專題34正態(tài)分布

一、單選題

1.（2020?山西應(yīng)縣一中高二期中（理））如果隨機(jī)變量X口N（4,l）,則P（XW2）等于（）（注:

P(〃-2b<XV4+2b)=0.9544)

A.0.210B.0.0228C.0.0456D.0.0215

2.（2020.宜昌天問教育集團(tuán)高二期末）設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（l,4），若尸（自＜2）=0.8,則

P（OvJvl）的值為（）

A.0.2B.0.3C.0.4D,0.6

3.（2020.遼寧沈陽高二期中）已知兩個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)0（X）(xwR,i=l,2)的圖象

如圖所示，則（）

B.內(nèi)＞氏，5〉/

C.D.

4.（2020?通榆縣第一中學(xué)校高二期末（理））若隨機(jī)變量X?N（3,b?）且尸（X?5）=0.2,則

P(1<X<5)=()

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

5.（2020?湖北那陽高二月考）設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（4,3）,若尸偌＜2a-3）=尸偌＞a+2）,

則4的值為（）

75

A.—B.-C.5D.3

33

6.（2020?福建高三其他（理））已知隨機(jī)變量X~N（2,l）,其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若在邊長(zhǎng)為1

的正方形QWC內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自黑色區(qū)域的概率為（）

附：若隨機(jī)變量則尸>Q6826,P(//-2cr<^<//+2<r)=0.9544.

A.0.1359B.0.6587C.0.7282D.0.8641

7.（2020?嘉祥縣第一中學(xué)高三其他）如圖是當(dāng)。取三個(gè)不同值?，6?,%時(shí)的三種正態(tài)曲線，那么巧，

%,%的大小關(guān)系是（）

A.er,>cr3>cr2>0B.0<cr,<<T3<cr2

C.<T|><T,>>0D.0<CT,<<T2<<T3

8.（2020?全國(guó)高三其他（理））某校高二學(xué)生在一次學(xué)業(yè)水平合格考試的數(shù)學(xué)模擬測(cè)試中的成績(jī)服從正態(tài)分

布N（74,7?）,若該校高二學(xué)生有1000人參加這次測(cè)試，則估計(jì)其中成績(jī)少于60分的人數(shù)約為（）

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,則尸（〃一b<Z<M+b）=0.6826,

P（〃-2CF<Z<4+2。）=0.9544,P（//-3CF<Z<//+3cr）=0.9974.

A.23B.28C.68D.95

二、多選題

9.（2020?江蘇常州高二期末）已知在某市的一次學(xué)情檢測(cè)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布M105,100）,

其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，下列說法正確的是（）

附：隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布M〃，a2），則P（〃—b<J<〃+b）=0.6826,P（〃—2b<J<〃+2cr）

=0.9544,P（〃-3b<J<〃+3cr）=0.9974.

A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的期望為105

B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為100

C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)及格率超過0.99

D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

10.（2020?江蘇葉胎馬壩高中高二期中）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)

1Ci"

Mx）=e2/（xeR,i=l,2,3）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

，由o

A.O'j-0,9B.Ai>外C.必=〃2D.cr,<<T3

11.（2020?山東壽光現(xiàn)代中學(xué)高二期中）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：依）分別服從正態(tài)分布N（外,百9、

N（〃2,8）,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.乙類水果的平均質(zhì)量〃2=0-8kg

B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小0.8

D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)％=199

12.（2020.遼寧省本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)高二期末）若隨機(jī)變量小口N（0,l）,0（x）=P（JWx）,其中

%>0,下列等式成立有（）

A.0（-x）=l-0（x）B.0（2x）=2^（x）

C.P（圄<x）=2°（x）-1D.P（尚>x）=2-°（x）

三、填空題

1（X~~M）2

13.（2020?蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）正態(tài)總體的概率密度函數(shù)=的圖象關(guān)

于直線對(duì)稱.

14.（2020?營(yíng)口市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）設(shè)隨機(jī)變量XDN（4,32）,且P（X<0）=P（X>。一1）,則

實(shí)數(shù)”的值為.

15.（2020?全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理））某個(gè)部件由兩個(gè)電子元件按如圖

-----1元件1|——

-----1元件2|——

方式連接而成，元件1或元件2正常工作，則部件正常工作，設(shè)兩個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服

從正態(tài)分布Ml000,50,且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立.那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概

率為.

