《8.3分類變量與列聯(lián)表》教案

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊》，第七章《隨機變量及其分布

列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學習分類變量與列聯(lián)表

學生前面已經(jīng)學習了基本獲取樣本數(shù)據(jù)的方法，從樣本數(shù)據(jù)中提取信息的方法，也掌握了

相互獨立事件的概率計算，獨立性檢驗是進一步分析兩個分類變量之間是否有關系，是高

中數(shù)學知識中體現(xiàn)統(tǒng)計思想的重要課節(jié)。學習重點應放在獨立性檢驗的統(tǒng)計學原理上，理

解獨立性檢驗的基本思想，明確獨立性檢驗的基本步驟。課堂趣味性較強，充分體現(xiàn)了數(shù)

學在實際生活中的應用，對于提高學生應用意識和數(shù)學建模思想有重要意義。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

A.通過對典型案例的探究，了解獨立性檢驗（只1.數(shù)學抽象：從特殊實例到一般原理

要求2X2列聯(lián)表）的基本思想、方法2.邏輯推理：獨立性檢驗的思想方法

及初步應用.3.數(shù)學運算：獨立檢驗的運用

B.通過對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析，增強學生的4.數(shù)學建模：模型化思想

社會實踐能力，培養(yǎng)學生分析問題、

解決問題的能力.

【重點與難點】

重點：了解獨立性檢驗（只要求2X2列聯(lián)表）的應用.

難點：獨立性檢驗（只要求2X2列聯(lián)表）的基本思想、方法

【教學過程】

教學過程教學設計

一、問題導學

前面兩節(jié)所討論的變量,如人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世

界紀錄和創(chuàng)紀錄的時間等,都是數(shù)值變量,數(shù)值變量的取值為實數(shù).其大小

和運算都有實際含義.

在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內的兩種現(xiàn)象或性質之間是否

存在關聯(lián)性或相互影響的問題.例如,就讀不同學校是否對學生的成績有影

響,不同班級學生用于體育鍛煉的時間是否有差別,吸煙是否會增加患肺癌

的風險,等等,本節(jié)將要學習的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題

的方案。

在討論上述問題時,為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，

以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質，這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可

以用實數(shù)表示,例如,學生所在的班級可以用1,2,3等表示,男性、女性可

以用1,0表示,等等.在很多時候,這些數(shù)值只作為編號使用，并沒有通常的

大小和運算意義,本節(jié)我們主要討論取值于｛0,1｝的分類變量的關聯(lián)性問

題.

二、探究新知

問題1.為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性,某中學需要了解性

別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學生是否經(jīng)常鍛通過具體的問題

煉的情況進行了普查,全校學生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)情境，引發(fā)學生

常鍛煉;601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉。你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女思考積極參與互

生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎？動，說出自己見

這是一個簡單的統(tǒng)計問題,最直接的解答方法是，比較經(jīng)常鍛煉的學生在女解。從而分類變

生和男生中的比率,為了方便,我們設分-經(jīng)常饕瞿生數(shù),/-經(jīng)?；酆谏鷶?shù)量獨立性檢驗的

概念，發(fā)展學生

那么，只要求出f和f的值,通過比較這兩個值的大小,就可以知道女生和

01

邏輯推理、數(shù)學

男生在鍛煉的經(jīng)常性方面是否有差異，由所給的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到

運算、數(shù)學抽象

/=|||^0.633,/\=器工0.787.由f「f°?0.787-0.633=0.154可知，男

0和數(shù)學建模的核

生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個百分點.心素養(yǎng)。

所以該校的女生和男生在體育鍛等的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更經(jīng)常

鍛煉.

用n表示該校全體學生構成的集合,這是我們所關心的對象的總體,考慮以

n為樣本空間的古典概型,并定義一對分類變量X和Y如下:對于Q中的

每一名學生，

0,該生為女生）_[0,該生不經(jīng)常鍛煉）

分別令X=.1,該生為男生J，=11,該生經(jīng)常鍛煉）

“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響”可以描述為

P(Y=1|X=O)=P(Y=1|X=1);

“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響”可以描述為

P(Y=1|X=O)^P(Y=1|X=1).

