隨機數(shù)的含義與應用隨機數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機會一樣，隨機數(shù)應用很廣泛，利用它可以幫助我們進行隨機抽樣，還可以利用它在某一個范圍得到每一個數(shù)機會是均等的這一特征來模擬試驗，這樣可代替我們自己做大量重復的試驗，從而使我們順利地求出有關事件的概率。問題均勻隨機數(shù)是如何產(chǎn)生的？如何利用隨機模擬實驗計算概率？怎樣設計簡單的隨機模擬實驗的試驗方案？

隨機數(shù)的產(chǎn)生可以人工產(chǎn)生，例如抽簽、摸球、轉盤等方法，但這樣做費時、費力，而且有時很難確保抽到每一個數(shù)的機會是均等的.

因此，我們現(xiàn)在主要是通過計算器和計算機來產(chǎn)生隨機數(shù)的。（1）用函數(shù)型計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的方法:按一次SHIFT+RAN#鍵產(chǎn)生一個0~1之間的隨機數(shù)，若需要多個，則重復按鍵；（2）計算機中用軟件產(chǎn)生隨機數(shù)（本書用Scilab產(chǎn)生隨機數(shù)）：Scilab中用rand()函數(shù)來產(chǎn)生0~1的均勻隨機數(shù)，每調(diào)用一次rand()函數(shù)，就產(chǎn)生一個隨機數(shù)。整數(shù)隨機數(shù)與均勻隨機數(shù)有何異同？提示：二者都是隨機產(chǎn)生的隨機數(shù),在一定的區(qū)域長度上出現(xiàn)的機率是均等的.但是整數(shù)隨機數(shù)是離散的單個整數(shù)值,相鄰兩個整數(shù)隨機數(shù)的步長為1;而均勻隨機數(shù)是小數(shù)或整數(shù),是連續(xù)的小數(shù)值,相鄰兩個均勻隨機數(shù)的步長是人為設定的.思考與探究1.如何產(chǎn)生a~b之間的均勻隨機數(shù)？（1）利用計算器或計算機產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)x1=RAND.（2）利用伸縮和平移變換：x=x1(b-a)+a,得到a~b之間的均勻隨機數(shù).2.怎樣用隨機模擬估計幾何概型?提示：用隨機模擬的方法估計幾何概型是把實際問題中的事件及基本事件總體對應的區(qū)域“長度”轉化為幾何概型，同時確定隨機數(shù)的范圍.例一隨機模擬投擲硬幣的試驗，估計擲得正面的概率。解：用計算器產(chǎn)生一個0~1之間的隨機數(shù)，如果這個數(shù)在0~0.5之間，則認為硬幣正面向上，如果這個隨機數(shù)在0.5~1之間，則認為硬幣正面向下。試驗次數(shù)正面向上的頻數(shù)正面向上的頻率50230.4660290.48370320.45780380.47590470.522100540.54例二隨機模擬中例3海豚在水池中自由游弋的試驗，并估計事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”的概率。我們利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)x和y，用它們來表示海豚嘴尖的橫坐標與縱坐標，如果(x，y)出現(xiàn)在圖中的陰影部分，我們就認為事件A發(fā)生了。S1用計數(shù)器n記錄做了多少次試驗，用計數(shù)器m記錄其中有多少次(x，y)出現(xiàn)在陰影部分中，首先置n=0，m=0;S2用變換rand()*30－15產(chǎn)生－15~15之間的隨機數(shù)x作為海豚嘴尖的橫坐標，用變換rand()*20－10產(chǎn)生－10~10之間的隨機數(shù)y作為海豚嘴尖的縱坐標；S3判斷(x，y)是否落在陰影部分中，即是否滿足||x|－15|≤2或||y|－10|≤2，如果是，則m=m+1，如果不是，則m不變；S4表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n值加1，即n=n+1,如果還需要試驗，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結束。程序結束后，事件A發(fā)生的頻率m/n作為A的概率近似值。次數(shù)事件A頻數(shù)m事件A頻率m/n100350.3510003240.3241000029970.2997100000305060.30506N=input(“N=");n=0;m=0;fori=1:1:Nx=rand()*30-15;y=rand()*20-10;c=abs(abs(x)-15);d=abs(abs(y)-10);ifc<=2|d<=2

m=m+1;

endn=n+1;endp=m/N;p例三利用隨機數(shù)和幾何概型求π的近似值。在下圖所示的邊長為2的正方形中隨機撒一大把豆子，計算落在正方形的內(nèi)切圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，并以此估計圓周率π的值把“在正方形中撒豆子”看成試驗，把“豆子落在圓中”看成隨機事件AP(A)=—————圓面積

正方形面積

所以π=4×P(A).用例2的類似辦法，設計算法用計算機模擬這個撒豆子的試驗。S1用計數(shù)器n記錄做了多少次試驗，用計數(shù)器m記錄其中有多少顆豆子落入圓中，首先置n=0，m=0;S2用變換rand()*2－1產(chǎn)生兩個－1~1之間的隨機數(shù)x和y，用它們來表示豆子的橫坐標和縱坐標；S3判斷(x，y)是否落在圓中，即是否滿足x2+y2≤1，如果是，則計數(shù)器m=m+1，如果不是，則m不變；S4表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n值加1，即n=n+1,如果還需要試驗，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結束。

程序結束后，計算

作為π的近似值.N=input(“N=");n=0;m=0;fori=1:1:Nx=rand()*2-1;y=rand()*2-1;c=x^2+y^2;ifc<=1m=m+1;endn=n+1;endp=4*m/N;p

例2與例3采用的基本方法是：建立一個概率模型，它與我們感興趣的量有關。然后設計適當?shù)脑囼灒⑼ㄟ^這個試驗結果來確定這些量。

按照以上思路建立起來的方法稱為計算機隨機模擬法或蒙特卡洛方法。

現(xiàn)在隨著計算機科學與技術的飛速發(fā)展，用計算機來模擬所設計的試驗已經(jīng)變得越來越普遍。例4.取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用隨機模擬法估算剪得兩段繩子的長度都不小于1m的概率有多大?解：

設事件A表示“剪得兩段的長度都不小于1m”

S1用計數(shù)器n記錄做了多少次試驗，用計數(shù)器m記錄其中有多少次隨機數(shù)x出現(xiàn)在1~2之間（即剪得兩段繩子的長度都不小于1m）。首先置n=0，m=0；S2用變換rand()*3產(chǎn)生0~3之間的均勻隨機數(shù)；S3判斷剪得的兩段繩子長度是否都大于1，即是否滿足1<x<2，如果是，則計數(shù)器m的值加1，即m=m+1，如果不是，m的值保持不變；S4表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n的值加1，即n=n+1，如果還要繼續(xù)試驗，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結束；例5.利用隨機模擬法近似計算圖中陰影部分（曲線y=2x與x=±1及x軸圍成的圖形）的面積.解：在坐標系中畫出正方形，用隨機模擬的方法可以求出陰影部分與正方形面積之比，從而求得陰影部分面積的近似值。

設陰影部分的面積為S，正方形的面積為4

由幾何概型計算公式得

所以S1用計數(shù)器n記錄做了多少次投點試驗，用計數(shù)器m記錄其中有多少個(x，y)滿足－1<x<1，0<y<2x(即點落在陰影部分)。首先置n=0，m=0；S2用變換rand()*2－1產(chǎn)生－1~1之間的均勻隨機數(shù)x表示所投的點的橫坐標；用變量rand()*2產(chǎn)生0~2之間的均勻隨機數(shù)y表示所投的點的縱坐標；S3判斷點是否落在陰影部分，即是否滿足0<y<2x，如果是，則計數(shù)器m的值加1，即m=m+1；如果不是，m的值保持不變；S4表示隨機試驗次數(shù)的計數(shù)器n的值加1，即n=n+1，如果還要繼續(xù)試驗，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結束；計算機隨機模擬法是研究隨機事件概率的重要方法.此試驗可從以下幾方面考慮：(1)根據(jù)影響隨機事件結果的量的個數(shù)確定需要產(chǎn)生的隨機數(shù)的組數(shù)，如長度、角度型只用一組即可；而面積型需要兩組隨機數(shù),體積型需要三組隨機數(shù)；(2)根據(jù)試驗對應的區(qū)域確定產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍；(3)根據(jù)事件A發(fā)生的條件確定隨機數(shù)所應滿足的關系式

需要注意的是用模擬的方法得到的計算結果是近似的，是估計值.布豐投針1777年法國科學家布豐做了一個投針試驗，這個試驗被認為是幾何概型的第一個試驗。他在一張大紙上畫了一些平行線，相鄰兩條平行線間的距離都相等。再把長度等于平行線間距離一半的針投到紙上，并記錄投針的總次數(shù)及針落到紙上與平行線中的某一條相交的次數(shù)，共計投針2212次，其中與平行線相交的有704次，發(fā)現(xiàn)它們的商2212÷704≈3.142045與π非常接近。

以后又有多位數(shù)學家重復做過投針試驗，都得到了類似的結果。那么，投針試驗為什么能算出π的近似值呢？

如圖，取一張大紙，在上面畫上一組平行線，使相鄰兩平行線間距離都等于d，再取一個直徑為d的鐵絲圓圈。如果把這個鐵絲圓圈投擲到紙上，則圓圈與平行線組的交點肯定是2個，如果投擲n次，則交點總計應為2n.如果把鐵絲拉直（長度不變）再投擲到紙上，則鐵絲與平行線組的交點就可能是0個、1個、2個或3個。

布豐認為，既然兩根鐵絲長度相等，在大量重復試驗時，它們與同一平行線的交點總數(shù)應是相等的。如果也投擲n次，則交點總計也應與2n相差甚小。再考慮鐵絲上的每個點，它是否落在平行線組的某一條上也是機會均等的。

布豐認為，既然兩根鐵絲長度相等，在大量重復試驗時，它們與同一平行線的交點總數(shù)應是相等的。如果也投擲n次，則交點總計也應與2n相差甚小。再考慮鐵絲