第三章

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用編輯課件一、羅爾(Rolle)定理定理(Rolle)假設(shè)函數(shù)f(x)滿足〔1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)〔2〕在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)〔3〕在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(a)=f(b)例如,§3.1微分中值定理編輯課件幾何解釋:假設(shè)連續(xù)曲線弧的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的切線，編輯課件注①Rolle定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可導(dǎo)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；這三個(gè)條件只是充分條件，而非必要條件如：y=x2在[-1,2]上滿足(1),(2)，不滿足(3)卻在(-1,2)內(nèi)有一點(diǎn)x=0使但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個(gè)條件缺一不可。例如,編輯課件又例如,在[0,1]上除去x=0不連續(xù)外，滿足羅爾定理的一切條件,再例如在[0,1]上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾定理的一切條件,②羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等0的點(diǎn)。有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)；編輯課件另外還要注意點(diǎn)ξ并未具體指出，即使對(duì)于給定的具體函數(shù)，點(diǎn)ξ也不一定能指出是哪一點(diǎn)，如在[-1，0]上滿足羅爾定理的全部條件，而但卻不易找到使但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的.即便如此，我們將會(huì)看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用.編輯課件例1．不求函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù),判斷方程f

(x)=0有幾個(gè)實(shí)根，以及其所在范圍。

解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件。在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x1，使f

(x1)=0，x1是

f

(x)=0的一個(gè)實(shí)根。在(2,3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x2，使f

(x2)=0，x2也是f

(x)=0的一個(gè)實(shí)根。

f

(x)=0是二次方程，只能有兩個(gè)實(shí)根，分別在區(qū)間(1,2)及(2,3)內(nèi)。編輯課件二、拉格朗日(Lagrange)中值定理編輯課件幾何解釋:編輯課件

推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。

證明：在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，應(yīng)用拉格朗日中值定理，就得

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。由假定，f

(x)

0，所以f(x2)

f(x1)

0，即

f(x2)

f(x1)。因此f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。編輯課件

證明：設(shè)f(x)

ln(1

x)，顯然f(x)在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理，就有

f(x)

f(0)

f

(x)(x

0)，0<x<x。又由0<x<x，有編輯課件三、柯西(Cauchy)中值定理Cauchy定理又稱為廣義微分中值定理編輯課件結(jié)構(gòu)圖Lagrange定理特例Rolle定理推廣Cauchy定理拉格朗日中值定理又稱微分中值定理.編輯課件第二節(jié)洛必達(dá)法那么編輯課件定義例如,編輯課件定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法那么.編輯課件編輯課件編輯課件編輯課件編輯課件關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法那么可解決的類型.步驟:

例7．求0+lim?xx

n

lnx

(n>0)。

0.=lim0+-=?nxnx

解：xxnxlnlim0+?nxxx-0+?=lnlim10+1lim--?-=nxnxx

編輯課件例8解步驟:編輯課件步驟:例9解編輯課件1．洛必達(dá)法那么是求未定式的一種有效方法，但最好能與其它求極限的方法結(jié)合使用。例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無窮小替代或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣可以使運(yùn)算簡(jiǎn)捷。應(yīng)注意的問題：編輯課件2．本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法。當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時(shí)，所求的極限當(dāng)然存在(或?yàn)?，但定理?xiàng)l件不滿足時(shí)，所求極限卻不一定不存在。所以不能用洛必達(dá)法那么。但其極限是存在的：編輯課件

第三節(jié)

