4.3.2角的比較與運算第四章圖形初步認識4.3角學(xué)習(xí)目標1.

掌握角的大小的比較方法.(重點)2.

理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關(guān)系，能夠用幾何語言進行相關(guān)表述，并能解答相關(guān)問題.(重點、難點)3.

會進行涉及度、分、秒的角度的計算.(重點、難點)有一天學(xué)生張亮和王帥各帶了一把折扇(如圖所示),下面是他們的一段對話:張:我的折扇張開大一些,所以我的折扇的角也大一些.王:我的折扇長一些,所以我的折扇的角也大一些.導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們,你們有辦法幫他們進行判斷嗎?ABCDEF怎樣比較∠ABC和∠DEF的大小?線段長短的比較AB>CDAB<CDAB=CD溫故知新AB=BC+ACBC=AB－ACAC=AB－BC線段的和、差線段中點若點C是線段AB的中點，則AC=BCAC=BC=ABAB=2AC=2BC講授新課角的比較與計算一

類比線段長短的比較，你認為該如何比較兩個角的大??？1.

度量法類比探究2.

疊合法ABO(O')B'(A')ABOABO想一想：你能用圖形和幾何語言說明兩個角的大小關(guān)系嗎？(兩個角分別記作∠AOB，∠A'O'B')(O')B'(A')∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB＞∠A'O'B'(O')(B')(A')圖中有幾個角？它們之間有什么關(guān)系？圖中有3個角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它們的關(guān)系：∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC－∠BOC；類似地，∠AOC－∠AOB=

.觀察與思考∠BOCABOC練一練如圖所示：(1)∠AOC是哪兩個角的和？(2)∠AOB是哪兩個角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，則∠AOC與∠BOD

的大小關(guān)系如何？BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB=∠AOC－∠BOC=∠AOD－∠BOD.∠AOC=∠BOD.例1

如圖，O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度數(shù).解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝179°60′－53°17′

＝126°43′.OCBA典例精析如何計算？可以向180o借1o，化為60′.(2)如圖②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，則∠AOC＝

°．(1)如圖①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，則∠AOB＝

°．

7520ABOCABOC圖①圖②變式訓(xùn)練(3)若∠AOB

＝60°，∠AOC

＝30°，則∠BOC

＝

°．90或30OB

ACC提示：無圖條件下要分情況討論.

如圖，借助一副三角尺可以畫出15°和75°的角，你還能畫出哪些度數(shù)的角？試一試：75°15°例2

把一個周角7等分，每一份是多少度的角(精確到分)？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.有余數(shù)，可以把度的余數(shù)化成分后再除（1）120°－38°41′；

（2）67°31′+48°49′.解：原式=119°60′－38°41′=81°19′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°97′=116°37′.變式訓(xùn)練計算方法總結(jié)：涉及到度、分、秒的角度的加與減，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加、減，分秒相加時逢60要進位，相減時要借1作60.練一練1.20°30′×8；

2.106°6′÷5.解：原式=(106÷5)°+(6÷5)′=21°+1°÷5+(6÷5)′=21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5=21°13′12″解：原式=20°×8+30′×8=160°240′=164°角的平分線二互動探究BAOC

動手做一做：在紙上畫∠AOB，然后將其剪下來，將其沿經(jīng)過頂點的線對折，使邊OA與OB重合.將角展開，折痕上任取一點記作點C.類比線段中點的定義，填空：∠AOC_____∠COB;∠AOB=_____∠AOC.=2∵OC是∠AOB的角平分線，∴∠AOC

＝∠BOC

＝∠AOB，∠AOB

＝2∠BOC

＝2∠AOC.

一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.

應(yīng)用格式：OBAC例3

如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？解：因為OB平分∠AOC，∠AOC=80°，OABCDE所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD

是多少度？

解：因為OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因為OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.OABCDE(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB

是多少度？解：因為∠COD=30°，

OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因為OB平分∠AOC，OABCDE所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.例4

如圖，已知∠AOB=40°，自O(shè)點引射線OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)．OAB解：分以下兩種情況：設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．CD

如圖，OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOB，∴設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．OABCD如圖，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)為4°或100°．方法總結(jié)：涉及到角度的計算時，除常規(guī)的和差倍分計算外，通常還需運用方程思想和分類討論思想解決問題.1.

如圖：OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是()A做一做OABCD2.

如圖，OC是平角∠AOB的角平分線，∠COD=32°，求∠AOD的度數(shù).答案：∠AOD=122°.OABCD當堂練習(xí)1.

如圖，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，則∠BOC=____.2.已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC

的度數(shù)是

.34°13°或63°OABCD3.

如圖，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度數(shù)答案：∠COD=10°.OABCD(1)12°36′56″+45°24′35″；(2)79°45′+61°48′49″；(3)62°24′17″×4；(4)102°43′÷3.4.

計算：答案：(1)58°；(2)141°33′49″；(3)249°37′8″；

(4)34°14′20″.5.如圖，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度數(shù)．OADCB解：設(shè)∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°-x，∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°-x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．6.如圖，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度數(shù)；解：∵∠AOB＝120°，

OD平分∠BOC，

OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)

＝∠AOB＝×120°＝60°.(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度數(shù)．解：∵∠AOB＝120°，

∠BOC＝90°，

∴∠AOC＝120°－90°

＝30°.

∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.課堂小結(jié)角的比較角的平分線度量法疊合法角的運算加與減乘與除角的和差倍分關(guān)系角的計算一、情景引入二、合作探究三、課堂小結(jié)四、課后作業(yè)提出問題知識要點典例精析鞏固訓(xùn)練探究點一角的比較與運算4.3.2角的比較與運算學(xué)習(xí)目標1．在現(xiàn)實情境中，運用類比的方法，學(xué)會比較兩個角的大小，豐富對角的大小關(guān)系的認識，會分析圖中角的和差關(guān)系．通過動手操作，學(xué)會借助三角板拼出不同度數(shù)的角，認識角的平分線及角的等分線，會畫角的平分線．2．進一步培養(yǎng)和提高識圖能力和動手操作的能力，認識類比的數(shù)學(xué)思想方法．問題:你能比較圖中三角形三條邊AB、AC、Bc的長短嗎？ABC一、情景導(dǎo)入首頁你能比較圖中三角形三個角∠A、∠B、∠C的大小嗎？ABC二、合作探究探究點一角的比較與運算首頁2.從“形”出發(fā)，利用線段移動疊合的方法ABAC1.從“數(shù)”出發(fā)，通過度量長度進行數(shù)值大小比較。首頁45°60°AoBDEF度量法所以:∠AOB＜∠DEF讀數(shù)為45讀數(shù)為60如何比較角的大??？首頁ED落在∠ABC的外部，則∠DEF＞∠ABC。把∠DEF移動，使它的頂點E和∠ABC的頂點B重合，一邊EF和BC重合，另一邊ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）比較∠ABC和∠DEF的大小疊合法首頁（）（）（）例如：ED與BA重合，則∠DEF＝∠ABC。把∠DEF移動，使它的頂點E和∠ABC的頂點B重合，一邊EF和BC重合，另一邊ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF比較∠ABC和∠DEF的大小首頁例如：ED落在∠ABC的內(nèi)部，則∠DEF＜∠ABC把∠DEF移動，使它的頂點E和∠ABC的頂點B重合，一邊EF和BC重合，另一邊ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）比較∠ABC和∠DEF的大小首頁1OAB2CBOA1BOOBC2頂點與一邊重合角的和差首頁1OAB2CBOA1BOOBC2

AOC為1和2的和記作AOC=1+2（）

AOC為1和2的差記作AOC=1–2（）頂點與一邊重合角的和差首頁OACB思考：下圖中共有幾個角？

它們有什么關(guān)系？完成下列問題：1、圖中共有＿＿個角，它們分別是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、∠AOB＝＿＿＿＿+＿＿＿＿＿3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿4、∠BOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿3∠AOB∠AOC∠BOC∠AOC∠BOC∠AOB∠BOC∠AOB∠AOC首頁2121BOACO當1=2時，射線OB把AOC分成兩個相等的角，這時OB叫做AOC的平分線，也可以說OB平分AOC首頁定義：一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線（angularbisector）。

知識要點首頁例1按圖1填空：4）∠A0B＋∠BOC＝5）∠A0C＋∠COD＝6）∠B0D－∠COD＝7）∠A0D－＝∠A0BODCBA圖1∠AOC∠AOD∠BOC∠BOD1）∠D0B∠BOC2）∠C0B∠AOC3）∠D0C＋∠COB∠B0D＞＜＝典例精析首頁OCB例2如圖：O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′求∠BOC的度數(shù)解：因為∠AOB是平角∠AOB＝∠AOC+∠BOC所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝126°43′A首頁三、課堂小結(jié)1、比較兩個角大小的方法2、角的和、差、倍、分關(guān)系3、角平分線首頁4.3.2角的比較與運算

ABAC線段的比較方法1.從“數(shù)”出發(fā)，通過度量長度進行數(shù)值大小比較。2.從“形”出發(fā)，利用線段移動疊合的方法45°60°AoBDEF所以:∠AOB＜∠DEF讀數(shù)為45讀數(shù)為60如何比較角的大小？度量法ED落在∠ABC的外部，則∠DEF＞∠ABC。把∠DEF移動，使它的頂點E和∠ABC的頂點B重合，一邊EF和BC重合，另一邊ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）疊合法比較∠ABC和∠DEF的大小ED落在∠ABC的內(nèi)部，則∠DEF＜∠ABC把∠DEF移動，使它的頂點E和∠ABC的頂點B重合，一邊EF和BC重合，另一邊ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）例：比較∠ABC和∠DEF的大小1OAB2CBOA1BOOBC2頂點與一邊重合角的和差1OAB2CBOA1BOOBC2

AOC為1和2的和記作AOC=1+2（）

AOC為1和2的差記作AOC=1–2（）頂點與一邊重合角的和差OACB思考：下圖中共有幾個角？它們有什么關(guān)系？完成下列問題：1、圖中共有＿＿個角，它們分別是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、∠AOB＝＿＿＿＿+＿＿＿＿＿3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿4、∠BOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿3∠AOB，∠AOC，∠BOC∠AOC∠BOC∠AOB∠BOC∠AOB∠AOC4）∠A0B＋∠BOC＝5）∠A0C＋∠COD＝6）∠B0D－∠COD＝7）∠A0D－＝∠A0BODCBA圖1∠AOC∠AOD∠BOC∠BOD1）∠D0B∠BOC2）∠C0B∠AOC3）∠DOC＋∠COB∠B0D＞＜＝練習(xí)1：１５°75°借助一副三角尺，大家都能畫出哪些度數(shù)的角？例1如圖：O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′求∠BOC的度數(shù)解：∵∠AOB是平角，