我們希望通過比較條件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=11X=1)回答上面的問題.按

照條件本概率的直觀解釋，

如果從該校女生和男生中各隨機選取一名學生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉

群體的概率是P(Y=1|X=O),

而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=1).

為了清楚起見,我們用表格整理數(shù)據(jù)

鍛煉

性別合計

不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=l)

女生(X=0)192331523

男生(X=D128473601

合計3208041124

我們用｛X=0,Y=l｝表示事件｛X=0｝和｛Y=l)的積事件,用｛X=l,Y=l｝表示事件

｛X=l｝和｛Y=l｝的積事件,根據(jù)古典概型和條件概率的計算公式,我們有

P(Y=l|X=0)=n(X=°-r=1)=—^0.633；P(Y=]]X=D=n(x=g)=a().787

n(X=O)523n(X=l)601

由P(Y=1|X=1)>P(Y=1|X=O)

可以作出判斷,在該校的學生中,性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，即該校

的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉。

在實踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問題的需要，將

數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計,并做成表格加以保存,我們將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱

為2X2列聯(lián)表(contingencytable).

2X2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)，以右表為例,它包

含了X和Y的如下信息：

最后一行的前兩個數(shù)分別是事件｛Y=0｝和｛Y=l｝中樣本點的個數(shù)；

最后一列的前兩個數(shù)分別是事件｛X=0｝和｛X=l｝中樣本點的個數(shù)；

中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分，給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)

中樣本點的個數(shù)；

右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點的總數(shù)。

鍛煉

性別合計

不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=l)

女生(X=0)192331523

男生(X=l)128473601

合計3208041124

三典例解析

例1.為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平,采用簡單隨機抽樣的方法抽

取88名學生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學生中有10名數(shù)學成

通過問題分析，

績優(yōu)秀;乙校45名學生中有7名數(shù)學成績優(yōu)秀,試分析兩校學生中數(shù)學成

讓學生理解運獨

績優(yōu)秀率之間是否存在差異.

立性檢驗的統(tǒng)計

解:用Q表示兩所學校的全體學生構成的集合.考慮以Q為樣本空間的古

學原理。發(fā)展學

典概型.對于Q中每一名學生,定義分類變量X和Y如下:X=

生邏輯推理，直

(0,該生來自甲校'\該生數(shù)學成績不優(yōu)秀］

(1,該生來自乙校,卜11,該生數(shù)學成績優(yōu)秀/觀想象、數(shù)學抽

象和數(shù)學運算的

我們將

核心素養(yǎng)。

學校數(shù)學成績合計所給數(shù)

不優(yōu)秀(Y=o)優(yōu)秀(Y=l)據(jù)整理

成表

甲校(x=0)331043

(單

乙校(X=l)38745位：

合計711788人)

表是關

于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)分別是

事件(Y=0)和(Y=l)的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件(X=0)和(X=l)

的頻數(shù)；中間的四個格中的數(shù)是事件(X=x,Y=y)(x,y=0,1)的頻數(shù)；

甲校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為稱心0.7674和

詈《0.2326;

乙校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為駕Q0.8444和

45

—0.1556

45

我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結果，如圖所示

左邊的藍色和紅色條的高度分別是甲校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績

優(yōu)秀的頻率;右邊的藍色和紅色條的高度分別是乙校學生中數(shù)學成績不優(yōu)

秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率,通過比較發(fā)現(xiàn),兩個學校學生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學成

績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率,依據(jù)頻率穩(wěn)定于

概率的原理,我們可以推斷P(Y=11X=0)>P(Y=lIX=l).

也就是說,如果從甲校和乙校各隨機選取一名學生,那么甲校學生數(shù)學成績

優(yōu)秀的概率大于乙校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率,因此,可以認為兩校學生的

數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率比乙校學生的高。

學校數(shù)學成績合計

不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=l)

甲校(x=o)331043

乙校(X=l)38745

合計711788

2.兩個分類變量之間關聯(lián)關系的定性分析的方法：

(1)頻率分析法：通過對樣本的每個分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率

大小進行比較來分析分類變量之間是否有關聯(lián)關系.如可以通過列聯(lián)表中

唉與三值的大小粗略地判斷分類變量x和Y之間有無關系.一般其值相

a+bc+d

差越大,分類變量有關系的可能性越大.

