專(zhuān)題12：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

-備戰(zhàn)2021高考之2020新高考真題分項(xiàng)匯編

一、填空題

1.（2020?全國(guó)高考真題（理））設(shè)有下列四個(gè)命題：

pi：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/U平面a,直線〃?，平面a,則，

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是.

①Pl人，4②P|A③-'「2V，3④-V?3

答案：①③④

解答：

對(duì)于命題Pi，可設(shè)4與6相交，這兩條直線確定的平面為a；

若4與4相交，則交點(diǎn)A在平面a內(nèi)，

同理，4與12的交點(diǎn)B也在平面?內(nèi)，

所以，ABua,即gua,命題P］為真命題；

對(duì)于命題P2,若三點(diǎn)共線，則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè),

命題Pi為假命題；

對(duì)于命題P3,空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題”3為假命題；

對(duì)于命題P4,若直線加，平面a,

則〃?垂直于平面a內(nèi)所有直線，

???直線/u平面口,，直線機(jī)_L直線/,

命題P4為真命題.

綜上可知，P1,P4為真命題，P2'P3為假命題，

PlAP4為真命題，PlAp2為假命題，

VP3為真命題，V為真命題.

故答案為：①③④.

二、解答題

2.(2020?海南高考真題)如圖，四棱錐P-A8C。的底面為正方形，PO_L底面A8CD.設(shè)平面以力與平面

PBC的交線為/.

(1)證明：/，平面PDC；

(2)已知尸。=4。=1,。為/上的點(diǎn)，QB=母,求PB與平面QC￡＞所成角的正弦值.

答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)逅.

3

解答：

(1)證明：

在正方形ABC。中，AD//BC，

因?yàn)锳D?平面P8C，BCu平面PBC，

所以AD〃平面PBC,

又因?yàn)锳Ou平面Q4O，平面PA。。平面尸8。=/,

所以4)〃/,

因?yàn)樵谒睦忮F尸―A8C。中，底面48co是正方形，所以

且P￡＞_L平面ABC。，所以AT)_LPO,.?./_LPD,

因?yàn)?。包＞=。

所以/!_平面叨C：

(2)如圖建立空間宜角坐標(biāo)系。一個(gè)z,

因?yàn)镻Z)=AD=1，則有0(0,0,0),C(0,J,0),A(l,0,0),P(0,0,1),5(1,1,0),

設(shè)。(加,0,1),則有反=(0,1,0),而=(見(jiàn)0,1),麗=(1,1,一1),

因?yàn)镼B=-y/2，所以有yl(m-l')2+(0—I)2+(1—0)2=V2=>;?7=1

設(shè)平面QCD的法向量為n=(x,y,z),

DCn=0y=0

則一，即《

x+z=O

令x=l,則z=—1,所以平面QCD的一個(gè)法向量為7=(1,0,-1),則

--nPB1+0+12V6

COS<71,PB>=1“1.]——/—j=——f=—產(chǎn)——.

解叫-J]2+02+(-1)2-Vl2+12+12&X63

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與

平面所成角的正弦值等于Icos<n,PB>1=手

所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值為逅.

3

3.(2020?浙江高考真題)如圖,三棱臺(tái)A8C—OE/中，平面AC">J_平面ABC,ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.

(I)證明：EFLDB；

(ID求。F與面。8c所成角的正弦值.

答案：（1）證明見(jiàn)解析；（II）立

3

解答：

（I）作O〃_LAC交AC于〃，連接8”.

?.?平面ADFC_L平面A8C，而平面AORCA平面ABC=AC，DHu平面ADFC，

二DH_L平面ABC,而B(niǎo)Cu平面ABC，即有。

,/ZACB=ZACD=45°,

???CD=y[2CH=2BCnCH=叵BC.

在ACB"中，BH2=CH2+BC2-2CH-BCcos45°-BC2）即有BH?+BC2=CH?，：?BH上BC.

由棱臺(tái)的定義可知，EFIIBC,所以DH_LEF,BH±EF,而B(niǎo)HCDH=H，

，￡F_L平面BHO，而B(niǎo)Du平面BHD,/?EF±DB.

