廣東省廣州市番禺區(qū)廣東第二師范學(xué)院番禺附中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在△ABC中,,則△ABC為()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2．已知?jiǎng)t的最小值是()A． B．4 C． D．53．已知圓（為圓心，且在第一象限）經(jīng)過(guò)，，且為直角三角形，則圓的方程為（）A． B．C． D．4．某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A． B． C． D．5．在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前14項(xiàng)和為（）A．55 B．60 C．65 D．706．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，那么四棱錐的體積是（）A．B．C．D．7．下圖是500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖，則這500名學(xué)生中測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90，100）中的學(xué)生人數(shù)是A．60 B．55 C．45 D．508．已知關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙三人隨意坐下，乙不坐中間的概率為（）A． B． C． D．10．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行了5次射擊訓(xùn)練，成績(jī)?nèi)缦拢杭祝?，7，8，8，1；乙：8，9，9，9，1．若甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)分別用表示，方差分別用表示，則A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該三棱錐的外接球的表面積_____．12．設(shè),則的值是____.13．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．若滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_________．15．有五條線(xiàn)段,長(zhǎng)度分別為2,3,5,7,9,從這五條線(xiàn)段中任取三條,則所取三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為_(kāi)__________．16．若不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的能為_(kāi)__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（Ⅰ）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直，求直線(xiàn)的方程；（Ⅱ）求與直線(xiàn)的距離為的直線(xiàn)方程.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，．（1）求證：且；（2）設(shè)向量，，且，求實(shí)數(shù)的值．19．已知數(shù)列滿(mǎn)足：.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．解下列方程（1）；（2）；21．如圖1，已知菱形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，將三角形沿線(xiàn)段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

直接利用正弦定理余弦定理化簡(jiǎn)得到，即得解.【題目詳解】由已知得，由正、余弦定理得，即，即，故是直角三角形.故答案為：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理水平.2、C【解題分析】

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【題目詳解】由題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．3、D【解題分析】

設(shè)且，半徑為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.【題目詳解】依題意，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)且，半徑為，則，解得，所以圓的方程為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，以及合理應(yīng)用圓的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

由題意首先確定流程圖的功能，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解所要輸出的結(jié)果即開(kāi)即可.【題目詳解】根據(jù)程序框圖知，該算法的目標(biāo)是計(jì)算和式：.又因?yàn)椋⒁獾?，故?故選：D.【題目點(diǎn)撥】識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問(wèn)題．(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證．5、D【解題分析】

根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求出a5+a10，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【題目詳解】∵，是方程的兩個(gè)根，可得，∴.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6、B【解題分析】

根據(jù)錐體體積公式，求得四棱錐的體積.【題目詳解】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知平面，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查四棱錐體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖可得測(cè)試成績(jī)落在中的頻率，從而可得結(jié)果.詳解：由頻率分布直方圖可得測(cè)試成績(jī)落在中的頻率為，所以測(cè)試成績(jī)落在中的人數(shù)為，，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.直觀圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率.8、C【解題分析】

由題意得出關(guān)于的不等式的解集為，由此得出或，在成立時(shí)求出實(shí)數(shù)的值代入不等式進(jìn)行驗(yàn)證，由此解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）當(dāng)，即．當(dāng)時(shí)，不等式化為，合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，其解集不為，不合乎題意；（2）當(dāng)，即時(shí)．關(guān)于的不等式的解集為.，解得．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二次不等式在上恒成立問(wèn)題，求解時(shí)根據(jù)二次函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)和判別式的符號(hào)列不等式組進(jìn)行求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.9、A【解題分析】甲、乙、丙三人隨意坐下有種結(jié)果，乙坐中間則有，乙不坐中間有種情況，概率為，故選A.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.10、D【解題分析】

分別計(jì)算平均值和方差，比較得到答案.【題目詳解】由題意可得，，.故.故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)據(jù)的平均值和方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解題分析】

由題意推出球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用直角三角形BOE，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．【題目詳解】如圖，∵正三棱錐A﹣BCD中，底面邊長(zhǎng)為，底面外接圓半徑為側(cè)棱長(zhǎng)為2，BE=1,在三角形ABE中，根據(jù)勾股定理得到：高AE得到球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，O點(diǎn)在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半徑為，表面積為：故答案為．【題目點(diǎn)撥】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線(xiàn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.12、【解題分析】

根據(jù)二倍角公式得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解．【題目詳解】解：由題意知：故，即．故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13、.【解題分析】

把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出表示圓的條件，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，方程可化為，方程表示圓，則滿(mǎn)足，解得．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中熟記圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)．14、【解題分析】

作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時(shí)，.【題目詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是高考中常考考點(diǎn)，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.15、【解題分析】

列出所有的基本事件，并找出事件“所取三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個(gè)，其中，事件“所取三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形”所包含的基本事件有：、、，共個(gè)，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形”的概率為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是列舉基本事件，常見(jiàn)的列舉方法有：枚舉法和樹(shù)狀圖法，列舉時(shí)應(yīng)遵循不重不漏的基本原則，考查計(jì)算能力，屬于中等題．16、【解題分析】

根據(jù)分式不等式,移項(xiàng)、通分并等價(jià)化簡(jiǎn),可得一元二次不等式.結(jié)合二次函數(shù)恒成立條件,即可求得的值.【題目詳解】將不等式化簡(jiǎn)可得即的解集為空集所以對(duì)于任意都恒成立將不等式等價(jià)化為即恒成立由二次函數(shù)性質(zhì)可知化簡(jiǎn)不等式可得解得故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式不等式的解法,將不等式等價(jià)化為一元二次不等式,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)解決恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求得直線(xiàn)的斜率為，再利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（Ⅱ）設(shè)所求直線(xiàn)方程為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為，由直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以直線(xiàn)的斜率為，所以所求直線(xiàn)的方程為直線(xiàn)的方程為：，即.（Ⅱ）設(shè)所求直線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得，解得或-4，所以所求直線(xiàn)方程為：或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線(xiàn)方程的求解，兩直線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量模的方法以及向量的數(shù)量積即可求解.（2）根據(jù)向量垂直，可得數(shù)量積等于，進(jìn)而解方程即可求解.【題目詳解】（1）證明：，，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所以，由?）得：所以，解得．【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量坐標(biāo)求向量的模以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見(jiàn)證明；（2）【解題分析】

（1）由變形得，即，從而可證得結(jié)論成立，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）及條件可求出，然后根據(jù)分組求和法可得．【題目詳解】（1）證明：因?yàn)椋裕驗(yàn)樗运裕?，所以是首?xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）解：由（1）可得，所以．【題目點(diǎn)撥】證明數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，在得到后，不要忘了說(shuō)明數(shù)列中沒(méi)有零項(xiàng)這一步驟．另外，對(duì)于數(shù)列的求和問(wèn)題，解題時(shí)要根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）或；（2）；【解題分析】

（1）由，得，解方程即可.（2）由已知得到，解得即可.【題目詳解】（1），，或，或.（2），，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)型、對(duì)數(shù)型方程，考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.21、（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說(shuō)明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由題意根據(jù)勾股定理運(yùn)算得到，又由（Ⅰ）的結(jié)論得到