2024屆廣州市高三年級調(diào)研測試數(shù)學(xué)本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，，則（）A1 B.2 C. D.2已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.5.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且為等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.6.直線與圓交于A，B兩點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知，，，則的值為（）A B. C. D.28.若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值點，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.圖中a的值為B.樣本的第25百分位數(shù)約為217C.樣本平均數(shù)約為D.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為10810.已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（）A.若的兩條漸近線相互垂直，則B.若的離心率為，則的實軸長為C若，則D.當(dāng)變化時，周長的最小值為11.已知點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則（）A.是奇函數(shù)B.，C.若在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則或12.如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點，Q為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則（）A.平面B.平面截正方體所得的截面面積為C.點Q的軌跡長度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線的焦點為F，點M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點）的面積為2，則______.14.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.15.已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.16.已知函數(shù)恰有兩個零點，則______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.18.如圖，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.（1）求點到平面的距離；（2）若，平面平面，點在線段上，，求平面與平面夾角余弦值.19.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知且.（1）求證：；（2）求的取值范圍.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍.21.杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；（2）為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個盲盒？22.在平面直角坐標(biāo)系中，點，點是平面內(nèi)的動點.若以PF為直徑的圓與圓內(nèi)切，記點P的軌跡為曲線E．（1）求E的方程；（2）設(shè)點，，，直線AM，AN分別與曲線E交于點S，T（S，T異于A），，垂足為H，求的最小值．2024屆廣州市高三年級調(diào)研測試數(shù)學(xué)本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件求得，即可計算模長.【詳解】∵，，∴，，∴.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)的值域求得，進(jìn)而求得.【詳解】由，解得，所以，而，所以，所以.故選：A3.已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與共線，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量為，計算即可得解.【詳解】由向量，，若與共線，則，所以，，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：C4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，從而求得正確答案.【詳解】的定義域為，由于是奇函數(shù)，所以，所以.故選：B5.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且為等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)累加法求得，利用裂項求和法求得正確答案.【詳解】，，由于為等差數(shù)列，所以，所以，也符合，所以，所以數(shù)列的前項和為.故選：D6.直線與圓交于A，B兩點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，即可求出的取值范圍.【詳解】由題易知直線恒過，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為，半徑，圓心到距離，所以在圓內(nèi)，則直線與圓交點弦最大值為直徑即8，最小時即為圓心到直線距離最大，即時，此時，所以的取值范圍為.故選：D7.已知，，，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的余弦、正弦公式求得正確答案.【詳解】，，，分子分母同時除以得：①，由于，所以，所以，所以，所以，即，代入①得：，解得.故選：B8.若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值點，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的零點、的極值點的情況列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】，，的開口向上，對稱軸為，與軸的交點為，當(dāng)時，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，沒有極值點，所以，要使在區(qū)間上存在極小值點，則在有兩個不等的正根，則需，解得，所以的取值范圍是.故選：A【點睛】求解函數(shù)極值點的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間；（5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間求得的極值點.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.圖中a的值為B.樣本的第25百分位數(shù)約為217C.樣本平均數(shù)約為D.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為108【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)頻率直方圖，結(jié)合各個統(tǒng)計量的含義，逐項分析判斷即可.【詳解】對A，，所以，故A正確；對B設(shè)樣本的第25百分位數(shù)約為，，則，所以，故B錯誤；對C，樣本平均數(shù)為：，故C正確；對D，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為：，故D錯誤.故選：AC10.已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（）A.若的兩條漸近線相互垂直，則B.若的離心率為，則的實軸長為C.若，則D.當(dāng)變化時，周長的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；B選項，若的離心率為，解得，所以實軸長，故B錯誤；C選項，若，則，整理得，故C正確；D選項，根據(jù)雙曲線的定義可知，，兩式相加得，所以周長為，當(dāng)時，取得最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以周長的最小值為，故D正確.故選：ACD11.已知點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則（）A.奇函數(shù)B.，C.若在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則或【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)的對稱中心求得，根據(jù)奇偶性、對稱性、單調(diào)性等知識確定正確答案.【詳解】依題意，點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，所以，且①，B選項正確.則，所以，由于是奇數(shù)，所以是偶函數(shù)，A選項錯誤.C選項，，將代入得：，整理得，由于在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，所以，解得，由于，所以，對應(yīng)，所以C選項正確.D選項，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，將代入得：，整理得，則，解得，而，所以或，時，，符合單調(diào)性，時，，不符合單調(diào)性，所以舍去所以，所以D選項錯誤.故選：BC12.如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點，Q為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則（）A.平面B.平面截正方體所得的截面面積為C.點Q的軌跡長度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到線面垂直；B選項，作出輔助線，找到平面截正方體所得的截面，求出面積；C選項，作出輔助線，得到點Q的軌跡，并求出軌跡長度；D選項，由對稱性得到平面分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，由對稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，由得到方程，求出半徑的最大值.【詳解】A選項，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，故.設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因為，故平面，A正確；B選項，取的中點，連接，因為M，N，P分別是棱，，的中點，所以，又，所以，所以平面截正方體所得的截面為正六邊形，其中邊長為，故面積為，B正確；C選項，Q為平面上的動點，直線與直線的夾角為，又平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點Q的軌跡，其中，由對稱性可知，，故半徑，故點Q的軌跡長度為，C錯誤；D選項，因為M，N，P分別是棱，，的中點，所以平面分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，不妨求能放入含有頂點的空間幾何體的球的半徑最大值，該球與平面切與點，與平面，平面，平面相切，由對稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，則半徑為，，故，即，解得，故球的半徑的最大值為，D正確.故選：ABD【點睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線的焦點為F，點M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點）的面積為2，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給條件，可得，再令得，帶入面積公式，計算即可得解.【詳解】由，令得，所以，所以，.故答案為：14.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式有關(guān)知識求得正確答案.【詳解】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：15.已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】求出三角形外接圓圓心，過作平面，且，則為三棱錐的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.【詳解】如圖根據(jù)題意，平面，所以即與平面所成角，則，又因為，，所以，則,又，即三角形為直角三角形，取中點，則為三角形外接圓圓心，取中點，則，且，所以，即為三棱錐的外接球球心，其半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：16.已知函數(shù)恰有兩個零點，則______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，從而建立等量關(guān)系求解可得.【詳解】因為，所以令，則，令，故當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，即當(dāng)時函數(shù)有最小值，若，即時，此時函數(shù)在R上為增函數(shù)，與題意不符；若，即時，此時函數(shù)與x軸有兩個不同交點，設(shè)交點為，且，即，所以當(dāng)或時，即，此時函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，即，此時函數(shù)為減函數(shù)，依題意，函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，即或，所以或，化簡得或，所以，故答案為：.【點睛】根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的一般方法：設(shè)方法一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸交點個數(shù)問題，通過求解單調(diào)性構(gòu)造不等式求解；方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點個數(shù)問題求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求得.（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，也符合.所以.【小問2詳解】由（1）得，所以.18.如圖，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.（1）求點到平面的距離；（2）若，平面平面，點在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等體積法求得點到平面的距離；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】設(shè)點到平面距離為，則，由題可知，所以，所以點到平面的距離為.【小問2詳解】取的中點，連接，因為，又平面平面且交線為，平面，，所以平面，由（1）知.由題意可得，所以，所以.以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過點作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，依題意，所以.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知且.（1）求證：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可把題設(shè)中的邊角關(guān)系化簡為，結(jié)合誘導(dǎo)公式及可證.（2）根據(jù)及，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式將化為，先求出角A的范圍，然后利用余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以，又，所以.又，，所以或，所以或，又，所以，所以，得證.【小問2詳解】由（1）知，所以，又，所以，因為，所以，所以，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，求出切線的斜率，然后求解所以曲線在處的切線方程．（2）由，令，則，故在上為減函數(shù)，討論和時函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【小問1詳解】因為，所以，，由切點為，，所以，所以曲線在處的切線方程為，即．小問2詳解】由，令則，故在上為減函數(shù)．又，①當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當(dāng)時，由于，由且當(dāng)時，根據(jù)零點存在定理，必存在，使得，由于在上為減函數(shù)，故當(dāng)時，，時，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)所以當(dāng)時，，故在上不恒成立，所以不符合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查恒成立問題，是難題．本題的關(guān)鍵有：（1）二次求導(dǎo)，利用二次求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類討論，找到討論點是關(guān)鍵，本題討論點為和.21.杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；（2）為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個盲盒？【答案】（1）分布列詳見解析（2）買個【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率計算公式、排列組合數(shù)的計算公式求得