專(zhuān)題2.2幾何圖形中的翻折變換【典例1】如圖是兩個(gè)全等的直角三角形紙片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過(guò)其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為S1，S2．（1）若AC＝3，求S1的值．（2）若S1+S2＝26，求單個(gè)直角三角形紙片的面積是多少．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)DM＝CM＝x，則BM＝4﹣x，依據(jù)S△ABM=12AB×DM=12BM×AC，即可得到x（2）如圖1，依據(jù)S△ABM=12AB×DM=12BM×AC，即可得到DM=32x，進(jìn)而得出S1=32x2；如圖2，依據(jù)S△ABN=12AB×EN=12AN×BC，即可得到EN=43x，進(jìn)而得出S【解題過(guò)程】解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折疊可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，設(shè)DM＝CM＝x，則BM＝4﹣x，∵S△ABM=12AB×DM=12∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x=3∴S1=12BD×DM（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可設(shè)AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，如圖1，由折疊可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，∵S△ABM=12AB×DM=12∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，解得DM=32∴S1=12BD×DM=12×2如圖2，由折疊可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，∵S△ABN=12AB×EN=12∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，解得EN=43∴S2=12AE×EN=12×∵S1+S2＝26，∴32x解得x2＝12，∴S△ABC=12×3x×4x=6x21．（2022春?鎮(zhèn)平縣期末）如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，如果C′為AB的中點(diǎn)，△BCD的面積為1，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路點(diǎn)撥】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得S△BCD＝S△BC′D＝1，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出S△ADC′＝S△BCD＝S△BC′D＝1，最后利用△ABC的面積＝S△ADC′+S△BDC′+S△BCD得出結(jié)果．【解題過(guò)程】解：∵△ABC為直角三角形，∴∠C＝∠BC′D＝∠AC′D＝90°，由折疊的性質(zhì)得：△BCD≌△BC′D，∴S△BCD＝S△BC′D＝1，∵C′為AB的中點(diǎn)，∴AC′＝BC′，∵∠BC′D＝∠AC′D＝90°，DC′＝DC′，∴△ADC′≌△BDC′（SAS），∴S△ADC′＝S△BCD＝S△BC′D＝1，∴△ABC的面積＝S△ADC′+S△BDC′+S△BCD＝3，故選：B．2．（2022春?槐蔭區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，以BC所在直線為對(duì)稱(chēng)軸翻折△ABC得到△A′BC，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，連結(jié)BA′，AH⊥BA′于H，AH與BC交于點(diǎn)E．下列結(jié)論一定正確的是（）A．A′C＝A′H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A′H【思路點(diǎn)撥】由折疊的性質(zhì)可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可證△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．【解題過(guò)程】解：∵將△ABC沿直線BC折疊，∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，∵AH⊥A'B，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，∴∠A'BC＝∠HAA'，又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，在△BHE和△AHA'中，∠A'BC=∠HAA'∠BHE=∠AHA'=90°∴△BHE≌△AHA'（AAS），∴BE＝AA'，∴BE＝2AC，故選：B．3．（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，將四邊形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)M處．折痕為AP，再將△PCM和△ADM分別沿PM，AM折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一點(diǎn)N處．下面結(jié)論：①M(fèi)是CD的中點(diǎn)；②∠ABP＝90°；③MN⊥AP；④AD∥BC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】由折疊的性質(zhì)可得∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，DM＝MN＝CM，可得M是CD的中點(diǎn)，故①正確；可得由平角的性質(zhì)可得∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可證AD∥BC，故④正確；由平行線的性質(zhì)可得∠ABP＝∠AMP＝90°，故②正確，由題意證明∠DAM＝∠MAN＝∠BAN＝30°，再根據(jù)翻折即可證明MN不垂直AP，故③錯(cuò)誤，即可求解．