專題10新定義問(wèn)題（3）【規(guī)律總結(jié)】※知識(shí)精要新定義型問(wèn)題是學(xué)習(xí)型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個(gè)新定義（新概念或新公式），通過(guò)閱讀題目提供的材料，理解新定義，再通過(guò)對(duì)新定義的理解來(lái)解決題目提出的問(wèn)題。其主要目的是通過(guò)對(duì)新定義的理解與運(yùn)用來(lái)考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，便于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。※要點(diǎn)突破解決此類題的關(guān)鍵是（1）深刻理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論;（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運(yùn)用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決題目中需要解決的問(wèn)題。【典例分析】例1．（2020·杭州市公益中學(xué)七年級(jí)月考）已知正整數(shù)n小于100，并且滿足等式，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則這樣的正整數(shù)n有（）A．6個(gè) B．10個(gè) C．16個(gè) D．20個(gè)【答案】C【分析】由，以及若x不是整數(shù)，則<x知，即n是6的倍數(shù)，得到n的值.【詳解】∵，若x不是整數(shù)，則<x，∴，即n是6的倍數(shù)，∴n的值為：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16個(gè)，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的大小比較，取整計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確理解表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，得到，即n是6的倍數(shù)，由此解決問(wèn)題.例2．（2021·全國(guó)八年級(jí)）若一個(gè)自然數(shù)t能寫成t＝x2﹣y2（x，y均為正整數(shù)，且x≠y），則稱t為“萬(wàn)象數(shù)”，x，y為t的一個(gè)萬(wàn)象分解，在t的所有萬(wàn)象分解中，若最小，則稱x，y為t的絕對(duì)萬(wàn)象分解，此時(shí)F（t）＝．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因?yàn)椋?，＝，．所?和7為32的絕對(duì)萬(wàn)象分解，則F（32）＝．若一個(gè)四位正整數(shù)，它的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，但四個(gè)數(shù)字不全相同，則稱這個(gè)四位數(shù)為“博雅數(shù)”．例如2112，4554均為“博雅數(shù)”．若一個(gè)四位正整數(shù)m是“萬(wàn)象數(shù)”且能被13整除，“博雅數(shù)”n的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)恰好是m的一個(gè)萬(wàn)象分解，則所有滿足條件的數(shù)m中F（m）的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)n的個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，由“博雅數(shù)”和萬(wàn)象分解的定義，可以得到m=99(a+b)(a-b)，再由a與b的取值范圍，m同時(shí)能被13整除，可以確定m的所有取值可能為1287，3861，6435；再將這三個(gè)數(shù)進(jìn)行萬(wàn)象分解，確定F(m)．【詳解】設(shè)n的個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，∵n是“博雅數(shù)”，∵n的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)恰好是m的一個(gè)萬(wàn)象分解，∴m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b），∵m能被13整除，∴（a+b）（a﹣b）是13的倍數(shù)，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴a+b＝13，∴a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9；∴m的值所有情況為：1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32；3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482；6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532；∵F（1287）＝；F（3861）＝；F（6435）＝；∴F（m）的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考査因式分解的應(yīng)用；能夠通過(guò)定義，結(jié)合數(shù)整除的性質(zhì)，借助因式分解準(zhǔn)確找到符合條件的三個(gè)數(shù)的所有萬(wàn)象分解是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)八年級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)，若滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字之和是個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之和的兩倍，則稱該四位正整數(shù)為“希望數(shù)”，例如：四位正整數(shù)3975，百位數(shù)字與十位數(shù)字之和是16，個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之和8，而16是8的兩倍，則稱四位正整數(shù)3975為“希望數(shù)”，類似的，四位正整數(shù)2934也是“希望數(shù)”．根據(jù)題中所給材料，解答以下問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫出最小的“希望數(shù)”是________；最大的“希望數(shù)”是_______；（2）對(duì)一個(gè)各個(gè)數(shù)位數(shù)字均不超過(guò)6的“希望數(shù)m，設(shè)，若個(gè)位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍，且十位數(shù)字和百位數(shù)字均是2的倍數(shù)，定義：，求的最大值．【答案】（1）1020，9990；（2）7．【分析】（1）根據(jù)題意可知，最小的“希望數(shù)”要使千位和百位最小，最大的“希望數(shù)”要使千位和百位最大，據(jù)此寫出答案；（2）根據(jù)題意直接列出滿足條件的“希望數(shù)m，再根據(jù)定義求出即可得出最大值．【詳解】解：（1）千位數(shù)最小為1，最大為9，百位數(shù)最小為0，最大為9；根據(jù)對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)，若滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字之和是個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之和的兩倍，則稱該四位正整數(shù)為“希望數(shù)”，可得：出最小的“希望數(shù)”是1020；最大的“希望數(shù)”是9990；（2）一個(gè)各個(gè)數(shù)位數(shù)字均不超過(guò)6的“希望數(shù)m，若個(gè)位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍，且十位數(shù)字和百位數(shù)字均是2的倍數(shù)，“希望數(shù)m”可能是1062；1602；1242；1422；2664．當(dāng)=1602時(shí)，；當(dāng)=1062時(shí)，；當(dāng)=1242時(shí)，；當(dāng)=1422時(shí)，；當(dāng)=2664時(shí)，；故的最大值為7．【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀材料類題目，屬于創(chuàng)新題，同時(shí)又包含了大量計(jì)算，做此類型題目時(shí)，應(yīng)注意從材料中獲取解題方法、掌握定義的本質(zhì)，同時(shí)本題考查了數(shù)的大小與數(shù)位的關(guān)系．【好題演練】一、單選題1．（2020·新安中學(xué)（集團(tuán)）外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考）若規(guī)定“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，且，，，，則的值為A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“！”得出和的值，再計(jì)算有理數(shù)的乘除法即可得．【詳解】由題意得：，，，故選擇：C．【點(diǎn)睛】本題考查了新運(yùn)算下的有理數(shù)的乘除法，理解新運(yùn)算是解題關(guān)鍵．2．（2020·江蘇常州市·七年級(jí)期中）定義：一種對(duì)于三位數(shù)abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在個(gè)位，a、b、c不完全相同)的F運(yùn)算：重排abc的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，計(jì)算所得最大三位數(shù)和最小三位數(shù)的差(允許百位數(shù)字為零)，例如abc＝463時(shí)，則經(jīng)過(guò)大量運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)三位數(shù)經(jīng)過(guò)若干次F運(yùn)算都會(huì)得到一個(gè)固定不變的值；類比聯(lián)想到：任意一個(gè)四位數(shù)經(jīng)過(guò)若干次這樣的F運(yùn)算也會(huì)得到一個(gè)定值，這個(gè)定值為（）A．4159 B．6419 C．5179 D．6174【答案】D【分析】設(shè)這個(gè)四位數(shù)為1234，再進(jìn)行若干次F運(yùn)算即可得到這個(gè)定值．【詳解】由題意，不妨設(shè)這個(gè)四位數(shù)為1234，則經(jīng)過(guò)第1次F運(yùn)算的結(jié)果為，經(jīng)過(guò)第2次F運(yùn)算的結(jié)果為，經(jīng)過(guò)第3次F運(yùn)算的結(jié)果為，經(jīng)過(guò)第4次F運(yùn)算的結(jié)果為，由此可知，這個(gè)定值為6174，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律型問(wèn)題，掌握理解F運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·浙江金華市·七年級(jí)期中）已知a是不等于的數(shù)，我們把稱為a的和倒數(shù)．如：2的和倒數(shù)為，已知是的和倒數(shù)，是的和倒數(shù)，是的和倒數(shù)，…，依此類推，則______．【答案】【分析】根據(jù)和倒數(shù)的定義分別計(jì)算出a1、a2、a3、…a12的值，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：a1＝1，a2，a3，，，，，，，，，，則a1?a2?a3…a12＝1．故答案為：【點(diǎn)睛】本題為新定義問(wèn)題，理解和倒數(shù)的定義，并根據(jù)定義依次計(jì)算出a1，a2，a3，a4，a5…a12的值是解題關(guān)鍵．4．（2020·江門市新會(huì)尚雅學(xué)校八年級(jí)期中）定義：若兩個(gè)二次根式a、b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．若與是關(guān)于2的共軛二次根式，則m的值為_(kāi)__．【答案】【分析】根據(jù)共軛二次根式的定義列等式即可得出m的值；【詳解】解：∵與是關(guān)于2的共軛二次根式，∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了新定義共軛二次根式的理解和應(yīng)用，并會(huì)用二次根據(jù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．三、解答題5．（2020·重慶市鳳鳴山中學(xué)八年級(jí)期中）進(jìn)位數(shù)是一種計(jì)數(shù)方法，可以用有限的數(shù)學(xué)符號(hào)代表所有的數(shù)值，使用數(shù)字符號(hào)的數(shù)目稱為基數(shù)，基數(shù)為個(gè)則稱為進(jìn)制，現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0—9作為基數(shù)，特點(diǎn)是滿十進(jìn)1，對(duì)于任意一個(gè)進(jìn)制表示的數(shù)通常使用個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字作為基數(shù)，特點(diǎn)是逢進(jìn)一，我們可以通過(guò)下列方式把它轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制．例如：五進(jìn)制數(shù)，則，七進(jìn)制數(shù)（1）請(qǐng)將以下兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制：，（．（2）若一個(gè)正數(shù)可以用7進(jìn)制表示為，也可用五進(jìn)制表示為，求出這個(gè)數(shù)并用十進(jìn)制表示．【答案】（1）93，34；（2）這個(gè)數(shù)用十進(jìn)制表示為51或102．【分析】（1）根據(jù)進(jìn)制的規(guī)則列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意列得，化簡(jiǎn)成24a+b=12c，根據(jù)a、b、c的取值范圍分別將a從1開(kāi)始取值驗(yàn)證，即可得到答案．【詳解】（1），，故答案為：93，34；（2）根據(jù)題意得：，∴24a+b=12c，∴，∵a、b、c均為整數(shù)，且，∴b=0，c=2a，∵，，∴或，∵，．∴這個(gè)數(shù)用十進(jìn)制表示為51或102．【點(diǎn)睛】此題考查新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江紹興市·九年級(jí)其他模擬）定義：如果一條直線把一個(gè)封閉的平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條中分線．如三角形的中線所在的直線是三角形的一條中分線．（1）按上述定義，分別作出圖1，圖2的一條中分線．（2）如圖3，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．①求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②探究在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以A，C，D，P為頂點(diǎn)的平行四邊形的一條中分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．若存在，求出中分線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，；②存在，或或【分析】（1）對(duì)角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線；（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②根據(jù)拋物線解析式求出，，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)的直線將該平行四邊形分成面積相等的兩部分，所以平行四邊形的中分線必過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)．Ⅰ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為；Ⅱ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)．中分線解析式為；Ⅲ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為．【詳解】解：（1）如圖，對(duì)角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線，（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②將代入拋物線解析式，得，解得或4，，，令，則，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平