16.（2020?新疆高三月考（理））根據(jù)公共衛(wèi)生傳染病分析中心的研究，傳染病爆發(fā)疫情期間，如果不采取

任何措施，則會(huì)出現(xiàn)感染者基數(shù)猛增，重癥擠兌，醫(yī)療資源負(fù)荷不堪承受的后果.如果采取公共衛(wèi)生強(qiáng)制

措施，則會(huì)導(dǎo)致峰值下降，峰期后移.如圖，設(shè)不采取措施、采取措施情況下分別服從正態(tài)分布N（35,2）,

%（注：正態(tài)分布的峰值計(jì)算公式為一/：）

N（70,8）,則峰期后移了天，峰值下降了

727ro

九每10000人的占用急救床位

35

首

30例

患

25

者

20出

現(xiàn)

15后

的

10時(shí)

間

0

1月"日2月”日3月20日4月20日5月2。日

四、解答題

17.（2019?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）生產(chǎn)工藝工程中產(chǎn)品的尺寸誤差X（單位:mm）?N（O』.52）,如果產(chǎn)品的尺寸與規(guī)

定的尺寸偏差的絕對(duì)值不超過L5mm為合格品，求：

（1）X的密度函數(shù)；

（2）生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率.

18.（2020?山西迎澤太原五中高三二模（理））《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)

的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績(jī)由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目

構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A、B+、B、。+、C、。+、D、E共8個(gè)等

級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、

3%.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至￡等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)

換到［91,100］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到

考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，

其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布N(6(),169).

(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(47,86)的人數(shù)；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間［61,80］的人數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(附：若隨機(jī)變量則P(〃—b＜A＜〃+b)=0.682,P(〃—2b＜《＜〃+2b)=0.954,

尸(〃一3cr＜。＜〃+3cr)=0.997)

19.(2020?陜西西安。高三月考(理))為調(diào)查某校學(xué)生每周體育鍛煉落實(shí)的情況，采用分層抽樣的方法，

收集100位學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：〃).根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，制作出學(xué)生每周平均鍛煉

時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示）.

（I）估計(jì)這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)工和樣本方差52（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表）;

（II）由頻率分布直方圖知，該校學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間Z近似服從正態(tài)分布N（〃,b2）,其中〃近似為樣

本平均數(shù)元，/近似為樣本方差52

（i）求P（0.8<Z<8.3）；

（ii）若該校共有5000名學(xué)生，記每周平均鍛煉時(shí)間在區(qū)間（0.8,8.3）的人數(shù)為試求E?）.

附：,6.16>2.5,若Z~N(〃,cr2),P(〃—b<Z<〃+cr)=0.6827，

-2cr<Z<//+2cr)=0.9545.

20.（2020?湖北黃石港黃石二中高二月考（理））某物流公司專營(yíng)從甲地到乙地的貨運(yùn)業(yè)務(wù)（貨物全部用統(tǒng)

一規(guī)格的包裝箱包裝），現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了最近100天內(nèi)每天可配送的貨物量，按照可配送貨物量T（單位：箱）分

成了以下幾組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并繪制了如圖所示的頻率

分布直方圖(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，將頻率視為概率).

(1)該物流公司負(fù)責(zé)人決定用分層抽樣的方法從前3組中隨機(jī)抽出11天的數(shù)據(jù)來分析可配送貨物量少的原

因，并從這11天的數(shù)據(jù)中再抽出3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行財(cái)務(wù)分析，求這3天的數(shù)據(jù)中至少有2天的數(shù)據(jù)來自[50,60)

這一組的概率.

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該物流公司每日的可配送貨物量T(單位:箱)服從正態(tài)分布N(〃,14.42),

其中〃近似為樣本平均數(shù).

(i)試?yán)迷撜龖B(tài)分布，估計(jì)該物流公司2000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間(54.1,97.3)內(nèi)的天數(shù)(結(jié)果保留

整數(shù)).

(ii)該物流公司負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制定了兩種不同的工作獎(jiǎng)勵(lì)方案.

