《激光原理》習(xí)題解答第一章習(xí)題解答

1為了使氫敏激光器的相干長度達(dá)到1KM,它的單色性△〃/1。應(yīng)為多少？

解答：設(shè)相干時(shí)間為T,則相干長度為光速與相干時(shí)間的乘積，即

L(=T-C

,1C

根據(jù)相干時(shí)間和譜線寬度的關(guān)系△)/=—二—

TL,.

A2Avc”門

又因?yàn)椤?—,

v0=—,20=632.8”/〃

4/oA)

由以上各關(guān)系及數(shù)據(jù)可以得到如卜.形式：

A2Av632.8〃〃？,___,八_“)

單色性=—=—=—=-----6-=6.328x1010

L1x10~nm

20v0r

解答完畢。

2如果激光器和微波激射器分別在10um、500nm和7=3000MHz輸出1瓦連續(xù)功率，問每秒鐘

從激光上能級(jí)向下能級(jí)躍遷的粒子數(shù)是多少。

解答：功率是單位時(shí)間內(nèi)輸出的能量，因此，我們?cè)O(shè)在dt時(shí)間內(nèi)輸出的能量為dE,則

功率=dE/dt

激光或微波激射器輸出的能量就是電磁波與普朗克常數(shù)的乘積，即

dE=nhv,其中n為dt時(shí)間內(nèi)輸出的光子數(shù)目，這些光子數(shù)就等于腔內(nèi)處在高能級(jí)的激發(fā)粒子在

dt時(shí)間輻射躍遷到低能級(jí)的數(shù)目(能級(jí)間的頻率為v)?

由以上分析可以得到如下的形式：

dE功率

n-——=----------

hvhv

每秒鐘發(fā)射的光子數(shù)目為：N=n/dt,帶入上式，得到：

每秒鐘發(fā)射的光子數(shù)=N=4=虹=------埠一「(sr)

dthv6.626x1Of(j.s"''

c3x]0"firs一?

根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)可知：匕=——=--------7—=3x1013//

410x10'z

=3000x1()6"一

把三個(gè)數(shù)據(jù)帶入，得到如下結(jié)果：18

N|=5.031x1()19,=2.5X10,N3=5.031x1()23

3設(shè)一對(duì)激光能級(jí)為El和E2(fl=f2),相應(yīng)的頻率為V(波長為x),能級(jí)上的粒子數(shù)密度分別為

n2和nl,求

(a)當(dāng)v=3000兆赫茲，T=300K的時(shí)候，n2/nl=?

(b)當(dāng)X=1um,T=300K的時(shí)候,n2/nl=?

(c)當(dāng)X=1gm,n2/nl=0.1時(shí),溫度T=?

解答:在熱平衡下，能級(jí)的粒子數(shù)按波爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布，即：

n7f7—hv-(E?_EJ_.

(統(tǒng)計(jì)權(quán)重/|=

—=—exp------=exp-------------72)

f\kbTKbT

其中乙，=1.38062x10-23JR-為波爾茲曼常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度。

34

n2-hv-6.626X10-(J-5)XV

(a)—=exp------=exp--------------------------n——=0.99

khT1.38062xIO-23

34

-6.626x10^(J-5)X-

n.-hv

(b)—=exp------exp-----------------?------=1.38xl0-21

%kJ1.38062x10-23(/.『)x7

6.626xl0-34(/-.v)x-

-hv-------------------4=6.26xIO,K

(c)T=--------------

勺xIn益xIn二

%%

4在紅寶石調(diào)Q激光器中，有可能將兒乎全部G與離子激發(fā)到激光上能級(jí)并產(chǎn)生激光巨脈沖。設(shè)紅

寶石棒直徑為1cm,長度為7.5cm,。,右離子濃度為2x1。母?！?,巨脈沖寬度為ions,求激光的最大

能量輸出和脈沖功率。

解答：紅寶石調(diào)Q激光器在反轉(zhuǎn)能級(jí)間可產(chǎn)生兩個(gè)頻率的受激躍遷，這兩個(gè)躍遷幾率分別是47%和53%,

其中幾率占53%的躍遷在競爭中可以形成694.3nm的激光，因此，我們可以把激發(fā)到高能級(jí)上的粒子數(shù)看

成是整個(gè)激發(fā)到高能級(jí)的粒子數(shù)的?半（事實(shí)上紅寶石激光器只有一半的激發(fā)粒子對(duì)激光有貢獻(xiàn)）。