（II）因?yàn)镈FHCH,所以。尸與平面。BC所成角即為與C"平面DBC所成角.

作“G_L8O于G,連接CG,由（1）可知，3CJ_平面由力＞,

因?yàn)樗云矫鍮CD1.平面BHD,而平面BCD口平面BHD=BD，

HGu平面BHD，...HG±平面BCD.

即CH在平面DBC內(nèi)的射影為CG,4HCG即為所求角.

在放△HGC中，設(shè)BC=a，則C”=0a，HG=BH'DH=^'-=^

BDJ3aJ3

；.sin/HCG=^=\=?

CH63

故OE與平面O8C所成角的正弦值為

4.（2020?江蘇高考真題）在三棱柱ABC-AiBiG中，ABVAC,平面ABC,E,F分別是AC,BC的中

點(diǎn).

(1)求證：M〃平面ABCi；

(2)求證：平面A8iC_L平面ABBi.

答案：(1)證明詳見(jiàn)解析；(2)證明詳見(jiàn)解析.

解答：

(1)由于瓦尸分別是4C,gC的中點(diǎn)，所以EF//AB」

由于所仁平面AB,C,,AB,c平面AB,C,,所以EFII平面AB￡.

(2)由于4。，平面ABC,ABI平面ABC，所以qCLAB.

由于A3，AC,ACcgC=C,所以AB_L平面AgC.

由于ABi平面ABB-所以平面AB。_L平面

5.(2020.全國(guó)高考真題(理))如圖，在長(zhǎng)方體A8CO-44GA中，點(diǎn)分別在棱。上，且

2DE=EQ,BF=2FB-

（1）證明：點(diǎn)G在平面AEb內(nèi)；

（2）若AB=2，AZ）=1.例=3,求二面角A-EE-4的正弦值.

答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵.

7

解答:

（1）在棱CG上取點(diǎn)G,使得GG=gcG,連接。G、FG、QE、C,F,

在長(zhǎng)方體ABC。一44GA中，AD//BC且AD=BC，BBJ/CC1且BB/CC”

172

JG=—CG,BF=2FB\,CG——CC|=—BB1=BF且CG=BF,

所以，四邊形BCGF為平行四邊形，則A/〃。G且AE=DG,

同理可證四邊形DEC\G為平行四邊形，GE〃DG且RE=DG,

-.QE//AF且孰后=AF,則四邊形AEQF為平行四邊形,

因此，點(diǎn)G在平面AM內(nèi);

(2)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA、G4、G。所在直線分別為了、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系G-xyz,

則A(2,l,3)、A(2,1,0)、￡(2,0,2)、F(0,1,1),

荏=AF=(-2,0,-2),4E=(O,-l,2),^7=(-2,0,1),

設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,,y1,zI),

m?AE=0—y—Z]=0一

由〈______,得＜[辦2=0取LL得…口，則昨(UI)，

m-AF=0

設(shè)平面A]EF的法向量為“=(工2，%，22)，

\n-A,E=Q7

—y2+2z,0-

由一二L，得二-取z2=2,得X,=1,y,=4,則〃=(1,4,2),

“?4/=0-2X2+z2=0

幣

設(shè)：「七八一"一/'的「面仆"cosM=

77

因此，二面角A—EF—4的正弦值為叵

7

6.(2020?全國(guó)高考真題(文))如圖，在長(zhǎng)方體ABC。一中，點(diǎn)七，尸分別在棱?！?，B片上,

且2DE=ED],BF=2FB\.證明:

(1)當(dāng)=時(shí)，EFA.AC-,

(2)點(diǎn)G在平面AE尸內(nèi).

答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

解答：

(1)因?yàn)殚L(zhǎng)方體48。。一4662，所以3月_1_平面43。。，4。_18與，

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD一4qGA,AB=5C,所以四邊形ABCD為正方形二AC，3。

因?yàn)锽D=B,BB：BDu平面因此ACJ_平面BBQQ.

因?yàn)樗鵸平面所以AC,所；

(2)在CC上取點(diǎn)M使得CM=2MC］，連DM,MF.

因?yàn)锳E=2ED,DDJ!CC,,DDX=CC,，所以ED=MCX,ED//MC、,

所以四邊形DMCtE為平行四邊形，DM//EC,

因?yàn)镸F//DA,MF=DA,所以加、尸、4。四點(diǎn)共面，所以四邊形MFAD為平行四邊形，

：.DMIIAF,：.ECJIAF,所以E、C,>A、/四點(diǎn)共面,

因此G在平面AE/7內(nèi)

7.（2020?全國(guó)高考真題（文））如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AABC是底面的內(nèi)接正三

角形，P為。。上一點(diǎn)，ZAPC=90°.

（I）證明：平面%B_L平面力C；

（2）設(shè)。0=0,圓錐的側(cè)面積為出兀，求三棱錐尸-ABC的體積.

答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）逅.

8

解答：

（1）連接。4,。氏。。，QD為圓錐頂點(diǎn)，。為底面圓心，.?.O￡>_L平面ABC，

P在DO上?OA=OB=OC,PA=PB=PC.

?.?△ABC是圓內(nèi)接正三角形，.?.AC=BC,APAC學(xué)WBC,

:.ZAPC=ZBPC=9QP，即P8_LPC,n_LPC,

BAflPB=P,:.PC±平面PAB,PCu平面PAC，平面PAB，平面PAC■.

（2）設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為r,圓錐的側(cè)面積為萬(wàn)"=也小〃=6，

。。2=/_r=2，解得廠=1,/=6，AC=2rsin60=6，

在等腰直角三角形APC中，AP=—AC=—>

22

PO=JAF-OV==受

在RAPAO中,

\42

，三棱錐尸一ABC的體積為％Tec='P。.S^BC='也X旦3=亞

r-ADC,3ZA/IDC3248

D

8.(2020?全國(guó)高考真題(文))如圖，已知三棱柱ABC-4SCi的底面是正三角形，側(cè)面B8GC是矩形,

M,N分別為BC,8G的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn).過(guò)BiG和P的平面交AB于E,交4c于尸.

(1)證明：AA\HMN,且平面4AMN_L平面ESGF；

7T

(2)設(shè)。為△ABICI的中心，若4O=A8=6,4?！ㄆ矫鍱BCF,且NMPN=一,求四棱錐8-E81GF的體

3

積.

答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)24.

解答：

(1)分別為BC,的中點(diǎn),

又A41//84

MNHAA,

在等邊AAHC中，M為中點(diǎn)，則

又?.?側(cè)面BgGC為矩形,

BC1BB]

MNIBC

由MVcAA/=A/,MN,AMu平面4AMN

3。_1_平面44^^/

又：5,C,HBC,且B|C（z平面ABC,BCu平面ABC,

二片￡〃平面ABC

又?.?B?u平面EBCJ,且平面EBC/c平面A3C=￡F

:.B\G〃EF

:.EFUBC

又?.?8C_L平面A4MN

EF_L平面A|AA/N

?.?Mu平面EqC/

二.平面EBGF1平面A]AMN

（2）過(guò)M作PN垂線，交點(diǎn)為“，

畫(huà)出圖形，如圖

,/AO〃平面EB￡F

AOu平面AAMN,平面AAMNc平面EgC/=NP

AO//NP

又???NO//AP

AO-NP-6

。為△44G的中心.

ON=；AC1sin60°=1x6xsin600=G

故：ON=AP=^，則A"=3AP=3G，

?.?平面Eg。/J_平面AAMN,平面EBC/c平面AAMN=NP,

MHu平面AAMN

MHL平面EBCF

FFAP

又?.?在等邊AABC中一=——

BCAM

APBC乖＞x6

2

AM-36

由(1)知，四邊形E4GF為梯形

四邊形E4C/的面積為：s四邊形EB?F=EF[B￡.NP=Z1^X6=24

「VB-EB1cF=2S四邊形EB.GF'h，

h為M到PN的距離MH=2?sin60°=3，

V=-x24x3=24.

3

9.(2020?全國(guó)高考真題(理))如圖，已知三棱柱ABC-A山Ci的底面是正三角形，側(cè)面B8iGC是矩形，M,

N分別為BC,BiG的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)囪G和尸的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：AAi//