上海市實驗學校2024屆數(shù)學高一第二學期期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數(shù)列中，，且，則數(shù)列前2019項和為（）A． B． C． D．2．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．曲線與過原點的直線沒有交點，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45° C．60° D．90°5．以下給出了4個命題：（1）兩個長度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起點必相同；（3）若，且，則；（4）若向量的模小于的模，則．其中正確命題的個數(shù)共有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個6．已知直線經(jīng)過兩點，則的斜率為（）A． B． C． D．7．在中，角，，所對的邊分別是，，，，，，則（）A．或 B．C． D．8．正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A．4 B．3 C．2 D．19．已知銳角△ABC的面積為，BC=4，CA=3，則角C的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°10．《九章算術》中的玉石問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176兩），問玉、石重各幾何？”其意思為：“寶玉1立方寸重7兩，石料1立方寸重6兩，現(xiàn)有寶石和石料混合在一起的一個正方體，棱長是3寸，質量是11斤（即176兩），問這個正方體中的寶玉和石料各多少兩？”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的分別為（）A．90，86 B．98，78 C．94，82 D．102，74二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，一棟建筑物AB高（30-10）m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD．在它們之間的地面M點（B、M、D三點共線）測得對樓頂A、塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得對塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為______m．12．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，,則異面直線與所成的角為____.13．已知數(shù)列的前n項和，則___________．14．如圖，在正方體中，點是線段上的動點，則直線與平面所成的最大角的余弦值為________.15．在行列式中，元素的代數(shù)余子式的值是________.16．在中，角所對的邊為，若，且的外接圓半徑為，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．記為數(shù)列的前項和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求滿足等式的正整數(shù)的值．18．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大??；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．如圖，在正方體，中，，，，，分別是棱，，，，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面將正方體分成的兩部分體積之比.20．在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．21．甲，乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量的數(shù)據(jù)為：甲：99，100，98，100，100，103乙：99，100,102,99，100，100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項求和法即可得解．【題目詳解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．則數(shù)列前2019項和為：．故選B．【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列遞推關系、“累加求和”方法、裂項求和，考查了推理能力、轉化能力與計算能力，屬于中檔題．2、D【解題分析】

對于A，利用線面平行的判定可得A正確.對于B，利用線面垂直的性質可得B正確.對于C，利用面面垂直的判定可得C正確.根據(jù)平面與平面的位置關系即可判斷D不正確.【題目詳解】對于A，根據(jù)平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則這條直線平行于這個平面，可判定A正確.對于B，根據(jù)垂直于同一個平面的兩條直線平行，判定B正確.對于C，根據(jù)一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，可判定C正確.對于D，若，則或相交，所以D不正確.故選：D【題目點撥】本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定，同時考查了線面垂直的性質，屬于中檔題.3、A【解題分析】

作出曲線的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線在繞著原點旋轉時，直線與曲線沒有交點時，直線的傾斜角的變化，由此得出的取值范圍.【題目詳解】當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為.作出曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，要使得過原點的直線與曲線沒有交點，則直線的傾斜角的取值范圍是，故選：A.【題目點撥】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數(shù)形結合思想，解題的關鍵就是作出圖形，利用數(shù)形結合思想進行求解，屬于中等題.4、C【解題分析】連接，由三角形中位線定理及平行四邊形性質可得，所以是與所成角，由正方體的性質可知是等邊三角形，所以，與所成角是,故選C.5、D【解題分析】

利用向量的概念性質和向量的數(shù)量積對每一個命題逐一分析判斷得解.【題目詳解】（1）兩個長度相等的向量不一定相等，因為它們可能方向不同，所以該命題是錯誤的；（2）相等的向量起點不一定相同，只要它們方向相同長度相等就是相等向量，所以該命題是錯誤的；（3）若，且，則是錯誤的，舉一個反例，如，不一定相等，所以該命題是錯誤的；（4）若向量的模小于的模，則，是錯誤的，因為向量不能比較大小，因為向量既有大小又有方向，故該命題不正確．故選：D【題目點撥】本題主要考查向量的概念和數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6、A【解題分析】