設(shè)紅寶石棒長為L,直徑為d,體積為V,總數(shù)為N,粒子的濃度為m巨脈沖的時(shí)間寬度

為T,則離子總數(shù)為：

7nd2L

N-nxV-nx------

4

根據(jù)前面分析部分，只有N/2個(gè)粒子能發(fā)射激光，因此，整個(gè)發(fā)出的脈沖能量為：

LN,miLd2,

E=——xhv=--------xhv=

28

脈沖功率是單位時(shí)間內(nèi)輸出的能量，即

“EmLd~hv"心一

P=—=-----------=解答完畢。

T8r

1

5試證明，由于自發(fā)輻射，原子在七2能級(jí)的平均壽命為仆

421

證明如下：根據(jù)自發(fā)輻射的定義可以知道，高能級(jí)匕單位時(shí)間粒子數(shù)減少的量，等于低能級(jí)在單位時(shí)

間內(nèi)粒子數(shù)的增加。即：

dn

2Mi?①（其中等式左邊表示單位時(shí)間內(nèi)高能級(jí)上粒子數(shù)的變化,

dt、dt八P

高能級(jí)粒子數(shù)隨時(shí)間減少。右邊的表示低能級(jí)上單位時(shí)間內(nèi)接納的從高能級(jí)上自發(fā)輻射下來的粒子數(shù)。）

再根據(jù)自發(fā)輻射躍遷兒率公式：

dn〉i1d%、

A,,=—生x—,把An代入①式,

力)SP212

dtn2

dn^

得到：---———421〃2

dt212

對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分，得到：（其中〃隨時(shí)間變化，為開始時(shí)候的高能級(jí)

n2=n20exp（-A2Ir）2〃20

具有的粒子數(shù)。）

按照能級(jí)壽命的定義，當(dāng)二-=e-i時(shí)，定義能量減少到這個(gè)程度的時(shí)間為能級(jí)壽命，用字母r,表示。

“20

因此，1,BP：q=-l-證明完畢

A2XTS=

421

77l

6某一分子的能級(jí)一到三個(gè)較低能級(jí)￡.&和■的自發(fā)躍遷幾率分別為Aa=5*10s",A12=l*10s,

a

A“=3*10's\試求該分子質(zhì)能級(jí)的自發(fā)輻射壽命J。若TF5*10"S,丁尸6*10%，T：（=l*10s,在對(duì)笈連

續(xù)激發(fā)且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，試求相應(yīng)能級(jí)上的粒子數(shù)比值m/n”n/m和nJm,并說明這時(shí)候在哪兩個(gè)能級(jí)間實(shí)

現(xiàn)了集居數(shù)

解：（1）由題意可知E,上的粒子向低能級(jí)自發(fā)躍遷兒率A4為：

4=A?1+A12+A43=5xio7+1X107+3xl07=9xl（fs'

則該分子E,能級(jí)的自發(fā)輻射壽命：

1_1=1.1x10。

4—9xl07

結(jié)論:如果能級(jí)U發(fā)生躍遷的下能級(jí)不止1條,能級(jí)u向其中第i條自發(fā)躍遷的兒率為A,“則能級(jí)u的

自發(fā)輻射壽命為：

1

i

（2）對(duì)石連續(xù)激發(fā)并達(dá)到穩(wěn)態(tài),則有：

A/?]=AH,=A/q=A4=0

A41442

1,1”1”

嗎—=%，〃2-=〃4442，〃3—=?4^43

%，2，3Ei

E1

（上述?:個(gè)等式的物理意義是：在只考慮高能級(jí)自發(fā)輻射和能級(jí)只與E4能級(jí)

間有受激吸收過程，見圖）E、

宏觀上表現(xiàn)為各能級(jí)的粒子數(shù)沒有變化

由題意可得:

IM

〃1一=〃44]，則,=廿=3x10-7x5x10-7=15

%%

-7-9

同理：^A42T2=1X10X6X10=0.06,殳=443仆=5x10-7x1x10-8=0.5

?4〃4

nn

進(jìn)一步可求得：,=250,二=0.12

?2%

由以上可知:在法和EKL和E，;&和E：‘能級(jí)間發(fā)生了粒子數(shù)反轉(zhuǎn).