方案一：直接發(fā)放獎(jiǎng)金，按每日的可配送貨物量劃分為以下三級(jí)：T<60時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)50元；60<T<80,

獎(jiǎng)勵(lì)80元；T280時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)120元.

方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中每日的可配送貨物量不低于〃時(shí)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每日的可配送

貨物量低于〃時(shí)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為

獎(jiǎng)金50100

4]_

概率

5

小張恰好為該公司裝卸貨物的一名員工，試從數(shù)學(xué)期望的角度分析，小張選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案對(duì)他更有利？

附：若Z~N(〃,b2),則P(〃-cr<Z<〃+cr)a0.6827,-2cr<Z</z+2cr)?0.9545.

21.（2020?河北易縣中學(xué)高三其他（理））某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)"個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨

機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查.根據(jù)多年

的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N（10,0.12）（單位：微米〃加），且相互獨(dú)立.若零件的

長(zhǎng)度d滿足9.7〃加<4<10.3〃加，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格.

（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為X，求P（X22）及X的數(shù)學(xué)期望EX；

（2）小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已

知檢查一個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來的損失為260元.假設(shè)〃充分大，為了使

損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由.

附：若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,則

—3cr<J<〃+3。）=0.9987,0.998750=0.9370,0.998749x0.0013=0.0012.

22.（2020?定西市第一中學(xué)高三其他（理））在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”過程中，銀川市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民

對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機(jī)抽樣，得到參

加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)213212524114

（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z~Na,198）,〃近似為這100人得分的平均值（同

一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的李強(qiáng)總值作代表），

①求幺的值；

②利用該正態(tài)分布，求P（ZN88.5）；

（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

①得分不低于〃的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：

贈(zèng)送話費(fèi)的金額（單元：元）2050

2J_

概率

44

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列與數(shù)

學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：V198?14.若X□"（〃,4），則+=0.6826,

P(〃-2b)<X<//+2o-=0.9544,2優(yōu)―3CT<X<〃+3b)=0.9974.

專題34正態(tài)分布

一、單選題

1.（2020?山西應(yīng)縣一中高二期中（理））如果隨機(jī)變量X[]則尸（XW2）等于（）（注：

心一2cr<XW〃+2b）=0.9544）

A.0.210B.0.0228C.0.0456D.0.0215

【答案】B

[解析]P（X鼓曲=-[l-P（2<X6）]=-[1-P（4-2<X?4+2）]=-x（1-0.9544）=0.0228.

222

故選：B.

2.（2020.宜昌天間教育集團(tuán)高二期末）設(shè)隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布NQt/）,若尸（《<2）=0.8,則

P（O<J<1）的值為（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【答案】B

【解析】隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布所以，P（J>l）=P（J<l）=0.5,

/.P（1<』<2）=<2）->1）=0.8-0.5=0.3,

P（0<€<l）=P（l<g<2）=0.3,故選B.

（下叢f

3.（2020?遼寧沈陽高二期中）已知兩個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)已（X）.牙（xcR,i=l,2）的圖象

A.氏，6</B.4>〃2，0>。2

C.以\<氏e\>/D.〃|>必'，>。2

【答案】A

【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x=〃對(duì)稱，且〃越大圖象越靠近右邊，第一個(gè)曲線的均值比第二個(gè)圖象的均值小，又有b

越小圖象越瘦高，得到正確的結(jié)果.

詳解：

正態(tài)曲線是關(guān)于％=4對(duì)稱，且在處取得峰值7石，由圖易得從<外，故例（％）的圖象更"瘦高”，

02（X）的圖象更“矮胖”，則<T,<a2.故選A.

4.（2020?通榆縣第一中學(xué)校高二期末（理））若隨機(jī)變量X?N（3,b?）且P（XN5）=0.2,則

P（1<X<5）=（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.（）.3

【答案】A

【解析】

???隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,b）,

該正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=3,

P（X>5）=0.2,

.-.P（l<X<5）=l-2P（X>5）=l-0.4=0.6.

故選：A.

5.（2020?湖北耶陽高二月考）設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（4,3）,若P（J<2a—3）=P（J>a+2）,

則。的值為（）

75

A.—B.-C.5D.3

33

【答案】D

【解析】

??Y服從正態(tài)分布N（4,3）,P《<2a-3）=P《>a+2）,

***2。-3+Q+2=4X2,解得a=3.

故選：D.