【解題過(guò)程】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，DM＝MN＝CM，AD＝AN，CP＝PN，∴M是CD的中點(diǎn)，故①正確；∵∠ANM+∠MNP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，故④正確；∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DMN+∠CMN＝180°，∴∠DMA+∠CMP＝90°，∴∠AMP＝90°，∴∠ABP＝∠AMP＝90°，故②正確；∵AD∥BC，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠DAM＝∠MAN＝∠BAN＝30°，又∵∠CPM＝∠MPN＝∠BPN＝60°，∴∠DAM+∠CPM＝90°，∴∠AMP＝90°，∵∠C≠90°，∴MN不垂直于AP，故③錯(cuò)誤，綜上所述：正確的是①②④，共3個(gè)．故選：C．4．（2022?東坡區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AD是△ABC的高線，BD＝CD，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，BE＝BC，將△ABE沿BE所在直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′位置上，連接AA'，BA′，EA′與AC相交于點(diǎn)H，BA′與AC相交于點(diǎn)F．小夏依據(jù)上述條件，寫(xiě)出下列四個(gè)結(jié)論：①∠EBC＝60°；②∠BFC＝60°；③∠EA′A＝60°；④∠A′HA＝60°以上結(jié)論中，正確的是（）A．① B．③④ C．①②③ D．①②④【思路點(diǎn)撥】連接EC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可證△BEC是等邊三角形，可得∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，∠BED＝∠CED＝30°，由折疊的性質(zhì)可得∠AEB＝∠BEA'＝150°，AE＝A'E，∠BAD＝∠BA'E，可證△AEA'是等邊三角形，可得∠EA'A＝60°，由“SSS”可證△ABE≌△ACE，可得∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，由外角的性質(zhì)可得∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°．【解題過(guò)程】解：連接EC，∵BD＝CD，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BE＝EC，且BE＝BC，∴BE＝EC＝BC，∴△BEC是等邊三角形，且ED⊥BC，∴∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，∠BED＝∠CED＝30°，故①符合題意，∴∠AEB＝150°，∵將△ABE沿BE所在直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′位置上，∴∠AEB＝∠BEA'＝150°，AE＝A'E，∠BAD＝∠BA'E，∴∠AEA'＝60°，∴△AEA'是等邊三角形，∴∠EA'A＝60°，故③符合題意，∵AB＝AC，BE＝EC，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，∵∠AEA'＝∠EOA'+∠EA'O＝60°，∴∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°，故②符合題意，∵∠A'HA＝∠AFA'+∠BA'E＞60°，∴故④不符合題意，故選：C．5．（2021秋?渝北區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD．將△ABD沿直線AD翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC上B'點(diǎn)，若AB'：B'C＝3：2，則點(diǎn)D到AC的距離是154【思路點(diǎn)撥】根據(jù)折疊可得AB＝AB′＝6，由AB'：B'C＝3：2，可求出B′C＝4，根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系可求出答案．【解題過(guò)程】解：由折疊得，AB＝AB′＝6，△ABD≌△AB′D，∵AB'：B'C＝3：2，∴B′C＝4，∴AC＝AB′+B′C＝AB+B′C＝6+4＝10，S△B′CD：S△AB′D：S△ABD＝2：3：3，∴S△B′CD=22+3+3S△ABC=1設(shè)點(diǎn)D到AC的距離為h，則12×4×h∴h=15即點(diǎn)D到AC的距離為154故答案為：1546．（2022春?姜堰區(qū)期末）如圖，在△ABC紙片中，∠BAC＝45°，BC＝4，且S△ABC＝5，P為BC上一點(diǎn)，將紙片沿AP剪開(kāi)，并將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，連接DE，則△ADE面積的最小值為258【思路點(diǎn)撥】根據(jù)將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，可得△ADE是等腰直角三角形，要使△ADE面積最小，即是使AD（AE）的長(zhǎng)度最小，也就是AP長(zhǎng)度最小，此時(shí)AP為△ABC的邊BC上的高，根據(jù)BC＝4，且S△ABC＝5，可得AP最小為52，即可得△ADE面積的最小值為12AD?AE【解題過(guò)程】解：∵將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，∴AD＝AP，∠DAB＝∠PAB，AE＝AP，∠EAC＝∠PAC，∴AD＝AP＝AE，∠DAB+∠EAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝45°，∴∠DAE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，要使△ADE面積最小，即是使AD（AE）的長(zhǎng)度最小，也就是AP長(zhǎng)度最小，此時(shí)AP為△ABC的邊BC上的高，∵BC＝4，且S△ABC＝5，∴AP最小為2S△ABCBC=2×54=∴△ADE面積的最小值為12AD?AE=故答案為：2587．