7證明，當(dāng)每個(gè)模式內(nèi)的平均光子數(shù)（光子簡并度）大于1時(shí)，輻射光中受激輻射占優(yōu)勢(shì)。

證明如下：按照普朗克黑體輻射公式，在熱平衡條件下，能量平均分配到每個(gè)可以存在的模上，即

-hr

En-hy（萬為頻率為Y的模式內(nèi)的平均光子數(shù)）

1a,

exp——1

kbT

_E]

由上式可以得到:n-——

hyexp--h-y---1,

kh-T

8也311

pr-

又根據(jù)黑體輻射公式：p丁X——=n

rhy1=hy8曲y

exp———1expV———1

VkhTc3

8y3

根據(jù)愛因斯坦輻射系數(shù)之間的關(guān)系式一/—=q和受激輻射躍遷幾率公式W21=B^Py,則可

C/

以推導(dǎo)出以下公式：

方=P?-Py-B^Py=%

8就/A2}A2]

了孤

如果模內(nèi)的平均光子數(shù)（萬）大于1,即

W

n=>1,則受激輻射躍遷幾率大于自發(fā)輻射躍遷幾率，即就射光中受

41

激輻射占優(yōu)勢(shì)。證明完畢

8?質(zhì)地均勻的材料對(duì)光的吸收系數(shù)為0.01機(jī)〃廠、光通過10cm長的該材料后，出射光強(qiáng)為入射光

強(qiáng)的百分之兒？

如果一束光通過長度為1M地均勻激勵(lì)的工作物質(zhì)，如果出射光強(qiáng)是入射光強(qiáng)的兩倍，試求該物質(zhì)的

增益系數(shù)。

解答：設(shè)進(jìn)入材料前的光強(qiáng)為，0,經(jīng)過z距離后的光強(qiáng)為/（Z），根據(jù)損耗系數(shù)a=—也3X4

dzl\z）

的定義，可以得到：

/&）=/（）exp（-az）

則出射光強(qiáng)與入射光強(qiáng)的百分比為：

￡=@xlOO%=（exp-az）xlOO%=e-（0（,,mm-，xl0（）m,^xlOO%=36.8%

根據(jù)小信號(hào)增益系數(shù)的概念：g°=也DxJr，在小信號(hào)增益的情況下，

dz/（z）

上式可通過積分得到

（\o_o，（Z）_o1o

/T（z）=/T0expgz=expgz=—-=>gz=ln——-=>g=

/（）/（）

?/（z）解答完畢。

In—

=---"-='n2-=6.93xIO-4mm-1

z1000

《激光原理》習(xí)題解答第二章習(xí)題解答

1試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其41可以往返無限次，而且兩次往返即自行閉

合

證明如下：（共焦腔的定義一兩個(gè)反射鏡的焦點(diǎn)重合的共軸球面腔為共焦腔。共焦腔分為實(shí)共焦腔和虛共

焦腔。公共焦點(diǎn)在腔內(nèi)的共焦腔是實(shí)共焦腔，反之是虛共焦腔。兩個(gè)反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對(duì)稱共

焦腔，可以證明，對(duì)稱共焦腔是實(shí)雙凹腔。）

根據(jù)以上一系列定義，我們?nèi)【邔?duì)稱共焦腔為例來證明。

設(shè)兩個(gè)凹鏡的曲率半徑分別是與利,腔長為根據(jù)對(duì)稱共焦腔特點(diǎn)可知:

R2L,

共軸球面腔的穩(wěn)定判別式子一1<g（A+。）<1

如果g（A+。）=-1或者g（A+。）=1,則諧振腔是臨界腔,是否是穩(wěn)定腔要根據(jù)情況來定。本題中，

因此可以斷定是介穩(wěn)腔（臨界腔），下面證明對(duì)稱共焦腔在近軸光線條件下屬于穩(wěn)定腔。

，2T101

經(jīng)過兩個(gè)往返的轉(zhuǎn)換矩陣式72,T2=

01

-224=10八八

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為:=T

一

02d014a

其中等式左邊的坐標(biāo)和角度為經(jīng)過兩次往返后的坐標(biāo)，通過上邊的式子可以看出，光線經(jīng)過兩次往返后回

到光線的出發(fā)點(diǎn)，即形成了封閉，因此得到近軸光線經(jīng)過兩次往返形成閉合，對(duì)稱共焦腔是穩(wěn)定腔。

2試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔的穩(wěn)定條件。

]2L2L2L2]

