2023—2024學(xué)年度上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分．）1．如圖，該幾何體的左視圖是（

）A． B．C． D．2．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B．，且 C．，且 D．3．受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢．某地號汽油價格三月底是元/升，五月底是元/升．設(shè)該地號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A． B．C． D．4．下列命題中，錯誤的是（

）A．順次連接矩形四邊的中點所得到的四邊形是菱形B．點，都在反比例函數(shù)圖象上，且，則C．線段的長度是2，點是線段的黃金分割點且，則D．對于任意的實數(shù)，方程有兩個不相等的實數(shù)根5．已知線段a,b,c,求作線段x，使，下列作法中正確的是（

）A． B．C． D．6．如圖，廣場上有一盞路燈掛在電線桿頂，記電線桿的底部為．把路燈看成一個點光源，一名身高的女孩站在點處，，女孩的影子長為，路燈的高度是（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，再分別以點，為圓心，大于的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點；連接并延長交于點，連接，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．無法確定8．如圖，在中，，，動點P從點A開始沿邊運動，速度為；動點Q從點B開始沿邊運動，速度為；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過（）秒時與相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒9．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線長恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？設(shè)門對角線的長為x尺，下列方程符合題意的是（）A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）210．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，已知S△AEF＝3，則下列結(jié)論：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正確的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．已知、、滿足，、、都不為0，則．12．小穎媽媽經(jīng)營的玩具店某次進(jìn)了一箱黑白兩種顏色的塑料球4000個，為了估計兩種顏色的球各有多少個，她將箱子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，多次重復(fù)上述過程后，她發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率在0.6附近波動，據(jù)此可以估計黑球的個數(shù)約是．13．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體AB的高度為36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度應(yīng)為cm．14．如圖，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點，反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點，連接．若四邊形的面積為3，則．15．如圖，在菱形中，，點，分別是，上任意的點（不與端點重合），且，連接與相交于點，連接與相交于點．給出如下幾個結(jié)論：①；②若，則；③與一定不垂直；④的大小為定值．其中正確的結(jié)論有．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、驗算步驟和推理過程）16．解方程：．17．如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，，都在格點上，利用格點按要求完成下列作圖．（要求僅用無刻度的直尺，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡）(1)圖1中，以為位似中心，位似比為，在格點上將放大得到；請畫出；(2)圖2中，以線段為邊畫一個三角形，使它與相似．(3)圖3中，在線段上畫一個點，使．18．隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻?、便捷，在一次購物中，張華和李紅都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”、“現(xiàn)金”四種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付．(1)張華用“微信”支付的概率是______．(2)請用畫樹狀圖或列表法求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．(其中“微信”、“支付寶”、“銀行卡”、“現(xiàn)金”分別用字母“A”“B”“C”“D”代替)19．如圖，對角線，相交于點O，過點D作且，連接，，．

(1)求證：是菱形；(2)，，求的長．20．某文具店新進(jìn)一批體育中考專用排球，每個排球的進(jìn)價為元，原計劃以每個元的價格銷售，為更好地滿足學(xué)生的需求，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種排球銷售量個與每個排球降價元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在這次排球銷售中，該文具店獲利元，這種排球每個的實際售價多少元？21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸、軸交于點，兩點．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)若點是第四象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點，的面積是的面積的倍，求點的坐標(biāo)．22．某數(shù)學(xué)建模小組在綜合實踐課上探究面積為4，周長為m的矩形問題時，發(fā)現(xiàn)矩形的面積與周長存在一定的關(guān)系．他們在解決此問題時通常采用“代數(shù)”的方法解決，但也可以從“圖形”的角度來研究它．(1)構(gòu)建模型：當(dāng)時，設(shè)矩形的長和寬分別為x，y，則，，滿足要求的可以看成反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)在第一象限內(nèi)的交點坐標(biāo)．從圖①中觀察到，交點坐標(biāo)為______，即滿足當(dāng)矩形面積為4時，周長是10的矩形是存在的；(2)問題探究：根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)，時，滿足要求的，可以看成反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)______的交點坐標(biāo)，而此一次函數(shù)圖象可由直線平移得到．請在圖②的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出直線．當(dāng)直線平移到與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點時，周長m的值為______；(3)拓展應(yīng)用：寫出周長m的取值范圍．23．2022版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指明推理能力是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力，目前我們已經(jīng)具備應(yīng)用已學(xué)知識證明其他結(jié)論的能力．請閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．【方法解析】求證：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”如圖1，中，，是斜邊上的中線．求證：．分析：要證明等于的一半．可以用“倍長法”將延長一倍，如圖2，延長到，使得．連接，．可證四邊形是矩形，由矩形的對角線相等得，這樣將直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為矩形對角線的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到．