直接代入兩點的斜率公式，計算即可得出答案?！绢}目詳解】故選A【題目點撥】本題考查兩點的斜率公式，屬于基礎題。7、C【解題分析】

將已知代入正弦定理可得，根據(jù)，由三角形中大邊對大角可得：，即可求得.【題目詳解】解：，，由正弦定理得：故選C.【題目點撥】本題考查了正弦定理、三角形的邊角大小關系，考查了推理能力與計算能力.8、C【解題分析】

由及等比數(shù)列的通項公式列出關于q的方程即可得求解.【題目詳解】，即有，解得或，又為正項等比數(shù)列，故選：C【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和，屬于基礎題.9、B【解題分析】試題分析：由三角形的面積公式，得，即，解得，又因為三角形為銳角三角形，所以.考點：三角形的面積公式.10、B【解題分析】（1）；（2）；（3）；（4），輸出分別為98，78。故選B。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、60【解題分析】

由已知可以求出、、的大小，在中，利用銳角三角函數(shù)，可以求出.在中，運用正弦定理，可以求出.在中，利用銳角三角函數(shù)，求出.【題目詳解】由題意可知：，，由三角形內角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【題目點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)、正弦定理，考查了數(shù)學運算能力.12、【解題分析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【題目詳解】取的中點E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【題目點撥】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．13、17【解題分析】

根據(jù)所給的通項公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【題目詳解】數(shù)列的前n項和，則，而，，所以，則，故答案為：.【題目點撥】本題考查了數(shù)列前n項和通項公式的應用，遞推法求數(shù)列的項，屬于基礎題.14、【解題分析】

作的中心，可知平面，所以直線與平面所成角為，當在中點時，最大，求出即可。【題目詳解】設正方體的邊長為1，連接，由于為正方體，所以為正四面體，棱長為，為等邊三角形，作的中心，連接，，由于為正四面體，為的中心，所以平面，所以為直線與平面所成角，則當在中點時，最大，當在中點時，由于為正四面體，棱長為，等邊三角形，為的中心，所以，，所以直線與平面所成的最大角的余弦值為故直線與平面所成的最大角的余弦值為故答案為【題目點撥】本題考查線面所成角，解題的關鍵是確定當在中點時，最大，考查學生的空間想象能力以及計算能力。15、【解題分析】

根據(jù)余子式的定義，要求的代數(shù)余子式的值，這個元素在三階行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式，解出即可．【題目詳解】解：在行列式中，元素在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式為：解這個余子式的值為，故元素的代數(shù)余子式的值是．故答案為：【題目點撥】考查學生會求行列式中元素的代數(shù)余子式，行列式的計算方法，屬于基礎題．16、或.【解題分析】

利用正弦定理求出的值，結合角的取值范圍得出角的值.【題目詳解】由正弦定理可得，所以，，，或，故答案為或.【題目點撥】本題考查正弦定理的應用，在利用正弦值求角時，除了找出銳角還要注意相應的補角是否滿足題意，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）首先利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求出數(shù)列的和，解出即可．【題目詳解】（1）由為數(shù)列的前項和，且滿足．當時，，得．當時，，得，所以數(shù)列是以2為首項，以為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為．（2）由，得由，解得．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的求法，裂項相消法求數(shù)列的和，屬于基礎題．18、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式,三角形內角和,所以,整理為關于的二次方程，解得角的大??；（2）根據(jù)三角形的面積公式和上一問角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據(jù)余弦定理再求，最后根據(jù)證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因為0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.考點：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面積公式.【方法點睛】本題涉及到解三角形問題，所以有關三角問題的公式都有涉及，當出現(xiàn)時，就要考慮一個條件，,,這樣就做到了有效的消元，涉及三角形的面積問題，就要考慮公式,靈活使用其中的一個.19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證明平面，再證明平面平面；（2）連接，，則截面右側的幾何體為四棱錐和三棱錐，再求出每一部分的體積得解.【題目詳解】（1）證明：在正方體中，連接.因為，分別是，的中點，所以.因為平面，平面，所以.因為，所以平面，平面，所以，同理，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）連接，，則截面右側的幾何體為四棱錐和三棱錐，設正方體棱長為1，所以，所以平面將正方體分成的兩部分體積之比為.【題目點撥】本題主要考查面面垂直關系的證明和幾何體體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.20、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解題分析】

(Ⅰ)由題意列出關于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本