解答如下：共軸球面腔的一（4+。）三1---------1------，如果滿足一1<一（A+￡））<1,則腔

2/?|7?22

是穩(wěn)定腔，反之為非穩(wěn)腔，兩者之間存在臨界腔，臨界腔是否是穩(wěn)定腔，要具體分析。

下面我們就根據(jù)以上的內(nèi)容來分別求穩(wěn)定條件。

12L2L2L22L

對(duì)于平凹共軸球面腔，一（A+￡>）=1--------4------=1-----（R->oo）

2、R、R?R,R2R2

2L

所以，如果一1<1----<1,則是穩(wěn)定腔。因?yàn)長和A2均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，

此

LL

因此，只要滿足一<L就能滿足穩(wěn)定腔的條件，因此，一<1就是平凹腔的穩(wěn)定條件。

R2R2

類似的分析可以知道，

凸凹腔的穩(wěn)定條件是：/?,<0此>L，且&+&<乙。

雙凹腔的穩(wěn)定條件是：/?!>￡,R2>L（第??種情況）

R]<L,&<-且與+&>昭（第二種情況）

L

&=R,=R>_（對(duì)稱雙凹腔）

122

求解完畢。

3激光腔的諧振腔由一曲率半徑為1M的凸和曲率半徑為2M的凹面鏡構(gòu)成，工作物質(zhì)長度為0.5M,其折

射率為1.52,求腔長乙在什么范圍內(nèi)諧振腔是穩(wěn)定的。

解答如下：設(shè)腔長為4,腔的光學(xué)長度為L,已知&=-IM,R?=2M,=0.5M,7=1，

%=1.52,

]2L2L2L2

根據(jù)一（A+O）=l---------+-----，代入已知的凸凹鏡的曲率半徑，得至I：

27?,R2R\R°

2L2L2L2

g（A+Z））=l=1+L-L2

IM2MIMx2M

因?yàn)楹泄ぷ魑镔|(zhì)，已經(jīng)不是無源腔，因此，這里L(fēng)應(yīng)該是光程的大?。ɑ蛘哒f是利用光線在均勻介質(zhì)里

傳播矩陣）。

L,—Z＞（）L.}L,—0.50.5

即L———.....+——，代入上式，得至小

小%1L52

“+0=1+j=l+0+”L.-0.50.5丫

-------+-----

2''11.5211.52；

要達(dá)到穩(wěn)定腔的條件，必須是一1<；（A+O）<1,按照這個(gè)條件，得到腔的幾何長度為:

1.17<L,<2.17,單位是米。解答完畢。

5有一方形孔徑共焦腔氮發(fā)激光器，腔長L=30CM,方形孔徑邊長為d=2a=0.12CM,X=632.8nm,鏡的反

射率為》=1,「2=0.96,其他損耗以每程0.003估計(jì)。此激光器能否做單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加

?個(gè)方形小孔光闌來選擇TEM。。模，小孔的邊長應(yīng)為多大？試根據(jù)圖255作?大略的估計(jì)。氮敏激光器

增益由公式=1+340-4,估算，其中的/是放電管長度。

d

分析：如果其他損耗包括了衍射損耗，則只考慮反射損耗及其他損耗的和是否小于激光器的增益系數(shù)，增

益大于損耗，則可產(chǎn)生激光振蕩。

如果其他損耗不包括衍射損耗，并且菲涅爾數(shù)小于一，則還要考慮衍射損耗，衍射損耗的大小可以根

據(jù)書中的公式300=10.9*10-41^來確定，其中的N是菲涅爾數(shù)。

解答：根據(jù)=1+3,10一4—,可以知道單程增益g°L=ln(l+0.0003L/d)=0.0723

d

由于反射不完全引起的損耗可以用公式2.1.24或者2.1.25來衡量

根據(jù)2.1.24得到：

8r?=-0.51nrir2=0.0204

根據(jù)題意，總的損耗為反射損+其他損耗，因此單程總損耗系數(shù)為

8=0.0204+0.0003<g°L

如果考慮到衍射損耗，則還要根據(jù)菲涅爾數(shù)來確定衍射損系數(shù)：

此方形共焦腔氮敏激光器的菲涅爾數(shù)為：N=a2/(LA)=7.6,菲涅爾數(shù)大于一很多倍，因此可以不考慮衍射

損耗的影響。

通過以上分析可以斷定，此諧振腔可以產(chǎn)生激光振蕩。又根據(jù)氮嵐激光器的多普勒展寬達(dá)到1.6GHz,

而縱模及橫模間隔根據(jù)計(jì)算可知很小，在一個(gè)大的展覽范圍內(nèi)可以后很多具有不同模式的光波振蕩，因此

不采取技術(shù)措施不可能得到基模振蕩。

為了得到基模振蕩，可以在腔內(nèi)加入光闌，達(dá)到基模振蕩的作用。在腔鏡上，基模光斑半徑為：

cogs-=2.46x10-2cm

因此，可以在鏡面上放置邊長為23。,的光闌。

解答完畢。

6試求出方形鏡共焦腔面上TEN30模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布嗎？

解答如下：

方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程式為

/?Xxv+yy

經(jīng)過博伊德一戈登變換，在通過厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函數(shù)表示鏡面上場的函數(shù)