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處．設(shè)∠BED＝x°，則能使△BED和△CDF同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為10．【思路點(diǎn)撥】由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根據(jù)將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，可得∠EDF＝∠A＝40°，當(dāng)△BED為“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°或x＝10°，①當(dāng)x＝25°時(shí)，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，故△CDF不是“準(zhǔn)直角三角形”；②當(dāng)x＝10°時(shí)，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“準(zhǔn)直角三角形”，即可得到答案．【解題過(guò)程】解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝40°，∵將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，∴∠EDF＝∠A＝40°，當(dāng)△BED為“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，∴x＝25°或x＝10°，①當(dāng)x＝25°時(shí)，即∠DEB＝25°，∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，此時(shí)2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，∴△CDF不是“準(zhǔn)直角三角形”；②當(dāng)x＝10°時(shí)，即∠DEB＝10°，∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，此時(shí)2∠CDF+∠CFD＝90°，∴△CDF是“準(zhǔn)直角三角形”；綜上所述，能使△BED和△CDF同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為10，故答案為：10．8．（2022春?五華縣期末）如圖，AB∥CD，∠C＝60°，點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，連接AE，將△AEC沿著AE翻折得△AEF，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，若∠EAF＝2∠FAB，那么∠AEC＝60°或72°．【思路點(diǎn)撥】分AF在AB上方和AF在AB下方，兩種情況進(jìn)行討論，即可得出答案．【解題過(guò)程】解：分兩種情況：①如圖，當(dāng)AF在AB上方時(shí)，設(shè)∠BAF＝x，∵將△ACE沿著AE翻折得△AEF，∠EAF＝2∠FAB，∴∠CAE＝∠EAF＝2x，∠EAB＝x，∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝3x，∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠AEC＝∠EAB，∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∴3x＝120°，解得：x＝60°，∴∠AEC＝∠EAB＝60°；②如圖，當(dāng)AF在AB下方時(shí)，設(shè)∠BAF＝x，∵將△ACE沿著AE翻折得△AEF，∠EAF＝2∠FAB，∴∠CAE＝∠EAF＝2x，∠EAB＝3x，∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝5x，∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠AEC＝∠EAB，∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∴5x＝120°，解得：x＝24°，∴∠EAB＝3×24°＝72°，∴∠AEC＝∠EAB＝72°，綜上所述，∠AEC＝60°或72°，故答案為：60°或72°．9．（2021秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖，三角形紙片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，折痕為BD（點(diǎn)D在線段AC上且不與A，C重合）．（1）如圖①，若點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，求△ADE的周長(zhǎng)；（2）如圖②，若點(diǎn)C落在AB邊下方的點(diǎn)E處，記△ADE的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，直接寫(xiě)出L的取值范圍7＜L＜10．【思路點(diǎn)撥】（1）由翻折變換的性質(zhì)可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）由翻折變換的性質(zhì)可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的三邊關(guān)系求出2＜AE＜5，即可求解．