(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個分類變量間

是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.將列聯(lián)

表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個條形圖表示出來，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對應

不同的顏色，這就是等高堆積條形圖.

等高堆積條形圖可以展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，能夠直觀地反映出兩個

分類變量間是否相互影響.

問題2.你認為“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這一結論是否有

可能是錯誤的？

有可能

“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這個結論是根據(jù)兩個頻率間存在

差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取的這個樣本中，兩個

頻率間確實存在差異，但兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別

的.對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤

差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能

性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出

現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.

“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這個結論是根據(jù)兩個頻率間存在

差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取的這個樣本中，兩個

頻率間確實存在差異，但兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別

的.對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤

差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能

性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出

現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.

考慮以Q為樣本空間的古典概型，設X和Y為定義在Q上,取值于｛0,1｝通過具體的問題

的成對分類變量,我們希望判斷事件｛X=l｝和｛Y=l｝之間是否有關聯(lián)。注意情境中的分析，

至IJ｛X=0｝和｛X=l｝,｛Y=0｝和｛Y=l｝都是互對立事件,與前面的討論類似,我們深化對獨立性檢

需要判斷下面的假定關系H:P(Y=11X=0)=P(Y=l|X=l)是否成立,通常稱H驗的理解。發(fā)展

00

學生邏輯推理，

為零假設或原假設(nullhypothesis).

直觀想象、數(shù)學

P(Y=11X=0)表示從｛X=0｝中隨機選取一個樣本點,該樣本點屬于｛X=0,Y=l｝

抽象和數(shù)學運算

的概率；

的核心素養(yǎng)。

P(Y=1|X=1)表示從｛X=l｝中隨機選取一個樣本點,該樣本點屬于｛X=1,Y=1｝

的概率。

由條件概率的定義可知,零假設H等價于受曰=

oP(X=0)P(X=1)

或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=l,Y=l)P(X=0).①

考慮以Q為樣本空間的古典概型，設X和Y為定義在Q上,取值于｛0,1｝

的成對分類變量,我們希望判斷事件｛X=l)和｛Y=l｝之間是否有關聯(lián)。注意

至|J｛X=O｝和｛X=l｝,｛Y=0｝和｛Y=l｝都是互對立事件,與前面的討論類似,我們

需要判斷下面的假定關系H:P(Y=1|X=O)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常稱H

00

為零假設或原假設(nullhypothesis).P(Y=11X=0)表示從｛X=0｝中隨機選

取一個樣本點,該樣本點屬于｛X=0,Y=l｝的概率；

P(Y=1]X=1)表示從｛X=D中隨機選取一個樣本點,該樣本點屬于｛X=l,Y=l｝

的概率。

由條件概率的定義可知,零假設H等價于受曰=

oP(X=0)P(X=1)

或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0).①

注意到(X=0)和(X=l)為對立事件，于是P(X=O)=1-P(X=1).

再由概率的性質，我們有P(X=O,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=l).

由此推得①式等價于P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).

因此,零假設II等價于｛X=l｝與｛Y=l｝獨立。

0

根據(jù)已經(jīng)學過的概率知識,下面的四條性質彼此等價：

｛X=0｝與｛Y=0｝獨立；｛X=0｝與｛Y=l｝獨立；｛X=l｝與｛Y=0｝獨立；｛X=l｝與｛Y=l｝

獨立。

以上性質成立,我們就稱分類變量X和Y獨立,這相當于下面四個等式成

立；

P(X=O,Y=O)=P(X=O)P(Y=O);P(X=O,Y=1)=P(X=O)P(Y=1);

P(X=1,Y=O)=P(X=l)P(Y=O);P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).②

我們可以用概率語言,將零假設改述為H。:分類變量X和Y獨立.