6.（2020?福建高三其他（理））已知隨機(jī)變量X?N（2,l）,其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若在邊長(zhǎng)為1

的正方形QWC內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自黑色區(qū)域的概率為（）

附：若隨機(jī)變量則）=（16826,P(/7-2bW44"+2b)=0.9544.

A.0.1359B.0.6587C.0.7282D.0.8641

【答案】D

【解析】

因?yàn)閄~N(2,1)

由題意場(chǎng)影=I-P(o<x”1)=1-g(0.9544-0.6826)=0.8641,

故選：D

7.（2020?嘉祥縣第一中學(xué)高三其他）如圖是當(dāng)。取三個(gè)不同值?，%,%時(shí)的三種正態(tài)曲線，那么?,

的大小關(guān)系是（）

A.（T|>0,3><r2>0B.

C.D.0<b]

【答案】D

【解析】

由圖可知，三種正態(tài)曲線的〃都等于0

山4一定時(shí)，b越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中，b越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布

越分散，則0<5<%<。3

故選：D

8.(2020全國(guó)高三其他(理))某校高二學(xué)生在一次學(xué)業(yè)水平合格考試的數(shù)學(xué)模擬測(cè)試中的成績(jī)服從正態(tài)分

布N(74,72),若該校高二學(xué)生有1000人參加這次測(cè)試，則估計(jì)其中成績(jī)少于60分的人數(shù)約為()

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布則P("-b<Z<〃+cr)=0.6826,

P(//-2cr<Z</z+2cr)=0.9544,P(//-3cr<Z<//+3cr)=0.9974.

A.23B.28C.68D.95

【答案】A

【解析】

由尸(//-2cr<Z<〃+2。)=0.9544,得

P(74-14<X<74+14)=P(60<X<88)=0.9544,

所以P(X<60)=尸(X288)=g[l—尸(60<X<88)]=0.0228,

從而成績(jī)少于60分的人數(shù)約為1000x0.0228=22.8=23(人)，

故選：A.

二、多選題

9.(2020?江蘇常州高二期末)已知在某市的一次學(xué)情檢測(cè)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(105,100),

其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，下列說法正確的是()

附：隨機(jī)變量g服從正態(tài)分布M〃，(?2),則P(〃-cr<J<〃+b)=0.6826,尸(〃—2b<J<，+2b)

=0.9544,P(〃-3b<J<〃+3cr)=0.9974.

A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的期望為105

B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為100

C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)及格率超過0.99

D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

【答案】AD

【解析】

依題意〃=105,b=10,2cr=20,〃-2b=85.

期望為105,選項(xiàng)A正確；方差為10（）,標(biāo)準(zhǔn)差為10,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

該市85分以上占1——1-0上9％5—44=0.9772,故C錯(cuò)誤;

2

由于^9-0-+-1--2-0=105,根據(jù)對(duì)稱性可判斷選項(xiàng)D正確.

2

故選：AD

10.（2020.江蘇吁胎馬壩高中高二期中）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)

A.<71=%B.從>〃3C.4=必D./<?

【答案】AD

【解析】

根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x=pi對(duì)稱，且N越大圖象越靠近右邊,

所以用<[L2=J13，BC錯(cuò)誤；

又◎越小數(shù)據(jù)越集中，圖象越瘦長(zhǎng)，

所以6=。2<03,4。正確.

故選：AD.

11.（2020?山東壽光現(xiàn)代中學(xué)高二期中）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：依）分別服從正態(tài)分布N（4,b：卜

N（〃2，b；）,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.乙類水果的平均質(zhì)量〃2=0-8kg

B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小0.8

D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)％=199

【答案】AB

【解析】

因?yàn)橛蓤D像可知，甲圖像關(guān)于直線x=0.4對(duì)稱，乙圖像關(guān)于直線x=0.8對(duì)稱，

所以4=0.4,〃2=0-8,故A正確，C錯(cuò)誤，

因?yàn)榧讏D像比乙圖像更“高瘦”，

所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確，

因?yàn)橐覉D像的最大值為1.99,即一^—=1.99,

V27io2

所以b2HL99,故D錯(cuò)誤，

故選：AB.

12.（2020?遼寧省本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)高二期末）若隨機(jī)變量J口N（0,l）,0（x）=P（4Wx）,其中

x>0,下列等式成立有（）

A.=B.0（2x）=%（x）

C.P（|<|<x）=2^（x）-1D.P（閭>x）=2R（x）

【答案】AC

【解析】

???隨機(jī)變量4服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1),

正態(tài)曲線關(guān)于J=0對(duì)稱，

???°(x)=p?,x,x>0),根據(jù)曲線的對(duì)稱性可得：

A.。(一x)=帖>x)=1-0(x),所以該命題正確；

B.0(2X)=°(J42X),20(X)=2℃WX),所以°(2x)=2^(x)錯(cuò)誤;

C.P(l目<x)=P(-x<^<x)=l-20(-x)=1-2[1-0(x)]=20(x)-1,所以該命題正確；

D.P(l。|>x)=尸(4>x或J<-x)=l-0(x)+。(一x)=1-0(x)+1-0(x)=2-20(x),所以該命題錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

1。-“尸

13.(2020.蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高二月考)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)/(幻=一—62,xeR的圖象關(guān)

V2zr

于直線對(duì)稱.

【答案】％=〃

1(-r-/z)2

【解析】由正態(tài)曲線的特征可知正態(tài)總體的概率密度函數(shù)/(x)=刀一e一一丁，xeR的圖象關(guān)于直線

%=〃對(duì)稱.故答案為：x=pi

14.(2020.營(yíng)口市第二高級(jí)中學(xué)高二期末)設(shè)隨機(jī)變量XDN(4,3?),且P(X<0)=P(X>。-1),則

實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】9

【解析】

分析：隨機(jī)變量XDN（4,32）的正態(tài)曲線關(guān)于x=4對(duì)稱，即。與關(guān)于X=4對(duì)稱，解出即可.

詳解：

根據(jù)題意有0+?！?=4x2=。=9

15.（2020?全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理））某個(gè)部件由兩個(gè)電子元件按如圖

-----1元件iI——

-----1元件2|——

方式連接而成，元件1或元件2正常工作，則部件正常工作，設(shè)兩個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服

從正態(tài)分布M1000,502）,且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立.那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概

率為.

3

【答案】一.

4

【解析】解法一：（1）由正態(tài)分布知元件，1,2的平均使用壽命為1000小時(shí)，設(shè)元件1,2的使用壽命超過

1000小時(shí)分別記為事件A,B,顯然P（4）=P（8）=L,所以該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的事件為

2

_一甘10T+1111113

A8+AB+A8，明以其概率-xy+~x-+—x-=T-

匕乙乙乙乙匕I

解法二：兩個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布Ml000,5。2）得兩個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)

I3

的概率均為P=—,則該部件使用壽命超過1000小時(shí)的概率為耳=1—（1—P）2=*.

16.（2020?新疆高三月考（理））根據(jù)公共衛(wèi)生傳染病分析中心的研究，傳染病爆發(fā)疫情期間，如果不采取

任何措施，則會(huì)出現(xiàn)感染者基數(shù)猛增，重癥擠兌，醫(yī)療資源負(fù)荷不堪承受的后果.如果采取公共衛(wèi)生強(qiáng)制

措施，則會(huì)導(dǎo)致峰值下降，峰期后移.如圖，設(shè)不采取措施、采取措施情況下分別服從正態(tài)分布N（35,2）,

N（70,8）,則峰期后移了天，峰值下降了%（注：正態(tài)分布的峰值計(jì)算公式為

八每10000人的占用急救床位

首

例

患

者

出

現(xiàn)

后

的

時(shí)

間

1月？。日2月20日3月20日4月20日5月20日

【答案】3550.

【解析】

（1）由題意可知，峰期后移了70-35=35（天）；

（2）峰值下降了（-」一點(diǎn)-一二一廠」廠=1=50%.

\V2TTx>/2V2^XA/8Jv2^xV22

故答案為:35；50

四、解答題

17.（2019?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）生產(chǎn)工藝工程中產(chǎn)品的尺寸誤差X（單位:mm）~N（0,1.52）,如果產(chǎn)品的尺寸與規(guī)

定的尺寸偏差的絕對(duì)值不超過1.5mm為合格品，求：

（DX的密度函數(shù)；

（2）生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率.

I

【答案】（1）（p（x}=—45；（2）0.494.

'7L5瘍

【解析】

（1）由題意知X~N（0,L52）,

即（1=0,o=1.5,

1應(yīng)

故密度函數(shù)（p（x）=―y=e4-5.

1.5\/2K

（2）設(shè)Y表示5件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，

每件產(chǎn)品是合格品的概率為P（|x|<1.5）=p（—1.5<X<1.5）=0.683,

而Y~B（5,0.683），合格率不小于80%,即Y25x0.8=4,

故P（Y之4）=P（Y=4）+P（Y=5）=C^x0.6834x（l-0.683）+0.6835?0.494.

18.(2020?山西迎澤太原五中高三二模(理))《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)

的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績(jī)由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目

構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、。+、D、E共8個(gè)等

級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、

3%.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)

換到［91,100］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到

考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，

其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布N(60,169).

(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(47,86)的人數(shù)；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間［61,80］的人數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(附：若隨機(jī)變量則P(〃—b<J<〃+b)=Q682,P(〃—2b<《<〃+2b)=0.954,

—3cr<J<〃+3cr)=0.997)

【答案】(I)1636人；(II)見解析.

【解析】(I)因?yàn)槲锢碓汲煽?jī)J~N(60,132),

所以P(47<J<86)=P(47<&<60)+P(60<^<86)

=1P(60-13<^<60+13)+1P(60-2X13<^<60+2X13)

0.6820.954

=-----+-----

22

=0.818.

所以物理原始成績(jī)?cè)?47,86)的人數(shù)為2000x0.818=1636(人).

(II)由題意得，隨機(jī)抽取1人，其成績(jī)?cè)趨^(qū)間［61,80］內(nèi)的概率為

所以隨機(jī)抽取三人，則X的所有可能取值為0,1,2,3,且乂~8(3,|),

272(3?_54

所以p(x=o)p(X=l)=C；-

1255-125

2丫8

P(X=3)

125

所以X的分布列為

X0123

2754368

p

?25725?25R5

所以數(shù)學(xué)期望E（x）=3xg=g.

19.（2020?陜西西安高三月考（理））為調(diào)查某校學(xué)生每周體育鍛煉落實(shí)的情況，采用分層抽樣的方法，收

集100位學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位://）.根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，制作出學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)

間的頻率分布直方圖（如圖所示）.

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

*0

（I）估計(jì)這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)元和樣本方差/（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表）;

（II）由頻率分布直方圖知，該校學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間Z近似服從正態(tài)分布N（〃,b2）,其中〃近似為樣

本平均數(shù)亍，cr?近似為樣本方差52.

(i)求P(0.8<Z<8.3)；

(ii)若該校共有5000名學(xué)生，記每周平均鍛煉時(shí)間在區(qū)間(0.8,83)的人數(shù)為試求E?).

附：V6.16?2.5)若P(〃—b<Z<〃+b)=0.6827,

P(/j-2cr<Z<〃+2cr)=0.9545.

【答案】(I)平均數(shù)5.85；樣本方差6.16；(H)⑴0.8186；(ii)4093.

【解析】

(I)這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為

x=1x0.05+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15+llx0.05=5.8-

/=(1-5.8)2x0.05+(3-5.8)2x0.2+(5-5.8)2x0.3+(7-5.8)2x0.25+(9-5.8)2x0.15+(ll-5.8)2x0.05

=6.16

(11)(i)由(I)知Z?N(5.8,6.16),

即Z~N(5.8,2S),

從而P(0.8<Z<8.3)=P(5.8-5<Z<5.8+2.5)=P(/z-2cr<Z<〃+cr)

=P(〃一b<Z<〃+cr)+；[P(〃-2cr<Z<〃+2cr)-P(〃-cr<Z<〃+b)]=0.8186(ii)由(i)可

知，J~5(5000,0.8186),

故E?=np=5000x().8186=4093.

20.(2020?湖北黃石港黃石二中高二月考(理))某物流公司專營(yíng)從甲地到乙地的貨運(yùn)業(yè)務(wù)(貨物全部用統(tǒng)

一規(guī)格的包裝箱包裝)，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了最近100天內(nèi)每天可配送的貨物量，按照可配送貨物量T(單位：箱)分

成了以下幾組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并繪制了如圖所示的頻率

分布直方圖(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，將頻率視為概率).