泰勒(Taylor)公式

多項(xiàng)式是一類很重要的函數(shù)，其明顯特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因此無論是數(shù)值計(jì)算還是理論分析都比較方便從計(jì)算的角度看，只須加、減、乘三種運(yùn)算，這是其它函數(shù)所不具備的優(yōu)點(diǎn)。用多項(xiàng)式近似地表示給定函數(shù)的問題不僅具有實(shí)用價(jià)值，而且更具有理論價(jià)值。編輯課件一、問題的提出編輯課件編輯課件缺乏:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì).編輯課件編輯課件二、泰勒(Taylor)中值定理編輯課件----拉格朗日型余項(xiàng)編輯課件----佩亞諾型余項(xiàng)編輯課件麥克勞林(Maclaurin)公式編輯課件三、簡(jiǎn)單的應(yīng)用解代入公式,得編輯課件常用函數(shù)的麥克勞林公式編輯課件解編輯課件第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性單調(diào)性的判定步驟凹凸與拐點(diǎn)的定義二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與凹凸性凹凸與拐點(diǎn)的判定步驟編輯課件一、單調(diào)性的判別法函數(shù)在某區(qū)間上是否具有單調(diào)性是我們?cè)谘芯亢瘮?shù)的性態(tài)時(shí)，首先關(guān)注的問題。第一章中已經(jīng)給出了函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的定義，但利用定義來判定函數(shù)的單調(diào)性卻是很不方便的。編輯課件從幾何圖形上看，表示單調(diào)函數(shù)的曲線當(dāng)自變量在單調(diào)區(qū)間內(nèi)按增加方向變動(dòng)時(shí)，曲線總是上升〔下降〕的。進(jìn)一步假設(shè)曲線在某區(qū)間內(nèi)每點(diǎn)處的切線斜率都為正〔負(fù)〕，曲線就是上升〔下降〕的這就啟示我們：能否利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定單調(diào)性？答復(fù)是肯定的。定理編輯課件例1解編輯課件例2解單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為編輯課件二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)局部區(qū)間上單調(diào)．定義:假設(shè)函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，那么該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．編輯課件單調(diào)區(qū)間求法:在f

的定義域上求f

的零點(diǎn)及f

不存在的點(diǎn)；2.用f

的零點(diǎn)及f

不存在的點(diǎn)將f

的定義區(qū)間劃分為子區(qū)間；3.根據(jù)f

在各子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)確定f的單調(diào)性。4.二、三兩步可借助于表格方式完成。編輯課件例3解xf

(x)f(x)(

,1)(1,2)(2,

)↗↘↗＋－＋編輯課件xyO11y=x3說明:一般地，如果f

(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí)，那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的。

例4．討論函數(shù)y

x3的單調(diào)性。

解：函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(

,

)。y

3x2，當(dāng)x

0時(shí)，y

0。

因?yàn)楫?dāng)x

0時(shí)，y

>0。所以函數(shù)y

x3在區(qū)間(

,0]及[0,

)內(nèi)都是單調(diào)增加的。因此函數(shù)在整個(gè)定義域(

,

)內(nèi)是單調(diào)增加的。編輯課件注

利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系可證明一些不等式。因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，f

(x)>0，所以f(x)在[1,

)上f(x)單調(diào)增加。因此當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>f(1)=0，即

例5．證明：當(dāng)x>1時(shí)，xx132->。

證明：令)13(2)(xxxf--=，則

編輯課件三、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義:假設(shè)曲線段向上〔下〕彎曲，那么稱之為凹〔凸〕的。圖形上任意弧段〔〕位于所張弦的上方。圖形上任意弧段〔〕位于所張弦的下方。問題:如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性?的中點(diǎn)的中點(diǎn)

編輯課件定義編輯課件四、曲線凹凸的判定定理1編輯課件例6解注意到,xyO11y=x3編輯課件五、曲線的拐點(diǎn)及其求法1.定義2.拐點(diǎn)的求法編輯課件例8解編輯課件凹凸與拐點(diǎn)的判定步驟編輯課件例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)編輯課件第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值由單調(diào)性的判定法那么，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰〞、“谷〞，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。編輯課件一、函數(shù)極值的定義編輯課件設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0

