PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets第一頁1第二頁，共62頁。在無風(fēng)險(xiǎn)和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間配置

Capitalallocationbetweenrisk-freeandriskyassets無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)risk-freeassets,指無違約風(fēng)險(xiǎn).不排除利率風(fēng)險(xiǎn)，但由于持有期短，這些風(fēng)險(xiǎn)都可以忽略不計(jì)。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：股票，長期債券，不動(dòng)產(chǎn)等第二頁2第三頁，共62頁。

無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)F的收益率為rf=7%風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)P的期望收益為E(rP)=15%,標(biāo)準(zhǔn)差為

P=22%.P的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為E(rP)-rf=15%-7%=8%令資產(chǎn)組合C的收益率為rC有：組合C的期望收益為：組合C的風(fēng)險(xiǎn)：Riskyposition

c=y

P=22y第三頁3第四頁，共62頁。

根據(jù)σC=yσp，有y=

c/

p，將y代入組合的期望有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=7+(8/22)σc

從式中知，組合的期望收益作為組合風(fēng)險(xiǎn)的函數(shù)是一條直線，其截距為rf，斜率S=[E(rp)-rf]

/

p

。第四頁4第五頁，共62頁。可行集

PossibleCombinationsE(r)E(rp)=15%rf=7%22%0PF

cE(rc)CCAL8%第五頁5第六頁，共62頁。

由F點(diǎn)引出，穿過P點(diǎn)的直線就是資本配置線（Capitalallocationline，CAL）,它表示所有可行的風(fēng)險(xiǎn)-收益組合。它的斜率為S＝表示對資產(chǎn)組合，單位風(fēng)險(xiǎn)增加對應(yīng)的預(yù)期收益增加。因此，該斜率又稱為報(bào)酬－波動(dòng)性比率，Reward-to-variabilityratio。一般認(rèn)為這個(gè)值較大為好.因?yàn)樗酱螅Y本配置線就越陡，即增加一單位風(fēng)險(xiǎn)可以增加更多的期望收益。第六頁6第七頁，共62頁。

如果投資者能以無風(fēng)險(xiǎn)利率rf＝7％借入，那么P點(diǎn)右邊的資產(chǎn)組合也是可行的。假定投資預(yù)算為30,000元,另外借入12,000元，投入到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中,建立風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的杠桿頭寸(Leveragedposition),y=42,000/30,000=1.41-y=1-1.4=-0.4

反映出無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是空頭(Shortposition),

E(rc)=7%+1.4×8%=18.2%處于P點(diǎn)右邊的點(diǎn)是什么？第七頁7第八頁，共62頁。

非政府部門不能以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金。借款者的違約風(fēng)險(xiǎn)使得貸款者要求更高的利率。因此非政府投資者的借款成本高于7％.

假設(shè)為9％，則在借入資金的條件下，酬報(bào)與波動(dòng)性比率，也就是CAL的斜率將為（15％－9％）/22％＝6/22=0.27。因此，CAL在P點(diǎn)處被“彎曲”。第八頁8第九頁，共62頁。CALwithHigherBorrowingRateE(r)

9%7%)S=.36)S=.27P

p=22%第九頁9第十頁，共62頁。

面對CAL，也即所有可行的風(fēng)險(xiǎn)-收益組合，投資者需要從中選擇一個(gè)最優(yōu)組合，這個(gè)選擇需要對風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行權(quán)衡trade-off。不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好類型，選擇的組合就會(huì)不同。一般來說，投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，越將選擇風(fēng)險(xiǎn)少的資產(chǎn)組合，持有較多的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。第十頁10第十一頁，共62頁。

投資者將通過選擇風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置比例y來使效用最大化。從一般意義上解決效用最大化問題，我們使用如下形式：第十一頁11第十二頁，共62頁。

最大化問題的解決是利用一階導(dǎo)數(shù)為零。最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸與風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比。第十二頁12第十三頁，共62頁。

如例中：具有風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)A＝4的投資者的最優(yōu)解：該投資者將以投資預(yù)算的41％投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，59％投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。第十三頁13第十四頁，共62頁。資產(chǎn)組合選擇的幾何表達(dá)E(r)

7PCAL

p=22U＝9.4U＝8.65U＝79.0210.28第十四頁14第十五頁，共62頁。CALwithRiskPreferencesE(r)

7PLenderBorrower

p=22

ThelenderhasalargerAwhencomparedtotheborrowerA1A2第十五頁15第十六頁，共62頁。E(r)

