2/2高頻考點(diǎn)：一次函數(shù)一、一次函數(shù)的圖象【高頻考點(diǎn)精講】1．一次函數(shù)的圖象的畫(huà)法：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直線y＝kx+b。注意：①使用兩點(diǎn)法畫(huà)一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點(diǎn)，而要根據(jù)具體情況，所選取的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)盡量取整數(shù)，以便于描點(diǎn)準(zhǔn)確；②一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線（正比例函數(shù)是過(guò)原點(diǎn)的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象．如x＝a，y＝b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象。2．一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y＝kx+b，可以看做由直線y＝kx平移|b|個(gè)單位而得到．當(dāng)b＞0時(shí)，向上平移；b＜0時(shí)，向下平移。注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；③兩條直線相交，其交點(diǎn)都適合這兩條直線。【熱點(diǎn)題型精練】1．（2021?寧夏中考）已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在直線y＝kx+b（k≠0）上，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y2＞y1，且kb＞0，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它的圖象大致是（）A． B． C． D．解：∵點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在直線y＝kx+b（k≠0）上，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y2＞y1，且kb＞0，∴k＞0，b＞0，∴直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，答案：A．2．（2021?阿壩州中考）已知一次函數(shù)y＝ax﹣1，若y隨x的增大而減小，則它的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限．解：∵在一次函數(shù)y＝ax﹣1中，若y隨x的增大而減小，∴a＜0，該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），∴該函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，∴該函數(shù)不經(jīng)過(guò)第一象限，答案：一．3．（2021?自貢中考）當(dāng)自變量﹣1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣k|（k為常數(shù)）的最小值為k+3，則滿足條件的k的值為﹣2．解：當(dāng)x≥k時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣k|＝x﹣k，此時(shí)y隨x的增大而增大，而﹣1≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最小值為k+3，∴x＝﹣1時(shí)取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+3，解得k＝﹣2，（此時(shí)﹣1≤x≤3，x≥k成立），當(dāng)x＜k時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣k|＝﹣x+k，此時(shí)y隨x的增大而減小，而﹣1≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最小值為k+3，∴x＝3時(shí)取得最小值，即有﹣3+k＝k+3，此時(shí)無(wú)解，答案：﹣2．二、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【高頻考點(diǎn)精講】由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．①k＞0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0?y＝kx+b的圖象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0?y＝kx+b的圖象在二、三、四象限?！緹狳c(diǎn)題型精練】4．（2021?柳州中考）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．k＞0 B．b＝2 C．y隨x的增大而增大 D．x＝3時(shí)，y＝0解：觀察一次函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，圖象過(guò)第一、二、四象限，∴k＜0，A錯(cuò)誤；∴函數(shù)值y隨x的增大而減小，C錯(cuò)誤；∵圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，2）∴b＝2，B正確；∵圖象與x軸的交點(diǎn)為（4，0）∴x＝4時(shí)，y＝0，D錯(cuò)誤．答案：B．5．（2021?眉山中考）一次函數(shù)y＝（2a+3）x+2的值隨x值的增大而減少，則常數(shù)a的取值范圍是a＜﹣．解：∵一次函數(shù)y＝（2a+3）x+2的值隨x值的增大而減少，∴2a+3＜0，解得a＜﹣．答案：a＜﹣．6．（2021?成都中考）在正比例函數(shù)y＝kx中，y的值隨著x值的增大而增大，則點(diǎn)P（3，k）在第一象限．解：∵在正比例函數(shù)y＝kx中，y的值隨著x值的增大而增大，∴k＞0，∴點(diǎn)P（3，k）在第一象限．答案：一．三、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【高頻考點(diǎn)精講】一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b），直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b。【熱點(diǎn)題型精練】7．（2021?嘉興中考）已知點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，則下列不等式一定成立的是（）A．≤ B．≥ C．≥ D．≤解：∵點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，當(dāng)a＝﹣時(shí)，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．答案：D．8．（2021?賀州中考）如圖，一次函數(shù)y＝x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P，C分別是線段AB，OB上的點(diǎn)，且∠OPC＝45°，PC＝PO，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4﹣2）．解：∵一次函數(shù)y＝x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，y＝x+4中，令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝﹣4，∴AO＝BO＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，過(guò)P作PD⊥OC于D，則△BDP是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，在△PCB和△OPA中，，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝＝2，∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2，∵PD＝BD＝2，∴P（﹣2，4﹣2），故答案為（﹣2，4﹣2）．9．（2021?梧州中考）如圖，直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1，在直線l上順次取點(diǎn)A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），構(gòu)成形如“”的圖形的陰影部分面積分別表示為S1，S2，S3，…，Sn，則S2021＝4044．解：由題意得：S1＝2×3﹣2×1＝4＝2×（1+1），S2＝4×3﹣2×3＝6＝2×（2+1），S3＝5×4﹣4×3＝8＝2×（3+1），S4＝6×5﹣5×4＝10＝2×（4+1），?∴Sn＝2（n+1），∴S2021＝2×（2021+1）＝4044．答案：4044．四、一次函數(shù)圖象與幾何變換【高頻考點(diǎn)精講】直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）①關(guān)于x軸對(duì)稱，就是x不變，y變成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（關(guān)于X軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來(lái)的相反數(shù)）②關(guān)于y軸對(duì)稱，就是y不變，x變成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來(lái)的相反數(shù)）③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，就是x和y都變成相反數(shù)：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)）【熱點(diǎn)題型精練】10．（2021?陜西中考）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y＝﹣2x向上平移3個(gè)單位，平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，m），則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5解：將直線y＝﹣2x向上平移3個(gè)單位，得到直線y＝﹣2x+3，把點(diǎn)（﹣1，m）代入，得m＝﹣2×（﹣1）+3＝5．答案：D．11．（2021?揚(yáng)州中考）如圖，一次函數(shù)y＝x+的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，把直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點(diǎn)C，則線段AC長(zhǎng)為（）A．+ B．3 C．2+ D．+解：∵一次函數(shù)y＝x+的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣，則A（﹣，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB＝＝2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，又BD＝AB+AD＝2+x，∴2+x＝x，解得：x＝+1，∴AC＝x＝（+1）＝，答案：A．12．（2021?北京中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＞﹣2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．解：（1）函數(shù)y＝x的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝x﹣1，∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x﹣1．（2）把x＝﹣2代入y＝x﹣1，求得y＝﹣2，∴函數(shù)y＝mx（m≠0）與一次函數(shù)y＝x﹣1的交點(diǎn)為（﹣2，﹣2），把點(diǎn)（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，∵當(dāng)x＞﹣2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝x﹣1的值，∴≤m≤1．五、一次函數(shù)與一元一次不等式【高頻考點(diǎn)精講】1．一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．2．用畫(huà)函數(shù)圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）對(duì)應(yīng)一次函數(shù)y＝kx+b，它與x軸交點(diǎn)為（﹣，0）．當(dāng)k＞0時(shí)，不等式kx+b＞0的解為：x＞，不等式kx+b＜0的解為：x＜；當(dāng)k＜0，不等式kx+b＞0的解為：x＜，不等式kx+b＜0的解為：x＞．【熱點(diǎn)題型精練】13．（2021?鄂州中考）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法．如圖，直線y＝2x﹣1與直線y＝kx+b（k≠0）相交于點(diǎn)P（2，3）．根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（）A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3解：根據(jù)圖象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集為：x＞2，答案：C．14．（2021?婁底中考）如圖，直線y＝x+b和y＝kx+4與x軸分別相交于點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（2，0），則解集為（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2解：∵當(dāng)x＞﹣4時(shí)，y＝x+b＞0，當(dāng)x＜2時(shí)，y＝kx+4＞0，∴解集為﹣4＜x＜2，答案：A．15．（2021?自貢中考）函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具．探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．請(qǐng)結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫(huà)出函數(shù)y＝﹣的圖象，并探究其性質(zhì)．列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…a0b﹣2﹣﹣…（1）直接寫(xiě)出表中a、b的值，并在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖象；（2）觀察函數(shù)y＝﹣的圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題：①當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；②x＝2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為﹣2；③﹣1＜x＜1時(shí)，函數(shù)y的值隨x的增大而減?。渲姓_的是②③．（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確命題的番號(hào)）（3）結(jié)合圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式＞x的解集x＜﹣2或0＜x＜2．解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣＝2，把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣＝﹣，∴a＝2，b＝﹣，函數(shù)y＝﹣的圖象如圖所示：（2）觀察函數(shù)y＝﹣的圖象，①當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，函數(shù)圖象原點(diǎn)對(duì)稱；錯(cuò)誤；②x＝2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為﹣2；正確；③﹣1＜x＜1時(shí)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小，正確．故答案為②③；（3）由圖象可知，函數(shù)y＝﹣與直線y＝﹣x的交點(diǎn)為（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2）∴不等式＞x的解集為x＜﹣2或0＜x＜2．六、一次函數(shù)的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)精講】1．分段函數(shù)問(wèn)題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際；2．函數(shù)的多變量問(wèn)題解決含有多變量問(wèn)題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問(wèn)題的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)；3．概括整合（1）簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問(wèn)題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用；（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵?！緹狳c(diǎn)題型精練】16．（2021?武漢中考）一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運(yùn)往乙地，其中快車送達(dá)后立即沿原路返回，且往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y（單位：km）與慢車行駛時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)關(guān)系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時(shí)間是（）A．h B．h C．h D．h解：根據(jù)圖象可知，慢車的速度為．對(duì)于快車，由于往返速度大小不變，總共行駛時(shí)間是4h，因此單程所花時(shí)間為2h，故其速度為．所以對(duì)于慢車，y與t的函數(shù)表達(dá)式為①．對(duì)于快車，y與t的函數(shù)表達(dá)式為y＝，聯(lián)立①②，可解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為t＝3，聯(lián)立①③，可解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為t＝4.5，因此，兩車先后兩次相遇的間隔時(shí)間是1.5，答案：B．17．（2021?濟(jì)南中考）漏刻是我國(guó)古代的一種計(jì)時(shí)工具．據(jù)史書(shū)記載，西周時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了漏刻，這是中國(guó)古代人民對(duì)函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用．小明同學(xué)依據(jù)漏刻的原理制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的漏刻計(jì)時(shí)工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位h（cm）是時(shí)間t（min）的一次函數(shù)，如表是小明記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其中有一個(gè)h的值記錄錯(cuò)誤，請(qǐng)排除后利用正確的數(shù)據(jù)確定當(dāng)h為8cm時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間t為15min．t（min）…1235…h(huán)（cm）…2.42.83.44…解：設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為h＝kt+b，t每增加一個(gè)單位h增加或減少k