(yùn)系統(tǒng)作為對象，包括7家交通客運(yùn)汽車公司。選定了輸入指標(biāo)4項(xiàng)，輸出指標(biāo)4項(xiàng)。分別是：輸入指標(biāo)：1、年末職工總數(shù)〔單位：人〕；2、單位本錢〔單位：元/千人公里〕；3、燃料單位消耗〔單位：升/千人公里〕；4、行車責(zé)任事故率〔單位：次/千人公里〕。輸出指標(biāo)：1、勞動生產(chǎn)率〔單位：元/人〕；2、行車準(zhǔn)點(diǎn)率〔%〕；3、群眾滿意率〔按問卷調(diào)查〕〔%〕4、車輛效勞合格率〔包括：效勞態(tài)度、效勞措施、車輛設(shè)施等〕〔%〕

相對有效性評價(jià)問題舉例1/7/202427整理課件例4：銀行分理處相對有效性評價(jià)振華銀行的4個(gè)分理處的投入產(chǎn)出如下表。求各個(gè)分理處的運(yùn)行是否DEA有效。〔產(chǎn)出單位：處理筆數(shù)/月〕相對有效性評價(jià)問題舉例分理處投入產(chǎn)出職員數(shù)營業(yè)面積（m2）儲蓄存取貸款中間業(yè)務(wù)分理處1分理處2分理處3分理處4152021201401301201351800100080090020035045042016001000130015001/7/202428整理課件解：假設(shè)先確定分理處1的運(yùn)行是否DEA有效。建立線性規(guī)劃模型：例4：銀行分理處相對有效性評價(jià)minE18001+10002+8003+9004≥18002001+3502+4503+4204≥20016001+10002+13003+15004≥1600S.t.151+202+213+204≤15E1401+1302+1203+1354≤140E1+2+3+4=1j≥0〔j=1，2，3，4〕1/7/202429整理課件求解結(jié)果分析：對分理處1，E=1，說明分理處1的運(yùn)行DEA有效。對分理處2，E=0.996，說明分理處2的運(yùn)行非DEA有效。對分理處3，E=1，說明分理處3的運(yùn)行DEA有效。對分理處4，E=1，說明分理處4的運(yùn)行DEA有效。例4：銀行分理處相對有效性評價(jià)1/7/202430整理課件相對有效性評價(jià)問題舉例例5：醫(yī)院相對效率評價(jià)利用DEA模型分析4類醫(yī)院〔普通醫(yī)院、校醫(yī)院、鎮(zhèn)醫(yī)院和國家醫(yī)院〕的相對效率。這些醫(yī)院具有相同〔或相似〕的投入〔輸入量〕和產(chǎn)出〔輸出量〕。例如，建立一個(gè)用于分析鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率的線性模型。1/7/202431整理課件例5：醫(yī)院相對效率評價(jià)輸入量全職非主治醫(yī)師人數(shù)提供的經(jīng)費(fèi)可供住院的床位數(shù)輸出量開診日的藥物治療效勞開診日的非藥物治療效勞接受過培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目接受過培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目1/7/202432整理課件投入方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院全職非主治醫(yī)師285.20162.30275.70210.40提供的經(jīng)費(fèi)（千元）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位數(shù)（千張）106.7264.21104.10104.044類醫(yī)院的年輸入量〔年消耗〕1/7/202433整理課件輸出方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院開診日的藥物治療（千次）48.1434.6236.7233.16開診日的非藥物治療（千次）43.1027.1145.9856.46接受過培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目253148175160接受過培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目412723844類醫(yī)院的年輸出量〔年提供的效勞〕1/7/202434整理課件鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA分析通過建立一個(gè)線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為根底建立一個(gè)假設(shè)的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量〔或輸出量〕的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量〔或輸出量〕。在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假設(shè)合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院〔四類醫(yī)院的加權(quán)平均〕相對低效，進(jìn)而可被認(rèn)為比其他醫(yī)院相對低效。1/7/202435整理課件鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA模型wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；ws為國家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重所以，DEA模型的第一個(gè)約束條件為wg＋wu＋wc＋ws＝11/7/202436整理課件鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即合成醫(yī)院的輸出量≥鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量我們可寫出輸出量的約束條件：48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72〔藥物治療〕43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98〔非藥物治療〕253wg+148wu+175wc+160ws≥175〔護(hù)士〕41wg+27wu+23wc+84ws≥23〔實(shí)習(xí)醫(yī)師〕1/7/202437整理課件鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即合成醫(yī)院的輸入量≤鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，那么275.70E為合成醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)。當(dāng)E＝1時(shí)，合成醫(yī)院需要與鎮(zhèn)醫(yī)院相同的輸入量資源；當(dāng)E>1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源；當(dāng)E<1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源。〔模型的目標(biāo)〕1/7/202438整理課件鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA模型我們可寫出輸入量的約束條件：