D加"（X，y）=C忡HXH

、7LA）

使。30(%y)=o就可以求出節(jié)線的位置。由上式得到:

這些節(jié)線是等距的。解答完畢。

7求圓形鏡共焦腔和7瓦0。2模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。

解答如下：圓形鏡共焦腔場函數(shù)在拉蓋爾一高斯近似下，可以寫成如下的形式

“與尸［cos”

(這個(gè)場對(duì)應(yīng)于，兩個(gè)三角函數(shù)因

子可以任意選擇，但是當(dāng)m為零時(shí)，只能選余弦，否則整個(gè)式子將為零)

，代入上式，得到

-小尸2。

%。（"）=。20

1sin2(p我們?nèi)∮嘞翼?xiàng)，根據(jù)

題中所要求的結(jié)果，我們?nèi)　?。（乙。）—Go

cos2p-0,就能求出鏡面上

節(jié)線的位置。既

冗37c

cos2。=0=>0="夕2=-

對(duì)于TEMO2,可以做類似的分析。

%（”），閨喂產(chǎn)品砥戶

代入上式并使光波場為零，得到

?“G雷噎+奇尸=0

24

4r2rA田、

顯然，只要以|—廠—1—-：--1---7~—0即輛足上式

g，①。,

最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為:

解答完畢。

8今有??球面腔，兩個(gè)曲率半徑分別是R|=L5M,R,=-1M,L=80CM,試證明該腔是穩(wěn)定腔，求出它的等

價(jià)共焦腔的參數(shù)，在圖中畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。

解:共軸球面腔穩(wěn)定判別的公式是一1<+。）<1,這個(gè)公式具有普適性（教材36頁中間文字部分）,

對(duì)于簡單共軸球面腔，可以利用上邊式子的變換形式0<gIg2<1判斷穩(wěn)定性，其中g(shù),=l-上

&

一，乙，8,L,8

題中g(shù)l1=1----=]----,g)2=1----=1----

R115R210

g}g2=0.093,在穩(wěn)定腔的判別范圍內(nèi)，所以是穩(wěn)定腔。

任意一個(gè)共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，一個(gè)一般穩(wěn)定球面腔唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)共焦腔，他們的行波

場是相同的。

等價(jià)共焦腔的參數(shù)包括：以等價(jià)共焦腔的腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，從坐標(biāo)原點(diǎn)到一般穩(wěn)定球面兩個(gè)腔鏡面

的坐標(biāo)Z1和Z2,再加上它的共焦腔的鏡面焦距F,這三個(gè)參數(shù)就能完全確定等價(jià)共焦腔。

根據(jù)公式（激光原理P6628.4）得到：

Z,=7一埠#=/fl-尸）=_

1（0.8-1.5）+（0.8-1）018M

-0.8x(1.5-0.8)

2—(f―-j…+Q-&)一(O.8-1,5)+(O.8-l)

2_L(&+&_0.8X(1-0.8)x(1.5-0.8)(1.5+1-0.8)_

22

[(L-/?,)+(L-/?2)]—[(0.8-1.5)+(0.8-l)]'

因此尸=0.485M

等價(jià)共焦腔示意圖略。

9某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM,R=2M,2a=1CM,波長A=10.6um,試計(jì)算鏡面上的

光斑半徑、束腰半徑及兩個(gè)鏡面上的損耗。

解：此二氧化碳激光器是穩(wěn)定腔，其中平面鏡的曲率半徑可以看作是無窮大。

根據(jù)公式(激光原理p67-2.8.6或2.8.7)得到：

=1.687x10-6x5.333=8.997xIO-6Af

e2=^o.