【解題過(guò)程】解：（1）∵折疊△ABC，頂點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，∴DE＝DC，BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，∵AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，∴△AED的周長(zhǎng)＝AD+DE+AE＝5+2＝7；（2）∵折疊△ABC，頂點(diǎn)C落在AB邊下方的點(diǎn)E處，∴DE＝DC，BE＝BC＝6，在△ADE中，AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，AE＜AD+DE，即AE＜5．在△ABE中，AE＞AB﹣BE，即AE＞2．∴2＜AE＜5，∴2+AD+DE＜AE+AD+DE＜5+AD+DE，即2+5＜L＜5+5，即7＜L＜10，故答案為：7＜L＜10．10．（2022春?廣州期中）在長(zhǎng)方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°．（1）如圖1，∠ADB＝20°，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABP沿AP翻折到△AEP位置，若AE∥BD，求∠BAP的度數(shù)；（2）如圖2，若CD＝3，BD＝5，BC＝4，P是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，求線段CP的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)∠BAP＝x°，根據(jù)∠BAD＝90°及△ABP沿AP翻折到△AEP，可得2x﹣90°＝20°，即可解得答案；（2）過(guò)C作CP'⊥BD于P'，根據(jù)垂線段最短可得線段CP的最小值為125【解題過(guò)程】解：（1）設(shè)∠BAP＝x°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAP＝（90﹣x）°，∵△ABP沿AP翻折到△AEP，∴∠EAP＝∠BAP＝x°，∴∠EAD＝∠EAP﹣∠DAP＝x°﹣（90﹣x）°＝（2x﹣90）°，∵AE∥BD，∠ADB＝20°，∴∠EAD＝∠ADB＝20°，即2x﹣90°＝20°，解得x＝55°，答：∠BAP的度數(shù)為55°；（2）過(guò)C作CP'⊥BD于P'，如圖：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P'時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)CP最小，最小值即為CP'的長(zhǎng)度，∵2S△BCD＝BC?CD＝BD?CP'，∴CP'=BC?CD∴線段CP的最小值為12511．（2021秋?斗門(mén)區(qū)期末）如圖1，將長(zhǎng)方形ABEF的一角向長(zhǎng)方形內(nèi)部折疊，使角的頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，OC為折痕，則OC平分∠AOA′．（1）若∠AOC＝25°，求∠A'OB的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D在線段BE上，角頂點(diǎn)B沿著折痕OD折疊落在點(diǎn)B′處，且點(diǎn)B′在長(zhǎng)方形內(nèi)．①如果點(diǎn)B′剛好在線段A′O上，如圖2所示，求∠COD的度數(shù)；②如果點(diǎn)B′不在線段A′O上，且∠A'OB'＝40°，求∠AOC+∠BOD的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)、平角的定義計(jì)算；②分圖3、圖4兩種情況，根據(jù)平角的定義計(jì)算即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵OC平分∠AOA′，∠AOC＝25°，∴∠A'OA＝2∠AOC＝50°，∴∠A'OB＝180°﹣∠A'OA＝180°﹣50°＝130°；（2）①由折疊的性質(zhì)可知，∠COA′=12∠AOA′，∠DOB′=12∵∠AOA′+∠BOA′＝180°，∴∠COD＝∠COA′+∠DOB′＝90°；②如圖3，∵∠A'OB'＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′＝180°﹣40°＝140°，∵∠COA=12∠AOA′，∠DOB=12∴∠AOC+∠BOD=12×140°如圖4，同上作法可知，∠AOC+∠BOD=12×（180°+40°綜上所述：∠AOC+∠BOD的度數(shù)為70°或110°．12．（2022春?法庫(kù)縣期中）在△ABC中，∠B，∠C均為銳角且不相等，線段AD，AE分別是△ABC中BC邊上的高和△ABC的角平分線．（1）如圖1，∠B＝70°，∠C＝30°，則∠DAE的度數(shù)．（2）若∠B＝α，∠DAE＝10°，則∠C＝α﹣20°（3）F是射線AE上一動(dòng)點(diǎn)，G、H分別為線段AB，BE上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將△ABC沿著GH折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)F處，如圖2所示，其中∠1＝∠AGF，∠2＝∠EHF，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1，∠2與∠B的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】（1）三角形根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再由角平分線性質(zhì)求得∠BAE，再根據(jù)三角形的高和直角三角形的性質(zhì)求得∠BAD，進(jìn)而由角的和差關(guān)系求得結(jié)果；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠BAD，再由角的和差關(guān)系求得∠BAE，由角平分線的定義求得∠BAC，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得結(jié)果；（3）根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)和角平分線定義用∠1、∠2分別表示∠BGH和∠BHG，再由三角形內(nèi)角和定理得結(jié)果．