（1）請你按材料中的分析寫出證明過程；【數(shù)學(xué)思想】（2）上述證明方法中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是________；A．轉(zhuǎn)化思想

B．類比思想

C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

D．從一般到特殊思想【知識遷移】（3）如圖3，點是線段上一點，，點是線段上一點，分別連接，點，分別是和的中點，連接．若，，，請求的長．

參考答案與解析

1．D【分析】畫出從左面看到的圖形即可．【詳解】解：該幾何體的左視圖是一個長方形，并且有一條隱藏的線用虛線表示，如圖所示：，故選：D．【點睛】本題考查三視圖，具備空間想象能力是解題的關(guān)鍵，注意看不見的線要用虛線畫出．2．C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，然后求出兩個不等式解集的公共部分即可．【詳解】解：由題意得，k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，解得：k＜5且k≠1．故選：C．【點睛】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．3．A【分析】設(shè)該地號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為，根據(jù)三月底和五月底92號汽油價格，得出關(guān)于x的一元二次方程即可．【詳解】解：依題意，得．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解決實際問題的知識，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程式解題關(guān)鍵．4．B【分析】本題考查的是中點四邊形、反比例函數(shù)的性質(zhì)、黃金分割、一元二次方程根的判別式，掌握相關(guān)的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中點四邊形、反比例函數(shù)的性質(zhì)、黃金分割、一元二次方程根的判別式計算，判斷即可．【詳解】解：A、順次連接矩形四邊的中點所得到的四邊形是菱形，本選項命題正確，不符合題意；B、點都在反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)或時，，故本選項命題錯誤，符合題意；C、線段的長度是2，點C是線段的黃金分割點且，則，本選項命題正確，不符合題意；D、，∴對于任意的實數(shù)b,方程有兩個不相等的實數(shù)根，本選項命題正確，不符合題意；故選：B．5．D【詳解】根據(jù)平行線的性質(zhì)一一分析．解：A、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故x=，故此選項錯誤；B、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故x=，故此選項錯誤；C、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故x=，故此選項錯誤；D、根據(jù)平行線的性質(zhì)得故x=，故此選項正確．故選D．6．C【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，證明得到，然后代入對應(yīng)線段的值進(jìn)行計算求解即可．【詳解】解：如圖所示，由題意得，∴，∴，即，解得，故選：C．7．A【分析】本題考查了作圖—基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．利用基本作圖得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，則，可得，從而得到，于是可判斷四邊形為菱形，于是得到四邊形的周長．【詳解】解：由作法得：平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，∴四邊形的周長．故選：A．8．C【分析】設(shè)經(jīng)過秒時,與相似,則,利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行分類討論：當(dāng)時,,即當(dāng)時,,即然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過秒時,與相似,則,當(dāng)時,,即解得：當(dāng)時,,即解得：綜上所述：經(jīng)過或秒時,與相似故選：C【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析題意列出方程求解．9．B【分析】由題意可得門高（x﹣2）尺、寬（x﹣4）尺，對角線長為x尺，根據(jù)勾股定理可得的方程．【詳解】解：設(shè)門對角線的長為x尺，由題意得：（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，故選：B．【點睛】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．10．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE＝CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，等量代換得到AF＝AD，于是得到＝；故①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到S△BCE＝36；故②正確；根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABE＝9，故③錯誤；由于△AEF與△ADC只有一個角相等，于是得到△AEF與△ACD不一定相似，故④錯誤．【詳解】解：∵在?ABCD中，AO＝AC，∵點E是OA的中點，∴AE＝CE，∵ADBC，∴△AFE∽△CBE，∴＝，∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝；故①正確；∵S△AEF＝3，，∴S△BCE＝27；故②正確；∵，∴，∴S△ABE＝9，故③錯誤；∵BF不平行于CD，∴△AEF與△ADC只有一個角相等，∴△AEF與△ACD不一定相似，故④錯誤，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．##【分析】設(shè)，則，，，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯鸨绢}的關(guān)鍵．12．2400．【分析】因為摸到黑球的頻率在0.6附近波動，所以摸出黑球的概率為0.6，再設(shè)出黑球的個數(shù)，根據(jù)概率公式列方程求解即可；【詳解】設(shè)黑球的個數(shù)為x，∵摸到黑球的頻率在0.6附近波動，∴摸出黑球的概率為0.6，∴，∴；故答案是2400．【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率的知識點，利用方程求解是解題的關(guān)鍵．13．16【分析】正確理解小孔成像的原理，因為所以∽，則有而AB的值已知，所以可求出CD．【詳解】∽，又．【點睛】相似比等于對應(yīng)高之比在相似中用得比較廣泛．14．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上點向坐標(biāo)軸作垂線，與原點構(gòu)成的直角三角形面積等于，數(shù)形結(jié)合可以得到，根據(jù)圖像均在第一象限可知，再由四邊形的面積為3，得到，即可得到答案．【詳解】解：矩形OABC與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點，由反比例函數(shù)中的幾何意義知，，矩形OABC與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖像交于點，由反比例函數(shù)中的幾何意義知，，四邊形的面積為3，由圖可知，，即，解得，，故答案為：6．【點睛】本題考查反比例函數(shù)中的幾何意義的應(yīng)用，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，將所求代數(shù)式準(zhǔn)確用的幾何意義對應(yīng)的圖形面積表示出來是解決問題的關(guān)鍵．15．①②④【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)，再結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)，對每個結(jié)論一一判斷求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，又，∴，∴是等邊三角形，∴，在與中，，∴，①符合題意；∴，由①得，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴④符合題意；③當(dāng)點E，F(xiàn)分別是，中點時，由（1）知，，為等邊三角形，∵點E，F(xiàn)分別是，中點，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴③不符合題意；過點F作交于P點，如圖，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，故②符合題意；所以，正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．16．，【分析】本題考查了解一元二次方程．移項后，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，∴，∴或，解得，．17．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了在網(wǎng)格中畫位似圖形和相似三角形，解題的關(guān)鍵是作出對應(yīng)點的位置．（1）根據(jù)位似比為，畫出點A、B的對應(yīng)點、，然后順次連接即可；（2）取格點，連接即可；（3）取格點、，連接交于點P．【詳解】（1）解：即為所求（2）解：即為所求根據(jù)勾股定理得：，，∴，∵，∴；（3）解：點P即為所求，∵，∴，，∴，∴．18．(1)；(2).【分析】(1)直接利用概率公式求解可得．(2)首先根據(jù)題意列表，然后列表求得所有等可能的結(jié)果與兩人恰好選擇同一種支付方式的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：(1)張華用“微信”支付的概率是，故答案為；(2)列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)由列表或樹狀圖可知，共有16種結(jié)果，且每種結(jié)果的可能性相同，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有4種，故P(兩人恰好選擇同一種支付方式)＝．【點睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的結(jié)果．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．(1)證明見解析(2)的長為【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再證平行四邊形是矩形，則，得，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）證是等邊三角形，得，再由勾股定理得：，然后由矩形的性質(zhì)得，，即可解決問題．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形．，∴平行四邊形是矩形，，，是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，在中，由勾股定理得：，由（1）可知，四邊形是矩形，，，，即的長為．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)元【分析】（1）根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用總利潤每個排球的銷售利潤銷售量，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，再將其符合題意的值代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入得：，解得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，不符合題意，舍去，．答：這種排球每個的實際售價是元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：利用待定系數(shù)法，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．21．(1)，．(2)．【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)代入，，求得，進(jìn)而可得，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式分別令，得出，，根據(jù)，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：點在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；點在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，點，在一次函數(shù)的圖象上，，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為：（2）由（1）得，一次函數(shù)的解析式為，令，則；令，則，，，，，，，設(shè)點，解得，【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題，三角形的面積問題，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(1)，(2)，(3)【分析】(1)由圖即可得到兩交點的坐標(biāo)，即可求解；(2)由得，直接畫出的圖象，根據(jù)兩圖象只有一個交點時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)解，據(jù)此即可求解；(3)當(dāng)面積為4，周長為m的矩形存在，即兩函數(shù)圖象有交點