(a,b)．x1x2x3x4x5x6x7xyOab

y=f(x)

f(a)和f(b)是否為極值？

x

U(x0)，有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值；。如果

U(x0)，

x

U(x0)，有f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一。。。如果

U(x0)，個(gè)極小值；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．極值的定義：二、函數(shù)的極值編輯課件取得極值的必要條件：觀察極值與切線的關(guān)系：在極值點(diǎn)處，如果函數(shù)曲線有切線，那么切線是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7

y=f(x)編輯課件定理1〔必要條件〕設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么f(x0)0．駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f

(x)

0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)．應(yīng)注意的問題：可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)．但反過來，函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)．編輯課件觀察函數(shù)f(x)

x３在x

0處的導(dǎo)數(shù)與極值情況．xyOy=x3在x=0處，f

(0)

0.但函數(shù)在x=0無極值．編輯課件定理2〔第一充分條件〕設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo)．(1)如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f(x)>0，在x0的某一右鄰域內(nèi)f(x)<0，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f(x)<0，在x0的某一右鄰域內(nèi)f(x)>0，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果在x0的左右鄰域內(nèi)f(x)不改變符號(hào)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值．取得極值的第一充分條件：編輯課件取得極值的第一充分條件的幾何意義：x1x2x3x4x5x6x7xyOab

y=f(x)

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0在極小值點(diǎn)附近在極大值點(diǎn)附近編輯課件例1

求函數(shù)f(x)

1

(x

2)2/3的極值．解(1)當(dāng)x

2時(shí)，(2)函數(shù)無駐點(diǎn)，x

2是不可導(dǎo)點(diǎn)；

(3)列表判斷：x

f

(x)

f(x)(-，2)2(2，+)+-不存在1極大值函數(shù)f(x)在x

2取得極大值，極大值為f(2)

1．編輯課件確定極值點(diǎn)和極值的步驟：(1)求出導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；(3)列表判斷〔考察f(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況，以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值〕；(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值．編輯課件函數(shù)f(x)的極大值為f(

1)

10，極小值為f(3)

22．

例2

求函數(shù)f(x)

x3

3x2

9x

5的極值．

解(1)f

(x)

3x2

6x

9

3(x

1)(x

3)．(2)令3(x

1)(x

3)

0，

得駐點(diǎn)x

1

1，x

2

3．(3)列表判斷：(3,

)

22(

,

1)

1(

1,3)3

f

(x)

00

f(x)10極大極小x編輯課件應(yīng)注意的問題：

如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)f

(x

0)

0，那么點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn)，并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f

(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值．但如果f

(x0)

0，定理3就不能應(yīng)用．定理2(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f

(x0)

0，f

(x0)

0，那么(1)當(dāng)f

(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)當(dāng)f

(x0)>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值．編輯課件討論：函數(shù)f1(x)

x4，f2(x)

x3在點(diǎn)x

0是否有極值？

f

1(x)4x3，f

1(0)

0，

f

1(x)12x2，f

1(0)

0．當(dāng)x<0時(shí)，f

1(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f

1(x)>0．f1(0)為極小值．

f

2(x)3x2，f

2(0)

0，

f

2(x)6x

，f

2(0)

0．

f

2(x)

0，f2(0)不是極值．1012112xy101x1234y編輯課件(2)令f

(x)

0，求得駐點(diǎn)x1

1，x2

0，x3

1．(3)f

(x)

6(x

2

1)(5x2

1)．(4)因f

(0)

6>0，所以x

0為極小值點(diǎn)，極小值為f(0)

0．(5)因f

(

1)

f

(1)

0，用定理3無法判別．

例3求函數(shù)f(x)

(x2

1)3

1的極值．

解法一(1)f

(x)

6x(x2

1)2．同理，f(x)在1處也沒有極值．因?yàn)樵?/p>

1的左右鄰域內(nèi)f

(x)<0，所以f(x)在

1處沒有極值；2101x12y

f(x)

(x2

1)3

1編輯課件

f

(x)

f(x)(1)f

(x)

6x(x2

1)2．(2)令f

(x)

