專題28角平分線和高線的夾角模型問題【規(guī)律總結】【典例分析】例1．（2019·浙江杭州市·九年級其他模擬）中，邊上的高相交于點F，的角平分線交于點G，若，則______．【答案】110°【分析】根據(jù)三角形的內角和定理求出∠GBC＋∠GCB，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABC＋∠ACB，從而求出∠A，根據(jù)三角形高的定義可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ACE，最后利用三角形外角的性質即可求出結論．【詳解】解：∵∴∠GBC＋∠GCB=180°－∠CGB=55°∵的角平分線交于點G，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACB=2∠GCB∴∠ABC＋∠ACB=2∠GBC＋2∠GCB=2（∠GBC＋∠GCB）=110°∴∠A=180°－（∠ABC＋∠ACB）=70°∵邊上的高相交于點F，∴∠AEC=∠FDC=90°，∴∠ACE=180°－∠AEC－∠A=20°∴∠FDC＋∠ACE=110°故答案為：110°．【點睛】此題考查的是三角形內角和定理、三角形外角的性質、三角形的高和角平分線，掌握三角形內角和定理、三角形外角的性質、三角形的高的定義和角平分線的定義是解題關鍵．例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年級期中）如圖，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點，，．求和的度數(shù)．【答案】，【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE是角平分線，求出∠EAC=∠BAC=30°，由AD是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根據(jù)角平分線的性質，得∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°-∠C）=×（180°-70°）=55°．【詳解】解：∠BAC=60°，∠C=70°∴∠ABC=180°?∠ABC?∠C=180°?60°-70°=50°，∵AE是角平分線，∴∠EAC=∠BAC=×60°=30°，∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°?∠C=90°?70°=20°，∴∠DAE=∠EAC?∠CAD=30°?20°=10°；∵AE，BF是角平分線，∴∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC，∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=(180°?∠C)=12×(180°?70°)=55°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．例3．（2020·山東淄博市·七年級期中）中，是的角平分線，是的高．（1）如圖1，若，請說明的度數(shù)；（2）如圖2（），試說明的數(shù)量關系；（3）如圖3，延長到點，和的角平分線交于點，請求出的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）先根據(jù)三角形的內角和定理求得、，再根據(jù)角平分線的定義得到，最后根據(jù)角的和差解答即可；（2）先根據(jù)三角形的內角和定理求得、，再根據(jù)角平分線的定義得到，然后根據(jù)角的和差表示出來即可；（3）先根據(jù)角平分線的定義得到，再結合三角形外角的性質得到，然后根據(jù)題意得到，最后算出∠G即可．【詳解】解：（1）是的高，是的角平分線，，．（2）是的高，是的角平分線，，即；（3）和的角平分線交于點，，即，是的高，，．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理、角平分線的定義、三角形外角的性質等知識點，靈活應用相關知識成為解答本題的關鍵．【好題演練】一、填空題1．（2020·哈爾濱市第四十七中學七年級期中）如圖，在中，、分別是的高和角平分線，，，則__________度．【答案】5【分析】先根據(jù)三角形的內角和定理得到∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC進行計算即可．【詳解】解：在△ABC中，

∵∠B=50°，∠C=60°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，

∵AE是的角平分線，

∴∠EAC=∠BAC=×70°=35°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°

∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，

∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°．故答案為：5.【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和是180°是解答此題的關鍵．2．（2019·上海市市西初級中學八年級期末）如圖，中，一內角和一外角的平分線交于點連結，_______________________.

【答案】66°【分析】過D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延長線于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，兩者結合，得∠BAC=2∠CDB，則∠HAC=180o-∠BAC，在證AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．【詳解】過D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延長線于H，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24o=48o，∴∠HAC=180o-∠BAC=180o-48o=132o，∵DH=DF，DG=DF，∴DH=DG，∵DG⊥AC，DH⊥BA，AD平分∠HAC，∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132o=66o．故答案為：66．【點睛】本題考查角的求法，關鍵是掌握點D為兩角平分線交點，可知AD為角平分線，利用好外角與內角的關系，找到∠BAC=2∠CDB是解題關鍵．二、解答題3．（2020·山西晉城市·七年級期末）（1）如圖1，的內角的平分線與外角的平分線相交于P點，請?zhí)骄颗c的關系，并說明理由（2）如圖②③，四邊形ABCD中，設為四邊形ABCD的內角與外角的平分線所在直線相交而形成銳角，請利用（1）中的結論完成下列問題：①如圖②，若，求的度數(shù)（用的代數(shù)式表示，記得把圖轉化為圖）②如圖③，若，請在圖③中畫出，并直接寫出=______（用的代數(shù)式表示）【答案】（1）2∠P＝∠A；理由見解析；（2）①∠P＝（α+β）﹣90°；②∠P＝90°﹣．【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，再根據(jù)角平分線的性質可得2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，運用等量代換即可得解；（2）①添加輔助線，延長BA交CD的延長線于F，利用（1）中結論解決問題即可；②添加輔助線，延長AB交DC的延長線于F，同①的思路求解即可．【詳解】（1）如圖1中，結論：2∠P＝∠A．理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，∵P點是∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴2∠P＝∠A；（2）①延長BA交CD的延長線于F．∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P＝∠F，∴∠P＝（α+β）﹣90°；②如圖3，延長AB交DC的延長線于F．∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣．【點睛】本題考查了三角形的外角性質的應用和角平分線的定義，能正確運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．4．（2018·山西晉城市·七年級期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．①當α＝70°時，∠BDC度數(shù)＝度（直接寫出結果）；②∠BDC的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE角平分線交于點F，求∠BFC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線與∠GCB的角平分線交于點M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【分析】（1）①由三角形內角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根據(jù)角平分線的定義，結合三角形內角和定理可求∠BDC；②由三角形內角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推導方法即可求解；（2）由三角形外角性質得，然后結合角平分線的定義求解；（3）由折疊的對稱性得，結合（1）②的結論可得答案．【詳解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠AB