特殊平行四邊形（二）初二數(shù)學

主講教師:鄧蘭萍

正方形一

完美的正方形:１.是更特殊的平行四邊形:具有平行四邊形的一般特征;２.是特殊的矩形:有一組鄰邊相等的矩形;３.是特殊的菱形:有一個角是直角的菱形;４.是中心對稱圖形

又是軸對稱圖形

有四條對稱軸

.如圖:菱形正方形矩形平行四邊形二.正方形的特征

１.邊:四條邊相等;

AB=BC=CD=DA２.角:四個角相等;∠A=∠B=∠C=∠D=90°３.對角線:相等且互相垂直平分;

AC=BD,AC⊥BD,

AO=OC,BO=OD４.O是正方形ABCD的對稱中心,直線AC.BD.EF.GH都是它的對稱軸.三.正方形的識別:說明:根據(jù)正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系,遇到具體問題時,可以本著先判斷是平行四邊形,再判斷是矩形或菱形,進而得到正方形.4個2個平行四邊形正方形菱形矩形四邊形1個1個1個1個2個四.其它:１.與正方形相關(guān)的三角形:等腰直角三角形.圖形分解:２.正方形的面積:

S正方形=a2=

l23.正方形問題中常見的圖形變換:（１）（２）五.正方形知識的應用:

例１.已知:如圖,E是正方形ABCD中BD

上一點,且BE

BC,

求:∠DCE的度數(shù).分析:正方形ABCD對角線BD平分

ABC,

故

BCD是等腰Rt

,

DBC

45

,由條件可知

BEC為等腰

,

BCE可求,進而利用正方形特征可求

DCE度數(shù).EDCBA解∵正方形ABCD

∴

ABC

BCD

90

又∵BD平分

ABC∴∵BE

BC

在

BEC中由內(nèi)角和可知∴∴

DCE

BCD

BCE

90

67.5

22.5

EDCBAFEDCBA例２.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分線,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.試說明DFCE為正方形的理由.

分析:判斷正方形可先確定四邊DFCE為矩形或菱形證明:∵

ACB

90

又DE

AC于E,DF

BC于F∴

CED

CFD

90

∴四邊形DFCE為矩形,（有三個角是直角的四邊形是矩形）∵CD是

ABC的角平分線∴DE

DF（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）∴矩形DFCE為正方形（一組鄰邊相等的矩形是正方形）FEDCBA例３.如圖,E是正方形ABCD內(nèi)一點,且△ABE是等邊三角形.求:∠BED的度數(shù).分析:由于正方形ABCD與正三角形ABE邊等,因此可利用特殊四邊形和三角形角的關(guān)系得到結(jié)論.解:∵正方形ABCD∴

DAB

90

AD

AB

又∵

ABE為等邊三角形∴

EAB

AEB

60

AE

AB∴AD

AE

DAE

DAB

EAB

30

在

ADE中,由內(nèi)角和,有∴

BED

AEB

AED

60

75

135

點評:問題一:若等邊

ABE的E點落在正方形ABCD的外部時,想一想圖形是什么樣,能畫出來嗎?這時

BED是多少度?問題二:若E是平面內(nèi)一點,且有它到正方形ABCD各頂點的距離相等,問這樣的E點存在嗎?若存在,有幾個?你能畫圖示意嗎?例４.已知:如圖,E、F、G分別是正方形ABCD中BC、AB、CD上的點,且AE⊥FG.求證:AE=FG.

ABCDEFG分析:若將線段FG,沿射線FB方向平移,平移距離為線段FB的長.由于條件給出的是正方形,因此可得到線段

BP（如圖）這樣可利用正方形的特征,得到

ABE繞正方形對角線交點逆時針旋轉(zhuǎn)90

能與

BCP重合,對應線段AE

BP

FG解答過程略.ABCDEFGp點評:是不是這個題目的條件還可以這樣變更:如圖,若M、N分別是AD、BC上的點,E、F分別是AB、

DC上的點,且有MN

EF,那MN與EF的數(shù)量關(guān)系一定等嗎?請說明你的理由.NEBFDCAM例５.已知:如圖,E、F分別是正方形

ABCD中AB、BC的中點,且CE交

DF于M點.求證:AM=AB.

ABCDEFM分析:由基本圖形的分析,

BEC繞正方形中心逆時針旋轉(zhuǎn)90

能與

FCD重合,易證EC

DF,將

BCE繞E點旋轉(zhuǎn)180

,得到

EAP,由于是正方形ABCD,故P、A、D共線,

AP

BC且AP

BC,

MA是Rt

DPM斜邊中線,有AP

AM

AB證明略FEBDCAM12P例６.已知:如圖,P是正方形ABCD中AC上一點,PE⊥AD于

E,PF⊥CD于F.求證:①OE⊥OF;②OE=OF.ABCDEFPO分析:解決問題的關(guān)鍵是判斷E點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90

后能與F點重合,關(guān)鍵是AE

DF?

由條件不難知道

AEP是等腰Rt

,而四邊形EPFD易證為矩形,所以有AE

EP

DF,

問題得證:ABCDEFPO證明:①∵正方形ABCD中,

BAD

ADC

90

OA

OD且

AOD

90

∴

OAE

ODF

45

∵P是AC上一點,且PE

AD于E,PF

CD于F,

即

PED

PFD

90

∴四邊形EPFD為矩形,EP

DF

在

AEP中,

EPA

PAE

45

,∴AE

EP∴AE

DF

將

AOE繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90

,A點與D點重合,E點與F點重合∴OE

OF②由①可知,E、F是

AOE與

DOF關(guān)于O點旋轉(zhuǎn)對稱的點,∴OE

OFABCDEFPO例7.已知:如圖,E是正方形ABCD的對角線

BD上任意一點,

AE的延長線交CD于G,交BC的延長線于H,F是GH的中點.求證:CF⊥CE。FEBDCAH2G341分析:由于正方形是軸對稱圖形,所以

DAE與

DCE關(guān)于直線

BD對稱,

1

2又由于正方形ABCD中,AD

BC,所以

1

H

在Rt

GCH中,由于F點是GH中點所以CF

FH,

3

H

所以

2

3因為

3

4

90

所以

2

4

90

故CF

CE

證明過程略BCHFEDA2G341例8.如圖,正方形ABCD中,∠EBF=45°,E、F分別在邊AD和CD上.求證:EF=AE+FC.ABCDEF分析:待證結(jié)論中EF與AE、FC比較分散,應想辦法移動圖形,相對集中,考慮到結(jié)論出現(xiàn)AE

FC

不妨把

FBC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90

得到

PBA,由于正方形ABCD,

C

BAD

90

顯然P、A、E共線,問題就轉(zhuǎn)化為證明PE

EFFEBDCAp由于對應點P、E與B點連線夾角為90

,又

EBF

45

,可知BE平分

PBF,又因為BP

BF,故

BPE與

BFE關(guān)于直線BE對稱,問題得證.證明過程略.FEBDCAp點評:幾何問題中有時會見線段和差問題,一般處理時常用手段是“截長補短”即將每條短線段中的一條 通過變換與另一條接在一起,證明其和等于長線段,這叫補短,另一種情況是把長線段截出一段等于一條短線段再證明剩下的部分與另一條短線段相等,這叫截長.例9.已知:如圖１,正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E是AC上一點,過點A作AG⊥BE于G,AG交BD于F.（１）說明OE=OF.（２）若點E在AC的延長線上,AG⊥BE交DB的延長線于F,其他條件不變（如圖２）,則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?請說明理由.圖2OABCDEFGBDCAOEFG12圖1分析:（1）正方形ABCD中,AC

BD,OA

OB又因為AG

BE,所以

1

2,

AOF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90

后能與

BOE重合,因此有OE

OF（2）受（1）的啟發(fā),

BOE繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90

后也能與

AOF重合,因此OE

OF結(jié)論仍能成立.圖2OABCDEFGBDCAOEFG12圖1點評:和有些題目類似,雖然E、F點的位置有變化,但

OE

OF的結(jié)論確沒有發(fā)生變化,由此可知許多圖形之間都存在這種內(nèi)在聯(lián)系.圖2OABCDEFGBDCAOEFG12圖1例10.（１）如圖１,若點P為正方形ABCD邊AB上一點,以PA為一邊作正方形AEFP,連BE、DP,并延長DP交BE于點H.

求證:DH⊥BE。（２）如圖２,若點P為正方形ABCD內(nèi)任意一點,其余條件不變,，（１）的結(jié)論是否成立?若成立，請給出證明;若不成立,請說明理由.（1）由條件可知

DAP繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90

就可與

BAE重合,

1

2又因為

3

4,因此在

DAP和

BHP中

DAP

BHP,

因為

DAB

90

,所以

BHP

90

,故