g2U-g|g

其中第?個(gè)腰斑半徑對(duì)應(yīng)平面鏡。上式中(y()s=J而3是這個(gè)平凹腔的等價(jià)共焦腔鏡面上的腰斑半徑，

并且根據(jù)一般穩(wěn)定球面腔與等價(jià)共焦腔的性質(zhì)，他們具有同一個(gè)束腰。

根據(jù)共焦腔束腰光斑半徑與鏡面上光斑半徑的關(guān)系可知：

1.687

g=1.193〃M

1.414

作為穩(wěn)定腔，損耗主要是衍射損，衍射損耗與鏡面上的菲涅爾數(shù)有關(guān)，在損耗不大的情況F,是倒數(shù)

關(guān)系。

即：

1

8

~N

根據(jù)公式(激光原理p69-2.8.18或2819)分別求出兩個(gè)鏡面的菲涅爾數(shù)

0.25x10-4

N=1.615x1()6

63.1416x(2.22x10-6)2

N_a；_0.25x10-4

=9.831x104

喇3.1416x(8.997xlO-6)2

根據(jù)衍射損耗定義，可以分別求出：

—=6.2xl0-7,&=-^—=1.02x10-5

NQN”

2

10證明在所有菲涅爾數(shù)N=9一相同而曲率半徑R不同的對(duì)稱穩(wěn)定球面腔中，共焦腔的衍射損耗

L2

最低。這里L(fēng)表示腔長，a是鏡面的半徑。

證明：

+R-,=2L

在對(duì)稱共焦腔中，&=R?>

旦=&

22J

11今有一平面鏡和一個(gè)曲率半徑為R=1M的凹面鏡，問：應(yīng)該如何構(gòu)成一個(gè)平一凹穩(wěn)定腔以獲得最

小的基模遠(yuǎn)場發(fā)散角，畫出光束發(fā)散角與腔長的關(guān)系。

解答：

我們知道，遠(yuǎn)場發(fā)散角不僅和模式（頻率）有關(guān)，還和腔的結(jié)構(gòu)有關(guān)。根據(jù)公式2.6.14得到:

，如果平面鏡和凹面鏡構(gòu)成的諧振腔所對(duì)應(yīng)的等價(jià)共焦腔焦距最大，則可以獲得最小的基模

0Q=2j——

光束發(fā)散角。

2」（凡-次「次+""）二fs7”

代入發(fā)散角公式，就得到最小發(fā)散角為：

"后=2忌^=4的

發(fā)散角與腔長的關(guān)系式：

13某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面鏡的R=2M,腔長L=1M,試給出它所產(chǎn)生的高斯光束的束腰

腰斑半徑的大小和位置，該高斯光束的焦參數(shù)和基模發(fā)散角。

解答：

\L（R-LXR-L\RR-L）_

1―2瓜+]…}]+22一皿

4=二=1.128、4=3.67x10-32d

冗以VF

14某高斯光束束腰光斑半徑為1.14MM,波長X=10.6nMo求與束腰相距30厘米、100厘米、1000

米遠(yuǎn)處的光斑半徑及相應(yīng)的曲率半徑。

解答：根據(jù)公式（激光原理p71-2.9.4,2.9.6）

把不同距離的數(shù)據(jù)代入，得到：

a）（30cm）=\A5MM,（y（lOzn）=297cM,（y（1000m）=2.97M

曲率半徑R（z）={l+等j

與不同距離對(duì)應(yīng)的曲率半徑為：

R（30c加）=0.79M,/?（10w）=10.015M,/?（1000m）=1000M

15若已知某高斯光束的束腰半徑為0.3毫米，波長為632.8納米。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰距離

30厘米處的q參數(shù)值，與束腰相距無限遠(yuǎn)處的q值。

解答：

束腰處的q參數(shù)值實(shí)際上就是書中的公交參量（激光原理p73-2.912）：

2

.z..冗①0At/c?

qo=i于=1^—=44.68，

/i

根據(jù)公式（激光原理p75-2.10.8）

=Vo+Z，可以得到30厘米和無窮遠(yuǎn)處的q參數(shù)值分別為

q（30）=%+30=30+44.68/

無窮遠(yuǎn)處的參數(shù)值為無窮大。

16某高斯光束束腰半徑為1.2毫米，波長為10.6微米?，F(xiàn)在用焦距F=2cm的楮透鏡聚焦，當(dāng)束腰與

透鏡距離分別為1（）米，1米，10厘米和0時(shí)，求焦斑大小和位置，并分析結(jié)果。

解答：

根據(jù)公式（激光原理p78-2」0」7和2.10.18）

當(dāng)束腰與透鏡距離10米時(shí)

