1第8章《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（第1課時(shí)）1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會(huì)通過(guò)分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.學(xué)習(xí)目標(biāo)由模型的建立過(guò)程可知，參數(shù)a和b刻畫(huà)了變量Y與變量x的線性關(guān)系，因此通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近．探究利用散點(diǎn)圖8.2-1找出一條直線，使各散點(diǎn)在整體上與此直線盡可能接近．環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題兒子身高/cm父親身高/cm圖8.2-2有的同學(xué)可能會(huì)想，可以采用測(cè)量的方法，先畫(huà)出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距，就可得到一條直線，如圖8.2-2所示．兒子身高/cm父親身高/cm圖8.2-3有的同學(xué)可能會(huì)想，可以在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫(huà)直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線，如圖8.2-3所示．兒子身高/cm父親身高/cm圖8.24

還有的同學(xué)會(huì)想，在散點(diǎn)圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距如圖8.2-4所示．同學(xué)們不妨去實(shí)踐一下，看看這些方法是不是真的可行．

上面這些方法雖然有一定的道理，但比較難操作，我們需要另辟蹊徑先進(jìn)一步明確我們面臨的任務(wù)：從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà)“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”．環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念兒子身高/cm父親身高/cm下面利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)求使Q取最小值的a，b．環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念兒子身高/cm父親身高/cm圖8.2-6顯然不一定，因?yàn)檫€有其他影響兒子身高的因素，父親身高不能完全決定兒子身高．不過(guò)，我們可以作出推測(cè)，當(dāng)父親身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右．實(shí)際上，如果把這所學(xué)校父親身高為176cm的所有兒子身高作為一個(gè)子總體，那么177cm是這個(gè)子總體的均值的估計(jì)值．根據(jù)模型，父親身高為多少時(shí)，長(zhǎng)大成人的兒子的平均身高與父親的一樣?你怎么看這個(gè)判斷?英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓(F.Galton,1822—1911）把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢(shì)稱(chēng)為“回歸現(xiàn)象”．后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱(chēng)為回歸分析．求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟：環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱(chēng)為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱(chēng)為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱(chēng)為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱(chēng)為殘差分析．殘差分析：編號(hào)父親身高/cm兒子身高/cm兒子身高預(yù)測(cè)值/cm殘差1174176174.9431.0572170176171.5874.4133173170174.104-4.1044169170170.748-0.7485182185181.6553.3456172176173.2652.7357180178179.977-1.9778172174173.2650.7359168170169.9090.09110166168168.231-0.23111182178181.655-3.65512173172174.104-2.10413164165166.553-1.55314180182179.9772.023父親身高/cm殘差/cm圖8.2-7為了使數(shù)據(jù)更加直觀，用父親身高作為橫坐標(biāo)，殘差作為縱坐標(biāo)，可以畫(huà)出殘差圖，如圖8.2-7所示環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用觀察表8.2-2可以看到，殘差有正有負(fù)，殘差的絕對(duì)值最大是4.413．觀察殘差的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊．說(shuō)明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定，是均值為0、方差為σ2的隨機(jī)變量的觀測(cè)值．可見(jiàn)，通過(guò)觀察殘差圖可以直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè)．

一般地，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，通常需要對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析．借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策．思考觀察圖8.2-8中的四幅殘差圖，你認(rèn)為哪一個(gè)殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定？根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為σ2的隨機(jī)變量的觀測(cè)值．在圖8.2-8中，圖（1）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；圖（2）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分；圖（3）說(shuō)明殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測(cè)時(shí)間變大而變大圖（4）的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱(chēng)軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)．可見(jiàn)，在圖8.2-8中，只有圖（4）滿足一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假設(shè)．1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：我們將

稱(chēng)為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估計(jì)：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)計(jì)算公式為：

環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：第113頁(yè)練習(xí)第2、3題.練習(xí)

第113頁(yè)1．對(duì)一元線性回歸模型參數(shù)a和b的估計(jì)中，有人認(rèn)為：“估計(jì)方法不止一種，根據(jù)不同的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)到直線‘整體接近程度’的定義，可以得到參數(shù)a和b不同的估計(jì)，只要‘整體接近程度’定義合理即可．”你覺(jué)得這個(gè)說(shuō)法對(duì)嗎?3．根據(jù)8.1.1節(jié)表8.1-1中的數(shù)據(jù)，建立人體的脂肪含量關(guān)于年齡的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，畫(huà)出殘差圖，描述殘差圖的特點(diǎn)．3．先畫(huà)人