【解題過(guò)程】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°；（2）∵∠B＝α，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣α，∵∠DAE＝10°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝100°﹣α，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝200°﹣2α，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣α﹣200°+2α＝α﹣20°，故答案為：α﹣20°；（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，∠1+∠2＝2∠B．理由：由折疊知，∠BGH=12∠BGF，∠BHG=1∵∠BGF＝180°﹣∠1，∠BHF＝180°﹣∠2，∴∠BGH＝90°-12∠1，∠BHG＝90°∴∠B＝180°﹣∠BGH﹣∠BHG=1即∠1+∠2＝2∠B．同理：當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得∠1﹣∠2＝2∠B．13．（2021春?襄汾縣期末）如圖1，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（1）若∠A：∠ABC＝3：4，∠ACD＝140°，求∠A的度數(shù)；（2）若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P．試說(shuō)明：∠MCP＝90°-12∠（3）在（2）的條件下，將△MCB以直線BC為對(duì)稱(chēng)軸翻折可得到△NBC，∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q（如圖2），若∠A＝60°，試求出∠BQC的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)∠A：∠ABC＝3：4，設(shè)∠A＝3k，∠ABC＝4k，再由三角形外角的性質(zhì)求出k的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠M＝∠MCD﹣∠MBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC．再由MC、MB分別平分∠ACD、∠ABC得出∠MCD=12∠ACD，∠MBC=12∠ABC，故∠M=12（∠ACD﹣∠ABC）=1（3）根據(jù)BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知∠QBC=12∠CBN，∠QCB=12∠BCN，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，∠Q＝180°-12（∠CBN+∠BCN）=12（180°﹣∠N）＝90°+12∠N．由（2）知：∠M【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，∵∠A：∠ABC＝3：4∴可設(shè)∠A＝3k，∠ABC＝4k又∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝140°∴3k+4k＝140°，解得：k＝20°∴∠A＝60°；（2）如圖1，∵∠MCD是△MBC的外角，∴∠M＝∠MCD﹣∠MBC．同理可得：∠A＝∠ACD﹣∠ABC．∵M(jìn)C、MB分別平分∠ACD、∠ABC∴∠MCD=12∠ACD∴∠M=1∵CP⊥BM，∴∠MCP=90°-∠M=90°-1（3）如圖2，∵BQ平分∠NBC、CQ平分∠NCB，∴∠QBC=12∠CBN∴∠Q=180°-1由（2）知：∠M=1又由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知：∠M＝∠N．∴∠Q=90°+1∵∠A＝60°，∴∠BQC＝105°．14．（2021秋?仁懷市期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，連接AB．（1）如圖1，已知AC，BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，①點(diǎn)A，B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大?。谌鐖D2，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，記作點(diǎn)C'，則∠ABO＝30°；如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，記作點(diǎn)C″，則∠ABO＝60°．（2）如圖4，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長(zhǎng)線交于E，F(xiàn)，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的32倍，求∠ABO【思路點(diǎn)撥】（1）由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠PAB+∠ABM＝270°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=12∠PAB，∠ABC=1（2）由于將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分線的定義得到∠PAC＝∠CAB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；根據(jù)將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到結(jié)論；（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，進(jìn)而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF＝90°，在△【解題過(guò)程】解：（1）∠ACB