,F2a）l-“

=-----------------rr=2.4叫

同理可得到：

解答完畢

17二氧化碳激光器輸出波長為10.6微米的激光，束腰半徑為3毫米，用一個(gè)焦距為2厘米的H透鏡

聚焦，求欲得到焦斑半徑為20微米及2.5微米時(shí)，透鏡應(yīng)該放在什么位置。

解答：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.18）

上式中束腰到透鏡的距離1就是我們要求的參數(shù)，其他各個(gè)參數(shù)都為已知，代入題中給出的數(shù)據(jù)，并

對(duì)上式進(jìn)行變換，得到

當(dāng)焦斑等于20微米時(shí)，/=1.395M（透鏡距束腰的距離）

當(dāng)焦斑等于2.5微米時(shí)，/=23.87M

此提要驗(yàn)證

18如圖2.2所示，入射光波廠為10.6微米，求成及4。

解答：經(jīng)過第?個(gè)透鏡后的焦斑參數(shù)為：

,2~+加用2

g一;y

（―制（2\2

經(jīng)過第.:個(gè)透鏡后的焦參數(shù)為:

$-F)F；

=K+2

i'+i"=i2

解方程可以求出題中所求。

19某高斯光束束腰腰斑半徑為1.2毫米，波長為10.6微米?，F(xiàn)在用一個(gè)望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用曲

率半徑為1米的鍍金反射鏡，口徑為20厘米；副鏡為一個(gè)焦距為2.5厘米，口徑為1.5厘米的錯(cuò)透鏡；高

斯光束束腰與透鏡相距1米，如圖所示。求該望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率。

為望遠(yuǎn)鏡上鏡與副鏡的焦距比。

題中的反射鏡，相當(dāng)于透鏡，且曲率半徑的一半就是透鏡的焦距。

己知：g=L2W,2=10.6%，F(xiàn),=2.5CM,F2=g=50c用,2a,=1.5CM

2a2=20cM,I=1M

（經(jīng)過驗(yàn)證，光斑在第?個(gè)透鏡表面形成的光斑半徑小于透鏡鏡面尺寸，衍射效應(yīng)很小，因此可以用

準(zhǔn)直倍率公式）

代入準(zhǔn)直倍率公式得到:

解答完畢。

20激光器的諧振腔有兩個(gè)相同的凹面鏡組成，它出射波長為X的基模高斯光束，今給定功率計(jì)，卷

尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。

設(shè)計(jì)如下：

首先明確焦參數(shù)的構(gòu)成元素為腰斑半徑00,波長X及%參數(shù)，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，激光器的波長為

己知，我們不可能直接測量腔內(nèi)的腰斑半徑（因?yàn)槭菍?duì)稱腔，束腰在腔內(nèi)），只能通過技術(shù)手段測量發(fā)射出

來的光波場的腰斑半徑,然后利用/（Z）=這里的z是由激光器腔中心到光功率計(jì)的

距離，用卷尺可以測量。光功率計(jì)放置在緊貼小孔光闌的后面，沿著光場橫向移動(dòng)，測量出3（Z）。把測

量的ty（z）和z代入公式，可以求出焦參數(shù)。

設(shè)計(jì)完畢（以上只是在理論上的分析，實(shí)際中的測量要復(fù)雜得多，實(shí)驗(yàn)室測量中會(huì)用透鏡擴(kuò)束及平面

鏡反射出射光，增加距離進(jìn)而增加測量精度）

21二氧化碳激光諧振腔由兩個(gè)凹面鏡構(gòu)成，兩個(gè)鏡面的曲率半徑分別是1米和兩米，光腔長度為0.5

米。

問：如何選擇高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它構(gòu)成該諧振腔的自再現(xiàn)光束。

解答：

高斯光束的自再現(xiàn)條件是（激光原理p84212.1及2.12.2）：

『=就

%億=/）=4（。）

根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.17及2.10.18）

2

(江g2、

14J

經(jīng)過曲率半徑為1米的反射鏡后，為了保證自再現(xiàn)條件成立，腔內(nèi)的束腰半徑應(yīng)該與經(jīng)過反射鏡的高

斯光束的束腰相同，因此得到：

/2\2

2

（F,-/.）+嗓

同理，經(jīng)過第：個(gè)反射鏡面也可以得至U：

+l2=L3

根據(jù)以上三個(gè)式子可以求出g

/1=0.375M,/2=0.125M,4=1.63〃例

解答完畢。

22（1）用焦距為F的薄透鏡對(duì)波長為人、束腰半徑為0。的高斯光束進(jìn)行變換，并使變換后的高斯

2

光束的束腰半徑00〈啰0（此稱為高斯光束的聚焦），在尸〉/和/</（/=型工）兩種情況下，如

A

何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離？（2）在聚焦過程中，如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離不變，如

何選擇透鏡的焦距F?