假定我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表,如下表所

示。

表是關于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)

分別是事件｛Y=0｝和｛Y=l｝的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件｛X=0｝和

｛X=l｝的頻數(shù);中間的四個數(shù)a,b,c,d是事件｛X=x,Y=y｝(x,y=0,1)的頻數(shù);

右下角格中的數(shù)n是樣本容量。

Y

X合計

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

問題3:如何基于②中的四個等式及列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),構造適當?shù)慕y(tǒng)計量,

對成對分類變量X和Y是否相互獨立作出推斷？

在零假設H成立的條件下,根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，由②中的第一個

0

等式,我們可以用概率P(X=O)和P(Y=O)對應的頻率的乘積S+嗎"0估計概

n

率P(X=O,Y=0),而把(a+嗎a+c)視為事件｛X=O.Y=0｝發(fā)生的頻數(shù)的期望值(或

n

預期值).

這樣,該頻數(shù)的觀測值a和期望值婦”—應該比較接近.

n

綜合②中的四個式子,如果零假設H。成立,下面四個量的取值都不應該太

大：

.(a+b)(a+c)(a+b)(b+d)?,(c+d)(a+c)(c+d)(b+d),

n?，*ni，ijni，in

③反之，當這些量的取值較大時,就可以推斷11不成立。

0

分別考慮③中的四個差的絕對值很困難,我們需要找到一個既合理又能夠

計算分布的統(tǒng)計量,來推斷H是否成立.

0

一般來說,若頻數(shù)的期望值較大,則③中相應的差的絕對值也會較大;而若

頻數(shù)的期望值較小，則③中相應的差的絕對值也會較小.

為了合理地平衡這種影響，我們將四個差的絕對值取平方后分別除以相應

的期望值再求和,得到如下的統(tǒng)計量：

/_(a+b)(a+c))2(,_(a+b)(b+d))2

X~(a+b)(a+c)(a+b)(b+d)

nn

(c_(c+d)(a+c))2m_(c+d)(b+?))2

+(c+d)(a+c)1(c+d)(b+d)

nn

2

該表達式可化簡為：x2=，八、m

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

統(tǒng)計學家建議,用隨機變量*2取值的大小作為判斷零假設H。是否成立的依

據(jù)，當它比較大時推斷II。不成立，

否則認為H成立.

0

問題4:那么，究竟Jr2大到什么程度,可以推斷不成立呢?或者說,怎樣確

定判斷％2大小的標準呢？

根據(jù)小概率事件在一次試驗中不大可能發(fā)生的規(guī)律，可以通過確定一個與

H相矛盾的小概率事件來實現(xiàn)，在假定H的條件下,對于有放回簡單隨機

00

抽樣,當樣本容量n充分大時,統(tǒng)計學家得到了12的近似分布，忽略*2的實

際分布與該近似分布的誤差后,對于任何小概率值a,可以找到相應的正

實數(shù)xa,

使得下面關系成立:P(122x)=a@

a

我們稱x為a的臨界值，這個臨界值就可作為判斷12大小的標準，概率

a

值a越小,臨界值x越大，當總體很大時，抽樣有、無放回對％2的分布影

a

響較小.因此,在應用中往往不嚴格要求抽樣必須是有放回的.

由④式可知，只要把概率值a取得充分小,在假設H成立的情況下,事件

0

不大可能發(fā)生的.根據(jù)這個規(guī)律,如果該事件發(fā)生,我們就可以推斷H。不

成立.不過這個推斷有可能犯錯誤，但犯錯誤的概率不會超過a.

獨立性檢驗公式及定義：

提出零假設(原假設)H0:分類變量X和Y獨立，假定我們通過簡單隨機抽

樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，在列聯(lián)表中，如果零假設H成立，

0

則應滿足二a三，即ad-bc?O.因此|ad-bc|越小，說明兩個分類變量

之間關系越弱；Iad-bc|越大，說明兩個分類變量之間關系越強.

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準,基于上述分析,我們構造一

2

個隨機變量/=晨制工2

X"獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.

Y

X合計

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

a0.10.050.010.0050.001

X2.7063.8416.6357.87910.858

a

臨界值的定義：

對于任何小概率值a,可以找到相應的正實數(shù)x,使得P（x.》x）=a

aa

成立，我們稱x為a的臨界值，這個臨界值可作為判斷X”大小的標

a

準，概率值a越小，臨界值x越大.

a

基于小概率值a的檢驗規(guī)則：

2

當X》x時，我們就推斷H不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯

a0

誤的概率不超過a；

當x\x時，我們沒有充分證據(jù)推斷H不成立，可以認為X和Y獨立.

a0

用X2取值的大小作為判斷零假設H是否成立的依據(jù)，當它比較大時推斷

0

2

II不成立，否則認為H成立。這種利用x的取值推斷分類變量X和丫是

00

通過典型例題的

否獨立的方法稱為X“獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立

分析解決，提升

性檢驗.學生對獨立性檢

X2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值驗的理解和運

用。發(fā)展學生邏

輯推理，直觀想

a0.10.050.010.0050.001

象、數(shù)學抽象和

X2.7063.8416.6357.87910.858

a數(shù)學運算的核心

素養(yǎng)。

例2：依據(jù)小概率值a=0.1的f獨立性檢驗，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù)，能

否據(jù)此推斷兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異？

解：零假設為勺分類變量X與Y相互獨立，即兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀

率無差異.因為

學校數(shù)學成績合計

不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=l)

甲校(X=0)331043

乙校(X=l)38745

合計711788

“=88黑:就黑;)?

所以;10.837<2.706=xai

根據(jù)小概率值a=0.1的f獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H。不成立，因

此可以認為H成立，即認為兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異。

0

問題5.例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結論，

你能說明其中的原因嗎？

例1只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率間存在差異得出兩校學生數(shù)學成績優(yōu)秀

率有差異的結論,并沒有考慮由樣本隨機性可能導致的錯誤,所以那里的推

斷依據(jù)不太充分,在本例中,我們用獨立性檢驗對零假設H。進行了檢驗，

通過計算,發(fā)現(xiàn)f40.837小于a=0.1所對應的臨界值2.706,因此認為

沒有充分證據(jù)推斷H不成立,所以接受H,推斷出兩校學生的數(shù)學優(yōu)秀率

00

沒有顯著差異的結論，

這個檢驗結果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機

性導致的,因此,只根據(jù)頻率的差異得出兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異

的結論是不可靠的。

由此可見,相對于簡單比較兩個頻率的推斷,用爐獨立性檢驗得到的結果

更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分。

當我們接受零假設H。時,也可能犯錯誤。我們不知道犯這類錯誤的概率p

的大小，但是知道,若a越大,則p越小

例3.某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨

機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法

的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒

69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性

檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.

解：零假設為H：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.

0

將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，

療效

療法合計

未治愈治愈

甲155267

乙66369

合計21115136

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到/=<啜6：-52：6>2，4g81<

八67x69x21x115

7.879=xQ005

根據(jù)小概率值a=0.005的/獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H。不成立,

因此可以認為H。成立，即認為兩種療法效果沒有差異.

療效

療法合計

未治愈治愈

甲155267

乙66369

合計21115136

136x(15x63-52x6)

X29=-----------------------------------------?4.881

“67x69x21x115

療效

療法合計

未治愈治愈

乙66369

甲155267

合計21115136

9136X(52x6-15x63)?

y2=-----------------------------------------?4.881

z69x67x21x115

療效

療法合計

治愈未治愈

甲521567

乙63669

合計11521136

136X(52x6-15x63)

Xo2=-----------------------------------------?4.881

A67x69x21x115

不影響

問題6.若對調兩種療法的位置或對調兩種療效的位置,這樣做會影響X?

取值的計算結果嗎？

例4.為了調查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨

機抽樣，調查了9965人，得到如下結果（單位：人）依據(jù)小概率值

a=0.001的獨立性檢驗，分析吸煙是否會增加患肺癌的風險。

肺癌

吸煙合計

非肺癌患者肺癌患者

非吸煙者7775427817

吸煙者2099492148

合計9874919965

解：零假設為H0：吸煙和患肺癌之間沒有關系根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計

算的根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為吸

煙與患肺癌有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001,即我們有99.9%

的把握認為“吸煙與患肺癌有關系”.

2

,9965x（7775x49-42x2099）

Y2=----------------------------------------------------?56.632>10,858

入7817x2148x9874x91

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計算不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為

吸煙者中不患肺癌和患肺癌的評率分別為

—77—75^?0.9946,-4^??0.0054,9772,」40-#0.0228

7817781721482148

工0.0228，

由-------?4.2

0.0054

可見，在被調查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌頻率的4倍

以上。于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認為吸煙者患肺癌的

概率明顯大于不吸煙者患肺癌概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌。

應用獨立性檢驗解決實際問題大致應包括以下幾個主要環(huán)節(jié)：

（1）提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋.

（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2X2列聯(lián)表，計算X?的值，并與臨界值Xa比

較.

(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結論.

(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析

X和Y間的影響規(guī)律.

注意：上述幾個環(huán)節(jié)的內容可以根據(jù)不同情況進行調整，

例如，在有些時候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.

20.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

P(x)

0

X)

0

X0.450.701.322.072.7063.8415.0246.637.87910.82

0

583258

歸納總結

跟蹤訓練1.某校對學生的課外活動進行調查，結果整理成下表:

體育文娛總計

男生212344

女生62935

總計275279

試用你所學過的知識分析：能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,

認為“喜歡體育還是文娛與性別有關系”？

解：Va=21,b=23,c=6,d=29,n=79,

,n(ad-bc)279X21X29-23X62

?2_____“9"?______------------------------------------------1AC

??vX=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),44X35X27X52

且P(X227.879)比0.005,

P(xNx0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

)0

X0.450.701.322.072.7063.8415.0246.637.87910.82

0

583258

即我們得到的X?的觀測值x?8.106超過7.879這就意味著：“喜歡體育

還是文娛與性別沒有關系”這一結論成立的可能性小于0.005,即在犯錯

誤的概率不超過0.005的前提下認為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有

關.”

三、達標檢測

L給出下列實際問題：通過練習鞏固本

①一種藥物對某種病的治愈率;②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)別；節(jié)所學知識，通

③吸煙者得肺病的概率;④吸煙是否與性別有關系；過學生解決問

⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關系.其中用獨立性檢驗可以解決的問題有題，發(fā)展學生的

()數(shù)學運算、邏輯

A.①②③B.②④⑤C.②③④⑤D.①②③④推理、直觀想

⑤象、數(shù)學建模的

解析:獨立性檢驗是判斷兩個分類變量是否有關系的方法,而①③都是概率核心素養(yǎng)。

問題,不能用獨立性檢驗解決.

答案:B

2.某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調查,數(shù)據(jù)如下表：

下列敘述中，正確的是()

認為作業(yè)多認為作業(yè)不多總數(shù)

喜歡玩電腦游戲18927

不喜歡玩電腦游戲81523

總數(shù)262450

A.有99%的把握認為“喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少有關系”

B.有95%的把握認為“喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少無關系”

C.有99%的把握認為“喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少無關系”

D.有95%的把握認為“喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少有關系”

計算得X2=50X(18X158X9)2^5.059>3,841.

27X23X26X24

答案:D

3.某高校《統(tǒng)計》課程的教師隨機調查了選該課的一些學生情況,具體數(shù)

據(jù)如下表：

為了判斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù),得到

//'也

非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)

性別

男1310

女720

因為4.844>3.841,所以有__________的把握判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有

關系.

2

XV0X(13X20-1QX7)^4844.

23X27X20X30

答案:95%

4.在500人身上試驗某種血清預防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與

另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結果如表所示。問：該種血

清能否起到預防感冒的作用？

未感冒感冒’合計

使用血清258242500

未使用血清216284500

合計4745261000

解：設H：感冒與是否使用該血清沒有關系。

0

1000(258x284—242x216)2

29______________________________a7075

Ay474x526x500x500

因當H成立時，x’26.635的概率約為0.01,故有99%的把握認為該血

0

清能起到預防感冒的作用。

p(x0.500.400.250.150.100.050.025).0103.0050.(101

0

)

X0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82

0

8

5.隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加,城市的空氣污染越來越嚴重,空氣質量

指數(shù)API一直居高不下,對人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴重的影響.現(xiàn)調查了某

市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康情況,得到2X2列聯(lián)表如下：

室外工作室內工作總計

有呼吸系統(tǒng)疾病150

無呼吸系統(tǒng)疾病100

總計200

⑴補全2X2列聯(lián)表；

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工

作場所有關?

(3)現(xiàn)采用分層抽樣從室內工作的居民中抽取一個容量為6的樣本,將該樣

本看成一個總體,從中隨機地抽取兩人,求兩人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率.

解：(1)列聯(lián)表如下：

室外工作室內工作總計

有呼吸系統(tǒng)疾病150200350

無呼吸系統(tǒng)疾病50100150

總計200300500

所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工

作場所有關.

25OOX(150x100-200x50)2

⑵x亡3.968>3.841.

350X150X200X300

（3）采用分層抽樣從室內工作的居民中抽取6名，其中有呼吸系統(tǒng)疾病的抽

4人,無呼吸系統(tǒng)疾病的抽2人，設A為“從中隨機地抽取兩人,兩人都有

呼吸系統(tǒng)疾病”，則

P（A）號.

二、小結

通過總結，讓學

獨生進一步鞏固本

立

性節(jié)所學內容，提

檢

高概括能力。

驗

【教學反思】

課后通過對教學過程的反思與研究，才能不斷完善教學設計中的不足，才能提升教材分析

的能力和課堂教學實效.

1.多元展示，多方評價.在教學過程中我借問題牽引，保證了課堂教學的順利實施；而在

整個過程中，我對學生所作練習、疑問及時解析評價；學生之間、小組之間的互相評價補

充，使學生共享成果分享喜悅，堅定了學好數(shù)學的信念，實現(xiàn)了預期目標.

2.創(chuàng)造性的使用教材.有別于教材，我在教學中，讓學生考察了分別考察了兩類題型之后

再引導學生進行歸納，這樣更貼近學生的認知水平，學生課后反饋，效果較為理想.

《8.3分類變量與列聯(lián)表》導學案

【學習目標】

1.通過對典型案例的探究，了解獨立性檢驗（只要求2X2列聯(lián)表）的基本思想、方法

及初步應用.

2.通過對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析,增強學生的社會實踐能力,培養(yǎng)學生分析問題、

解決問題的能力.

【重點與難點】

重點：了解獨立性檢驗(只要求2X2列聯(lián)表)的應用.

難點：獨立性檢驗(只要求2X2列聯(lián)表)的基本思想、方法

【知識梳理】

1.分類變量

為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質，這類隨機變

量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示,例如,學生所在的班級可以用1,2,3等表

示,男性、女性可以用1,0表示,等等.

2.2X2列聯(lián)表

表是關于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件｛Y=0｝

和｛Y=l｝的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件｛X=0｝和｛X=l｝的頻數(shù)；中間的四個數(shù)

a,b,c,d是事件｛X=x,Y=y｝(x,y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量。

Y

X合計

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

3.兩個分類變量之間關聯(lián)關系的定性分析的方法：

(1)頻率分析法：通過對樣本的每個分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率大小進行比較來分

析分類變量之間是否有關聯(lián)關系.如可以通過列聯(lián)表中啖與三值的大小粗略地判斷分類變

a+bc+d

量X和Y之間有無關系.一般其值相差越大,分類變量有關系的可能性越大.

(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個分類變量間是否互相影響，

常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個條形

圖表示出來，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對應不同的顏色，這就是等高堆積條形圖.

等高堆積條形圖可以展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，能夠直觀地反映出兩個分類變量間是否

相互影響.

4.獨立性檢驗公式及定義:

提出零假設(原假設)H。:分類變量X和Y獨立，假定我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的

抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表,在列聯(lián)表中，如果零假設H。成立,則應滿足后，即ad-bc七。.因

此：ad-bc1越小,說明兩個分類變量之間關系越弱；|ad-bc|越大，說明兩個分類變量之間關

系越強.

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準,基于上述分析,我們構造一個隨機變量X2=

2

n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

Y

X合計

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

5.臨界值的定義：

對于任何小概率值a,可以找到相應的正實數(shù)x，使得P(x-2x)=a成立，我們稱x

aaa

為a的臨界值，這個臨界值可作為判斷大小的標準，概率值a越小，臨界值x越大.

a

基于小概率值a的檢驗規(guī)則:

2

當x2x時，我們就推斷H不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過

a0

a;

2

當x<X時，我們沒有充分證據(jù)推斷H不成立，可以認為X和Y獨立.

a0

2

用X取值的大小作為判斷零假設