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠ABM＝270°，∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，∴∠BAC＝∠PAB，∠ABC=12∠∴∠BAC+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）＝∴∠ACB＝45°；（2）∵將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，∴∠CAB＝∠BAQ，∵AC平分∠PAB，∴∠PAC＝∠CAB，∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∵將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，∴∠ABC＝∠ABN，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠MBC，∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，∴∠ABO＝60°，故答案為：30，60；（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=1∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO=12（∠BOQ﹣∠BAO）=1∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAF＝90°．在△AEF中，∵有一個(gè)角是另一個(gè)角的32①∠EAF=32∠F，∠E＝30°，∠ABO＝②∠F=32∠E，∠E＝36°，∠ABO＝③∠EAF=32∠E，∠F＝60°，∠ABO＝④∠E=32∠F，∠E＝54°，∠ABO＝∴∠ABO為60°或72°．15．（2021春?鎮(zhèn)江期中）將△ABC紙片的一角∠CAB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P的位置，折痕為DE．（1）如圖1，點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)的點(diǎn)P的位置．①若PE∥AC，那么PD與AB有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖2，∠1、∠2與∠A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；③連接CP、BP，已知CP、BP恰好分別平分∠ACB、∠ABC（如圖3），∠1、∠2與∠CPB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖4，點(diǎn)A落在△ABC外的點(diǎn)P的位置連接CP、BP，如果CP、BP恰好分別平分△ABC的兩個(gè)外角∠MCB，∠NBC，那么∠1、∠2與∠CPB之間的數(shù)量關(guān)系是90°=14（∠1+∠2）＝∠CPB【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠PEB＝∠P，即可解決問(wèn)題；②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；③根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)和角平分線定義即可解決問(wèn)題．【解題過(guò)程】解：（1）①如圖1，PD∥AB，理由如下：∵PE∥AC，∴∠PEB＝∠A，由翻折可知：∠A＝∠P，∴∠PEB＝∠P，∴PD∥AB；②如圖2，∠1+∠2＝2∠A，理由如下：由翻折可知：∠ADP＝2∠ADE，∠AEP＝2∠AED，∴∠1＝180°﹣2∠ADE，∠2＝180°﹣2∠AED，∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED＝2（∠A+∠ADE+∠AED）﹣2∠ADE﹣2∠AED＝2∠A；∴∠1+∠2＝2∠A，③14（∠1+∠2）+90°＝∠CPB如圖3，∵CP、BP恰好分別平分∠ACB、∠ABC，∴∠PCB=12∠ACB，∠CBP∵∠PCB+∠CPB+∠CBP＝180°，∴12∠ACB+12∠ABC+∠CPB∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴12∠A+12∠ACB+12由②可知：∠1+∠2＝2∠A，∴12∠A=14∴∠CPB＝90°-14（∠1+∠2）＝∴∠CPB-14（∠1+∠2）＝（2）14（∠1+∠2）+90°＝∠CPB如圖4，CP、BP平分△ABC的兩個(gè)外角∠MCB，∠NBC，∴∠PCB=12∠MCB，∠CBP∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，2∠PCB+∠ACB＝180°，2∠PBC+∠ABC＝180°，2∠PCB+∠ACB+2∠PBC+∠ABC＝360°，∵∠PCB+∠CPB+∠CBP＝180°，2∠PCB+2∠CPB+2∠CBP＝360°，∴2∠CPB＝∠ABC+∠ACB°＝180°﹣∠A，∴∠A+2∠CPB＝180°，由②可知：∠1+∠2＝2∠A，∴12（∠1+∠2）+2∠CPB＝180°∴90°-14（∠1+∠2）＝∠故答案為：90°-14（∠1+∠2）＝∠16．（2021春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，∠ABD＝90°．將△BCD沿BD對(duì)折得到△BED，BE交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，若∠A＝40°，∠C＝30°，求∠AFB的度數(shù)；（2）如圖②，若∠1＝∠2，請(qǐng)說(shuō)明∠4＝4∠3；（3）若∠A＝40°，將△BED繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△BED為△BD1E1．