解答:

可知

(F-iy+f2

小=產(chǎn)

即片-2F/+/2>0

通~（F-l）2+f2

通過運(yùn)算可得到：

1>F+卜或者/（尸一】歹2+/2（舍去）

（2）參考《激光原理》P81-2./?定時(shí)，隨焦距變化的情況。

23試用白變換公式的定義式<7,（/,=/）=q°（激光原理P84-2.12.2）,利用q參數(shù)來推導(dǎo)出自變換條

證明:

2

設(shè)高斯光束腰斑的q參數(shù)為40=丁=，腰斑到透鏡的距離為/，透鏡前表面和后表面的q參

A.

數(shù)分別為小、%,經(jīng)過透鏡后的焦斑處q參數(shù)用外,表示，焦斑到透鏡的距離是/<.=/,透鏡的焦距為F。

根據(jù)q參數(shù)變換，可以求出前表面、后表面、及焦斑處的q參數(shù)，分別是：

透鏡前表面：<7]=%+/

透鏡后表面：--=--------

蚤/F

焦斑的位置：qc=q2+lc

Fq

把經(jīng)過變換的q,=—人}代入到焦斑位置的q參數(shù)公式，并根據(jù)自再現(xiàn)的條件，得到:

Ff

.Fqy

%%+,<'=--------/<'

F—q、

>由此可以推導(dǎo)出尸='/1

2

q.

%=%+/

證明完畢。

24試證明在一般穩(wěn)定腔中，其高斯?；ㄇ荤R面處的兩個(gè)等相位面的曲率半徑必分別等于各鏡面的曲率

半徑。

證明

設(shè)一般穩(wěn)定腔的曲率半徑分別是與、腔長為坐標(biāo)取在這個(gè)穩(wěn)定腔的等價(jià)共焦腔中心上，并

R2,L,

且坐標(biāo)原點(diǎn)到鏡面的距離分別是z,和z,,等價(jià)共焦腔的焦距為f.

根據(jù)

i12112

25試從式------------和--------------導(dǎo)出/：+BI.+C=0>其中的

1}+L/2R2l2+L1]

2

2北-&),c=竭億一%）并證明對(duì)雙凸腔B-4C>0

2L-R「R?2L—R]—R-）

解答：略

試計(jì)算的虛共焦腔的品程和

26R]=\M,L=0.25A7,a]=25cM,a2=\CM

.若想保持死不變并從凹面鏡端單端輸出，應(yīng)如何選擇。2?反之，若想保持。2不

g往返

變并從凸面鏡收2輸出，為如何選擇？在這兩種情況下，4單程和《往返各為多大？

解答：

虛共焦腔的特點(diǎn)：加I=激光原理p91,96

M=mxm

金程j/

，激光原理》97-2.1511,2.15.12

瓢返=1-產(chǎn)

品程=1-----

根據(jù)M>=>金程=50%,

R2=2L_R\=-0.5m

單端輸出：如果要從虛共焦非穩(wěn)定腔的凸面鏡單端輸出平面波，并使腔內(nèi)振蕩光束全部通過激活物質(zhì)，則

凹面鏡和凸透鏡的選區(qū)要滿足：其中的分別代表（按角標(biāo)順序）工作物質(zhì)的半

ax>a0,a,?—,a

徑、凹面鏡半徑、四面鏡半徑

1實(shí)施意義上的單面輸出（從凸面鏡端輸出）：按照?qǐng)D（激光原理p96-圖2.15.2a）為了保證從凸面鏡

到凹面鏡不發(fā)生能量損失，則根據(jù)圖要滿足：

a,

—因?yàn)橥姑骁R的尺寸不變，所以在曲率半徑給定的條件下，凹面鏡的半徑應(yīng)該

%

為:

4="2H2cM

2從凹面鏡端輸出，只要保證有虛焦點(diǎn)發(fā)出的光到達(dá)凹面鏡后的反射光（平行光）正好在凸面鏡的限

度范圍內(nèi)，則可保證從凹面鏡單端輸出。

因此，此時(shí)只要滿足q=。2即可，因此。2=25CM

這兩種情況下的單程和往返損耗略。

解答完畢。

第三章習(xí)題

1.試由式（3.3.5）導(dǎo)出式（3.