9%7%)S=.36)S=.27P

p=22%

CALwithHigherBorrowingRate第十六頁16第十七頁，共62頁。小結(jié)1、把資產(chǎn)組合向無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)調(diào)整是降低風(fēng)險(xiǎn)的最簡單的方式，其他方法還包括分散化。2、資產(chǎn)組合的特征可以由S來表示，S也是CAL的斜率。如果借入利率高于貸出利率，CAL在P點(diǎn)被“彎曲”3、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)頭寸y*與風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比。用圖形表示，這個(gè)資產(chǎn)組合處于無差異曲線與CAL的切點(diǎn)。第十七頁17第十八頁，共62頁。

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets第十八頁18第十九頁，共62頁。兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合選擇考慮投資于兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：債券D和股票E。投資于股票的份額為WE，剩下部分WD

＝1-WE

投資于債券。第十九頁19第二十頁，共62頁。

假定債券的預(yù)期收益8％，標(biāo)準(zhǔn)差為12％；股票的預(yù)期收益為13％，標(biāo)準(zhǔn)差為20％。第二十頁20第二十一頁，共62頁。WEE(r)08％債券股票13％12-0.5WD-1011.5第二十一頁21第二十二頁，共62頁。WE標(biāo)準(zhǔn)差012％11.5-0.50.5

第二十二頁22第二十三頁，共62頁。在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的可行集均值標(biāo)準(zhǔn)差ρ=1ρ=0ρ=-1第二十三頁23第二十四頁，共62頁。第二十四頁24第二十五頁，共62頁。命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計(jì)算公式可得第二十五頁25第二十六頁，共62頁。兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當(dāng)權(quán)重w1從1減少到0時(shí)可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風(fēng)險(xiǎn)σp第二十六頁26第二十七頁，共62頁。兩種資產(chǎn)完全負(fù)相關(guān)，即ρ12=-1，則有

第二十七頁27第二十八頁，共62頁。命題2：完全負(fù)相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號(hào)。

證明：第二十八頁28第二十九頁，共62頁。第二十九頁29第三十頁，共62頁。兩種證券完全負(fù)相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp第三十頁30第三十一頁，共62頁。兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的可行集第三十一頁31第三十二頁，共62頁。在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的可行集

Erpσpρ=1ρ=0ρ=-1第三十二頁32第三十三頁，共62頁。3種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合二維表示當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量增加時(shí)，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負(fù)）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設(shè)兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp123第三十三頁33第三十四頁，共62頁。投資學(xué)第6章34收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp不可能的可行集AB第三十四頁34第三十五頁，共62頁。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風(fēng)險(xiǎn)和收益兩個(gè)角度來評(píng)價(jià)，會(huì)明顯地優(yōu)于另外一些投資組合，其特點(diǎn)是在同種風(fēng)險(xiǎn)水平下，提供最大預(yù)期收益率；在同種收益水平下，提供最小風(fēng)險(xiǎn)。我們把滿足這兩個(gè)條件（均方準(zhǔn)則）的資產(chǎn)組合，稱之為有效資產(chǎn)組合；由所有有效資產(chǎn)組合構(gòu)成的集合，稱之為有效集或有效邊界。投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對所有不在有效集內(nèi)的其它投資組合則無須考慮。第三十五頁35第三十六頁，共62頁。整個(gè)可行集中，G點(diǎn)為最左邊的點(diǎn)。從G點(diǎn)沿可行集右上方的邊界直到整個(gè)可行集的最高點(diǎn)S，這一邊界線GS即是有效集。例如：Ｐ點(diǎn)與Ａ點(diǎn)比較起來，在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下，可以提供更大的預(yù)期收益率；而與Ｂ點(diǎn)比較起來，在相同的收益水平下，Ｐ點(diǎn)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)又是最小的。第三十六頁36第三十七頁，共62頁。最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合1.由于一般投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以排除。2.雖然投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個(gè)資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度。3.度量投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的無差異曲線與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。第三十七頁37第三十八頁，共62頁。PortfolioSelection&RiskAversionE(r)EfficientfrontierofriskyassetsMorerisk-averseinvestorU’’’U’’U’St.DevLessrisk-averseinvestor第三十八頁38第三十九頁，共62頁。

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets第三十九頁39第四十頁，共62頁。一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)組合構(gòu)成的新組合我們已經(jīng)討論了由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的組合，但未討論資產(chǎn)中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形。將無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)加入已經(jīng)構(gòu)成的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合（風(fēng)險(xiǎn)基金）中，形成了一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)+風(fēng)險(xiǎn)基金的新組合，則可以證明：新組合的有效前沿將是一條直線第四十頁40第四十一頁，共62頁。

E(r)FrfP

St.Dev不可行非有效風(fēng)險(xiǎn)組合的有效邊界第四十一頁41第四十二頁，共62頁。加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后的最優(yōu)資產(chǎn)組合E(r)FrfAPQBCALSt.Dev第四十二頁42第四十三頁，共62頁。

期望收益標(biāo)準(zhǔn)差股票13％20％債券8％12％相關(guān)系數(shù)：0.3無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率：5％首先找出權(quán)重w1和w2，使CAL的斜率S最大第四十三頁43第四十四頁，共62頁。

約束條件：求最大化問題：第四十四頁44第四十五頁，共62頁。

代入數(shù)值得：第四十五頁45第四十六頁，共62頁。

已經(jīng)構(gòu)造了一個(gè)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P，在這個(gè)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合與國庫券產(chǎn)生的CAL下，我們根據(jù)投資者的類型A來計(jì)算投資于完整資產(chǎn)組合的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)頭寸。一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡相關(guān)系數(shù)A＝4的投資者，他的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)頭寸為：第四十六頁46第四十七頁，共62頁。

因此，這個(gè)投資者將74.39%的預(yù)算投資于風(fēng)險(xiǎn)組合P，25.61%的預(yù)算投資于國庫券。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P中包括40％的債券，債券的總比例為yW2=0.4×0.7439=29.76%;同樣，股票的權(quán)重yW1=0.6×0.7439=44.63%.E(rc)=0.2561×0.05+0.7439×0.11=9.46%=0.7439×14.2%=10.56%第四十七頁47第四十八頁，共62頁。PortfolioSelectionE(r)CALP5％風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界C無差異曲線

11％14.2％9.46%10.56%F第四十八頁48第四十九頁，共62頁。E(r)FAPQCALSt.Dev具有無風(fēng)險(xiǎn)收益率借出但無借入情況下的資產(chǎn)組合選擇更多風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者更少風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者第四十九頁49第五十頁，共62頁。E(r)FAPQBCALSt.Dev高風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者中風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者低風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者利率不相等條件下的CAL：三段曲線。例如，經(jīng)紀(jì)人索要的保證金貸款利率就高于國庫券利率。第五十頁50第五十一頁，共62頁。

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets第五十一頁51第五十二頁，共62頁。分離定理分離定理（Separationtheorem）：投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度與其持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的最優(yōu)構(gòu)成是無關(guān)的。無論投資者的偏好如何，P點(diǎn)就是最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。形象地說，F(xiàn)P直線將無差異曲線與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效邊界分離了。風(fēng)險(xiǎn)厭惡較低的投資者可以多投資風(fēng)險(xiǎn)基金M，少投資無風(fēng)險(xiǎn)證券F，反之亦反。第五十二頁52第五十三頁，共62頁。分離定理對組合選擇的啟示由分離定理，資產(chǎn)組合選擇問題可以分為兩個(gè)獨(dú)立的工作，即資產(chǎn)選擇決策（Assetallocationdecision）和資本配置決策（Capitalallocationdecision）。資產(chǎn)選擇決策：在眾多的風(fēng)險(xiǎn)證券中選擇適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)組合。資本配置決策：考慮資金在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)組合之間的分配。由分離定理，基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)組合。第五十三頁53第五十四頁，共62頁。資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點(diǎn)首次對風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行精確的描述，解決對風(fēng)險(xiǎn)的衡量問題，使投資學(xué)從藝術(shù)邁向科學(xué)。分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個(gè)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的重點(diǎn)是相對于組合的風(fēng)險(xiǎn)。從單個(gè)證券的分析，轉(zhuǎn)向組合的分析第五十四頁54第五十五頁，共62頁。資產(chǎn)組合理論的缺點(diǎn)當(dāng)證券的數(shù)量較多時(shí)，計(jì)算量非常大，使模型應(yīng)用受到限制。解的不穩(wěn)定性。重新配置的高成本。因此，馬克維茨及其學(xué)生夏普尋求改進(jìn)的方法，這就是CAPM。第五十五頁55第五十六頁，共62頁。

假定需要分析n種股票，則按照均值－方差模型的要求需要估計(jì)：n個(gè)期望收益n個(gè)方差

(n2-n)/2個(gè)協(xié)方差若n＝50，總共為1325個(gè)若n＝100，總共為5150個(gè)若n＝300