(1)該物流公司負(fù)責(zé)人決定用分層抽樣的方法從前3組中隨機(jī)抽出11天的數(shù)據(jù)來分析可配送貨物量少的原

因，并從這11天的數(shù)據(jù)中再抽出3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行財(cái)務(wù)分析，求這3天的數(shù)據(jù)中至少有2天的數(shù)據(jù)來自[50,60)

這一組的概率.

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該物流公司每日的可配送貨物量R單位:箱)服從正態(tài)分布N(〃,14.42),

其中4近似為樣本平均數(shù).

(i)試?yán)迷撜龖B(tài)分布，估計(jì)該物流公司2000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間(54.1,97.3)內(nèi)的天數(shù)(結(jié)果保留

整數(shù)).

(ii)該物流公司負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制定了兩種不同的工作獎(jiǎng)勵(lì)方案.

方案一：直接發(fā)放獎(jiǎng)金，按每日的可配送貨物量劃分為以下三級(jí)：T<60時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)50元；60<T<80,

獎(jiǎng)勵(lì)80元；T280時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)120元.

方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中每日的可配送貨物量不低于M時(shí)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每日的可配送

貨物量低于〃時(shí)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為

獎(jiǎng)金50100

4

概率

55

小張恰好為該公司裝卸貨物的一名員工，試從數(shù)學(xué)期望的角度分析，小張選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案對(duì)他更有利？

附：若Z~N(〃,cr2),則P(〃一cr<Z<〃+cr)=0.6827,P(/z-2cr<Z<//+2cr)?0.9545.

46

【答案】(1)——(2)(i)1637天(ii)小張選擇方案二更有利

165

【解析】

(1)由分層抽樣知識(shí)可知，這11天中前3組的數(shù)據(jù)分別有1個(gè)，4個(gè)，6個(gè)，

所以至少有2天的數(shù)據(jù)來自[50,60)這一組的概率概率為「=寸"+號(hào)==.

Cj]C”165

(2)(i)由題得4=45x0.05+55x0.2+65x0.3+75*0.3+85x0.1+95x0.05=68.5,

所以「(54.1<T<97.3)=尸(68.5-14.4<T<68.5+28.8)?-(0.6827+0.9545)=0.8186.

2

故2000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間(54.1,97.3)內(nèi)的天數(shù)為2000x0.8186=1637.2?1637.

(ii)易知P(T<〃)=尸(T2〃)=g.

對(duì)于方案一，設(shè)小張每日可獲得的獎(jiǎng)金為X元，則X的可能取值為50,80,120,

其對(duì)應(yīng)的概率分別為0.25,0.6,0.15,

故E(X)=5()x0.25+8()x().6+120x0.15=78.5.

對(duì)于方案二，設(shè)小張每日可獲得的獎(jiǎng)金為y元，則y的所有可能取值為50,io。，150,200,

142|114421

故"=50)=-x-=-,P(y=100)=-x-+-x-x-=—,

2552525550

11441111

P(r=150)=2x-x-x-=—,P(y=200)=-x—x-=—.

2552525550

所以y的分布列為

Y50100150200

22141

P

7502550

22141

所以^（y）=50x-+100x—+150x—+200x—=90.

5502550

因?yàn)镋（y）>E（x）,

所以從數(shù)學(xué)期望的角度看，小張選擇方案二更有利.

21.（2020?河北易縣中學(xué)高三其他（理））某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)〃個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨

機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查.根據(jù)多年

的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N（10,0.F）（單位：微米"加），且相互獨(dú)立.若零件的

長(zhǎng)度d滿足9.7〃加<d<10.3"n,則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格.

（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為X,求P（x22）及x的數(shù)學(xué)期望EX；

（2）小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已

知檢查一個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來的損失為260元.假設(shè)〃充分大，為了使

損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由.

附：若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布NJ。?），則

P（〃-3b<J<〃+3<T）=0.9987,0.998750=0.9370,0.998749x0.0013=0.0012.

【答案】（1）見解析（2）需要，見解析

【解析】

4950

（1）P（X^2）=1-P（X=1）-P（X=0）