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線D1E1分別與直線AB、直線AC交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M、點(diǎn)N，使∠AMN與∠ANM相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用直角三角形的性質(zhì)求得∠ADB＝50°，再利用三角形的外角性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求得∠EBD＝∠CBD＝20°，最后利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；（2）利用三角形的外角性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求得∠2+∠3＝90°，∠2＝2∠3+∠C，再在△FED中利用三角形內(nèi)角和定理即可計(jì)算證明∠4＝4∠3；（3）分當(dāng)∠AMN＝∠ANM＝20°和∠AMN＝∠ANM＝70°時(shí)兩種情況討論，分別畫(huà)出圖形，利用折疊和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解題過(guò)程】解：（1）∠ABD＝90°，∠A＝40°，∴∠ADB＝50°，由折疊的性質(zhì)得∠EBD＝∠CBD，∵∠ADB＝∠CBD+∠C，∠C＝30°，∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°，∴∠AFB＝∠FBC+∠C＝2∠CBD+∠C＝70°；（2）∵∠ABD＝90°，∠1＝∠2，∠EBD＝∠CBD＝∠3，∴∠1+∠EBD＝90°，即∠2+∠3＝90°，∵∠2＝∠FBC+∠C＝2∠3+∠C，∴90°﹣∠3＝2∠3+∠C，即∠C＝90°﹣3∠3，由折疊的性質(zhì)得∠E＝∠C，在△∠FED中，∠EFD＝∠2＝2∠3+∠C＝2∠3+90°﹣3∠3＝90°﹣∠3，∴∠4＝180°﹣∠EFD﹣∠E＝180°﹣（90°﹣∠3+90°﹣3∠3）＝4∠3；（3）存在，如圖，當(dāng)∠AMN＝∠ANM時(shí)，∵∠BAC＝40°，則∠AMN＝∠ANM＝20°，∵∠ABD＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ADB＝50°，由折疊和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠EBD＝∠CBD＝∠E1BD1，∠C＝∠E＝∠BE1D1，∵∠ADB＝∠CBD+∠C＝50°，則∠BD1N＝∠E1BD1+∠BE1D1＝50°，∴∠BFD＝∠BD1N+∠ANM＝70°，∴∠D1BD＝180°﹣70°﹣50°＝60°，即旋轉(zhuǎn)角度為60°；如圖，當(dāng)∠AMN＝∠ANM時(shí)，∵∠BAC＝40°，則∠AMN＝∠ANM＝70°，同理，∠BD1N＝50°，∴∠D1MB＝∠AMN＝70°，∴∠D1BM＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠D1BD＝60°+90°＝150°，即旋轉(zhuǎn)角度為150°，綜上，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°或150°．17．（2022春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E是邊BC上兩點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，將△ADC沿AD折疊得到△ADG，DG交AB于點(diǎn)H，將△EFB沿EF折疊得到△EFH．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明∠BAC＝∠EHD；（2）當(dāng)點(diǎn)G落在△ABC外，且HE∥AD，∠GAB：∠CAD＝1：3．①如圖2，請(qǐng)說(shuō)明∠EHD＝4∠GAB；②如圖3，若∠B＝30°，將△EFH繞點(diǎn)H順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜180°），則在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△EFH的其中一邊與△AHG的某一邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可；（2）①由∠GAB：∠CAD＝1：3，可以假設(shè)∠GAB＝x，∠CAD＝∠DAG＝3x，證明∠DHE＝4x即可；②分四種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)FH∥AG時(shí)．如圖3﹣2中，當(dāng)EH∥AG時(shí)．如圖3﹣3中，當(dāng)EF∥AB時(shí)．如圖3﹣4中，當(dāng)EF∥AG時(shí)，分別求解即可．【解題過(guò)程】（1）證明：如圖1中，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠AHD＝∠C，∠B＝∠EHB，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠EHB+∠EHD+∠AHD＝180°，∴∠EHD＝∠BAC；（2）①證明：如圖2中，∵∠GAB：∠CAD＝1：3，∴可以假設(shè)∠GAB＝x，∠CAD＝∠DAG＝3x，∴∠DAH＝∠DAG﹣∠GAB＝2x，∵EH∥AD，∴∠EHB＝∠DAH＝2x，∠EHD＝∠ADH＝∠ADC，∴∠B＝∠EHB＝2x，∵∠ADC＝∠B+∠DAB＝4x，∴∠DHE＝4∠GAB；②解：由題意，∠B＝30°，∴∠B＝∠DAB＝30°，∴∠GAB＝15°，∴∠DAG﹣∠DAC＝45°，∴∠C＝∠∠BAC＝75°，∴∠ADC＝∠ADG＝∠BDG＝60°，∴∠DHB＝90°，如圖3﹣1中，當(dāng)FH∥AG時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠FHB＝∠GAB＝15°．如圖3﹣2中，當(dāng)EH∥AG時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠FHB＝15°+30°＝45°．如圖3﹣3中，當(dāng)EF∥AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠FHB＝90°．如圖3﹣4中，當(dāng)EF∥AG時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠FHB＝90