專題34三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題【規(guī)律總結(jié)】1、“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半.”?又可敘述為：“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于它的半周長(zhǎng)與斜邊的差.”或"直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩直角邊的和與斜邊的差.”2、“三角形內(nèi)切圓半徑等于三角形的面積與半周長(zhǎng)的商.”【典例分析】例1．（2020·湖北武漢市·九年級(jí)月考）如圖，在中，其周長(zhǎng)為20，是的內(nèi)切圓，其半徑為，則的外接圓半徑為（）A．7 B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，由結(jié)合面積求出BC的長(zhǎng)，由內(nèi)心可以求出，的外接圓圓心為O,F是優(yōu)弧BC上任意一點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥BC于E，求出圓心角，最后由垂徑定理求出半徑OB【詳解】過(guò)C作CD⊥AB于D，的外接圓圓心為O,F是優(yōu)弧BC上任意一點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥BC于E，設(shè)，∵，∴，∵在周長(zhǎng)為20，內(nèi)切圓半徑為，∴，∴∴中，∴∵在周長(zhǎng)為20，∴∴解得∵是的內(nèi)心∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB∴∵∴∴∵°∴∴∵OE⊥BC∴,∴故選D【點(diǎn)睛】本題綜合考察三角形的內(nèi)心和外心，熟記內(nèi)心和外心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵例2．（2019·廣東廣州市·九年級(jí)一模）如圖，在中，，，，⊙為的內(nèi)切圓，，與⊙分別交于點(diǎn)，．則劣弧的長(zhǎng)是_______．【答案】【分析】先利用勾股定理計(jì)算出，再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算方法得到，接著三角形角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，為的內(nèi)切圓，，平分，平分，，劣弧的長(zhǎng)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算方法和弧長(zhǎng)公式．例3．（2020·安徽蕪湖市·蕪湖一中九年級(jí)）如圖1，設(shè)是一個(gè)銳角三角形，且，為其外接圓，分別為其外心和垂心，為圓直徑，為線段上一動(dòng)點(diǎn)且滿足．（1）證明：為中點(diǎn)；（2）過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：；（3）直線與圓的另一交點(diǎn)為（如圖2），以為直徑的圓與圓的另一交點(diǎn)為．證明：若三線共點(diǎn)，則；反之也成立．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）連接AD，BD，得，結(jié)合H為垂心，，得出四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合平行，O為CD中點(diǎn)，可得M為BC中點(diǎn)；（2）過(guò)作，由，為平行四邊形，證明H為的垂心，從而得到；（3）設(shè)與交點(diǎn)為，得到，證明H是的垂心，證明三線共點(diǎn)得三點(diǎn)共線，得到．【詳解】解：（1）連接，則，又為垂心∴，∴∴四邊形為平行四邊形∴，又為中點(diǎn)∴為中點(diǎn)（2）過(guò)作連接，由（1）可知四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形∵∴∴為垂心∴∴（3）設(shè)與交點(diǎn)為由（1）可知四邊形為平行四邊形∴為直徑中點(diǎn)而圓與圓相交弦為∴∴設(shè)則為垂心∴三線共點(diǎn)三點(diǎn)共線【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)的綜合問(wèn)題，熟知圓的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂心的作用是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·浙江金華市·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接OE，OF．

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，

∴OE⊥AB，OF⊥BC，

∴∠OEB=∠OFB=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴∠EOF=120°，

∴∠EPF=∠EOF=60°，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．2．（2020·浙江溫州市·九年級(jí)二模）如圖，已知矩形的周長(zhǎng)為，和分別為和的內(nèi)切圓，連接，，，，，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)AB=x，BC=y，內(nèi)切圓半徑為r，由矩形的對(duì)稱性知，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與三角形面積間的關(guān)系得到x、y、r的關(guān)系式，再由推導(dǎo)出x、y、r的關(guān)系，從而分別求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.【詳解】如圖，設(shè)AB=x，BC=y，內(nèi)切圓半徑為r，則AC=∵矩形的周長(zhǎng)為，∴x+y=8①∵和分別為和的內(nèi)切圓，∴②由矩形的對(duì)稱性知，∵，∴，∴，即③由①、②、③聯(lián)立方程組，解得：r=1，xy=14，，作EH⊥FH于H，由勾股定理得：=36-32+8=12，∴EF=，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)切圓半徑與面積、周長(zhǎng)間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.二、填空題3．（2019·沙坪壩區(qū)·重慶八中九年級(jí)月考）如圖，是四邊形的內(nèi)切圓，連接、、、．若，則的度數(shù)是____________．【答案】【分析】如圖，設(shè)四個(gè)切點(diǎn)分別為點(diǎn)，分別連接切點(diǎn)與圓心，可以得到4對(duì)全等三角形，進(jìn)而得到，，，，根據(jù)這8個(gè)角和為360°，∠1+∠8=，即可求出=∠5+∠4=72°．【詳解】解：設(shè)四個(gè)切點(diǎn)分別為點(diǎn)，分別連接切點(diǎn)與圓心，則，，，且，在與中∴，∴，同理可得：，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等等知識(shí)點(diǎn)，一般情況下，已知直線為圓的切線，構(gòu)造過(guò)切點(diǎn)的半徑是常見(jiàn)輔助線做法．4．（2019·湖南廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，將邊長(zhǎng)為8的正方形紙片沿著折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處。點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】由勾股定理可求ME＝5，BE＝3，通過(guò)證明△AMG∽△BEM，可得AG＝，GM＝，即可求解．【詳解】解：∵將邊長(zhǎng)為8的正方形紙片沿著折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，∴ME＝CE，MB＝AB＝4＝AM，＝90°，在Rt△MBE中，ME2＝MB2＋BE2，∴ME2＝16＋（8－ME）2，∴ME＝5,∴BE＝3，∵＝90°＝∠B，∴∠EMB＋∠BEM＝90°，＝90°,∴,且＝90°，∴△AMG∽△BEM，∴，∴，∴AG＝，GM＝，∴△AMG的內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)＝故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)求出AG、GM的長(zhǎng)度．三、解答題5．（2019·浙江杭州市·九年級(jí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（）（1）當(dāng)點(diǎn)落到軸正半軸上時(shí)，求邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；（2）若線段與軸的交點(diǎn)為（如圖2），線段與直線的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)內(nèi)切圓的半徑；（3）設(shè)的周長(zhǎng)為，試判斷在正方形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中值是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不發(fā)生變化，理由見(jiàn)詳解.【分析】（1）由題意當(dāng)點(diǎn)落到軸正半軸上時(shí)，邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積由此計(jì)算即可．（2）如圖2中，在取一點(diǎn)，使得，首先證明是等腰直角三角形，推出，設(shè)，則，可得，解得，推出，同理可得，推出，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則有，由此求出即可解決問(wèn)題．（3）在正方形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中值不發(fā)生變化．如圖3中，延長(zhǎng)到使得．只要證明，推出，，再證明，推出，推出的周長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖1中，由題意當(dāng)點(diǎn)落到軸正半軸上時(shí)，邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積．（2）如圖2中，在取一點(diǎn)，使得，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，同理可得，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則有，．（3）在正方形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中值不發(fā)生變化．理由：如圖3中，延長(zhǎng)到使得．，，，，，，，，，，，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)為定值．【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．6．（2015·河南九年級(jí)其他模擬）閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,內(nèi)切圓O的半徑為r連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形．∴．（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），如圖（2），各邊長(zhǎng)分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r；（2）理解應(yīng)用：如圖(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求的值.【答案】（1）（2）.【分析】（1）如圖，連接OA、OB、OC、OD，則△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)、高都是r的三角形，根據(jù)即可求得四邊形的內(nèi)