0，求得駐點(diǎn)x1

1，x2

0，x3

1．(3)列表判斷：x(-，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1，+)-0-0++00無極值無極值極小值

f(x)在x

0處取得極小值，極小值為f(0)

0．

解法二編輯課件極值與最值的關(guān)系：x1x2x3x4x5xyOab

y=f(x)最大值：f(b)，最小值：f(x3)．觀察：三、函數(shù)的最大值、最小值編輯課件x1x2x3x4x5xyOab

y=f(x)最大值：f(x4)，最小值：f(x3)．觀察：編輯課件設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么函數(shù)的最大值和最小值一定存在．函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得，如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得，那么必在開區(qū)間(a，b)內(nèi)取得，在這種情況下，最大值一定是函數(shù)的極大值．因此，函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者．同理，函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者．極值與最值的關(guān)系：編輯課件設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1，x2，···，xn，那么比較f(a)，f(x1)，f(x2)，···，f(xn)，f(b)的大小，其中最大的便是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值，最小的便是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最小值．求最大值和最小值的步驟：(1)求出f(x)在(a，b)內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；(2)求出函數(shù)在上述點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)比較上述函數(shù)值，找出最大的和最小的．最大值和最小值的求法：編輯課件

例4

求函數(shù)y

2x3

3x2

12x

14在[

3,4]上的最大值與最小值．解f(x)2x33x212x14，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程f(x)0，得x12，x21，由于f(3)2(3)33(3)212(3)1423；f(2)2(2)33(2)212(2)1434；f(1)2312147；f(4)2·433·4212·414142，比較可得f(x)在x4取得它在[3，4]上的最大值f(4)142,在x1取得它在[3，4]上的最小值f(1)7．編輯課件例5鐵路線上AB段的距離為100km．工廠C距A處為20km，AC垂直于AB．為了運(yùn)輸需要，要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路．鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5．為了使貨物從供給站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？100kmDABC20km最大值和最小值的應(yīng)用：編輯課件解設(shè)ADx(km)，那么DB100x，100kmDABC20km設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是正數(shù))，即編輯課件先求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)：，解方程y

0，得x

15．其中以y|x

15

380k為最小，因此當(dāng)AD

x

15km時(shí)，總運(yùn)費(fèi)為最?。庠O(shè)ADx(km)，那么DB100x，設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是某個(gè)正數(shù))，即編輯課件

如果f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無限，開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0，并且這個(gè)駐點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，那么，當(dāng)f(x0)是極大值時(shí)，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)f(x0)是極小值時(shí)，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值．特殊情況下的最大值與最小值：

f(x0)Oa

x0

b

x

y

f(x

)y

f(x0)Oa

x0

b

x

y

f(x

)y編輯課件應(yīng)當(dāng)指出，實(shí)際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值，這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0，那么不必討論f(x0)是否是極值，就可以斷定

f(x0)是最大值或最小值．編輯課件把一根直徑為d

的圓木鋸成截面為矩形的梁．問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W

最大?其中d

hb

解

b

與h

有下面的關(guān)系：

h2

d2

b2，

例6由于梁的最大抗彎截面模量在(0，d)內(nèi)一定存在，而函數(shù)W在(0，d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，W的值最大．這時(shí)，，于是有編輯課件

f

(x)<0，曲線是凸的．1、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性xyO函數(shù)單調(diào)增加．曲線是凹的．

y=f(x)

f

(x)>0，

f

(x)>0，abxyO

y=f(x)ab函數(shù)單調(diào)增加．

f

(x)>0，復(fù)習(xí)：§3.6與函數(shù)圖像的描繪編輯課件xyO函數(shù)單調(diào)減少．曲線是凹的．

y=f(x)

f

(x)<0，

f

(x)>0，abxyO

y=f(x)ab函數(shù)單調(diào)減少．曲線是凸的．

f

(x)<0，

f

(x)<0，編輯課件xyOx1x2x3

f(x3)(x2,f(x2))極大值極小值極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)拐點(diǎn)

y=f(x)

f(x1)

f

(x1)=0f

(x2)=0

f

(x3)=02、極值點(diǎn)、極值與拐點(diǎn)編輯課件觀察函數(shù)的圖形，在圖形上有哪些關(guān)鍵的點(diǎn)？關(guān)鍵點(diǎn)的兩側(cè)(或兩點(diǎn)間)曲線有什么特點(diǎn)？函數(shù)的圖形有無漸近線？有無對(duì)稱性？21012xy觀察與思考：編輯課件21012xy觀察函數(shù)的圖形，在圖形上有哪些關(guān)鍵的點(diǎn)？關(guān)鍵點(diǎn)的兩側(cè)(或兩點(diǎn)間)曲線有什么特點(diǎn)？函數(shù)的圖形有無漸近線？有無對(duì)稱性？觀察與思考：編輯課件21012123xy編輯課件321O1234532112345xyx=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)，無極值點(diǎn)和拐點(diǎn)．畫函數(shù)的圖形都要考慮什么？,lim1-￥=-?yx,lim1+￥=+?yx編輯課件(1)確定函數(shù)的定義域；(2)觀察函數(shù)y=f(x)是否具有奇偶性、周期性；(3)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(4)列表，確定曲線的單調(diào)性、極值點(diǎn)和極值，確定曲線的凹凸性和拐點(diǎn)；(5)確定曲線有無漸近線；(6)確定一些特殊點(diǎn)(曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等);(7)在直角坐標(biāo)系中，描出所有關(guān)鍵性的點(diǎn)，畫出漸近線，最后按照曲線的性態(tài)逐段描繪．描繪函數(shù)圖形的一般步驟：編輯課件(4)計(jì)算特殊點(diǎn)：f(0)

1；f(

1)

0.

解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?

，

)，(2)f

(x)

3x2

2x

1

(3x

1)(x

1)，f

(x)

6x

2

2(3x

1)．駐點(diǎn)為x

1/3和x

1；二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x

1/3．(3)列表分析：

f

(x)f

(x)

f(x)(

,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3，1)(1，)1++---00---0+++x32/27極大0極小16/27拐點(diǎn)(5)描點(diǎn)連線畫出圖形：例1畫出函數(shù)y

x3

x2

x

1的圖形．編輯課件補(bǔ)充：

f(3/2)

5/8．(5)描點(diǎn)連線畫出圖形：(4)計(jì)算特殊點(diǎn)：f(0)

1；f(±1)

0．拐點(diǎn)極大值極小值y

x3

x2

x

1編輯課件(3)列表：解(1)所給函數(shù)的定義域?yàn)?-，-3)(-3，+)；(2)當(dāng)x=3時(shí)，f(x)=0，當(dāng)x=6時(shí)，f(x)=0；(-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，+)x

f(x)

f(x)

f(x)--------++004極大11/3拐點(diǎn)例2編輯課件

y=1Oxy63912-3-6-9-12-153-3x=-3(3,4)(-9,-8)(-1,-8)(-，-3)(-3，3)3(3，6)6(6，+)x

f(x)

f(x)

f(x)--------++004極大11/3拐點(diǎn)(4)x=-3是曲線的鉛直漸近線，y=1是曲線的水平漸近線；(5)特殊點(diǎn)：f(0)=1．(6)繪圖．補(bǔ)充f(-1)=-8，f(-9)=-8，f(-15)=-11/4；編輯課件例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.(1)(2)(3)編輯課件拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)(4)編輯課件§3.7曲率

s的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)s>0，相反時(shí)s<0．有向弧段的值s(簡(jiǎn)稱為弧s)

：MM0(xyOM0x0Mxs>0xyOM0x0Mxs<0顯然弧s是x的函數(shù)：s

s(x)，而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)．一、弧微分編輯課件設(shè)x,x+Dx

為(a，b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，它們