矩陣分析東北大學信息科學與工程學院井元偉教授二○○六年五月第一章線性空間與線性變換第二章內積空間第三章矩陣的標準形與若干分解形式第四章矩陣函數(shù)及其應用第五章特征值的估計與廣義逆矩陣第六章非負矩陣第三章矩陣的標準形與若干分解形式第三章矩陣的標準形與若干分解形式§1矩陣的相似對角形§2矩陣的約當標準形§3哈密頓-開萊定理及矩陣的最小多項式§4多項式矩陣與史密斯標準形§5多項式矩陣的互質性與既約性§6有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解§7系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣*§8舒爾定理及矩陣的QR分解§9矩陣的奇異值分解第三章矩陣的標準形與若干分解形式數(shù)字矩陣多項式矩陣有理分式矩陣標準型分解形式：QR分解奇異值分解導引性的討論第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形那么，A是否可以相似于對角矩陣？即1.矩陣的相似對角形第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形充要條件

n階矩陣A能與對角矩陣相似的充要條件，是A有n個線性無關的特征向量充分條件

n階矩陣A如果有n個不同的特征值， 則A可與對角矩陣相似第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形充分條件

n階矩陣A如果有n個不同的特征值， 則A可與對角矩陣相似方法1）求矩陣A的特征值2）求對應的特征向量3）求變換矩陣（由特征向量構造）4）求變換矩陣的逆矩陣5）進行變換第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形例特征多項式特征值第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形對應的特征向量分別為第三章矩陣的標準形與若干分解形式1.矩陣的相似對角形第三章矩陣的標準形與若干分解形式2.矩陣的約當標準形并非每個矩陣都可以相似于對角矩陣。當矩陣不能相似于對角陣的時候，能否找到一個比較簡單的分塊對角陣與它相似？J稱為約當矩陣第三章矩陣的標準形與若干分解形式2.矩陣的約當標準形性質|表示整除

k階行列式因子的所有不為0的k階子式的最大公因式，記為第三章矩陣的標準形與若干分解形式2.矩陣的約當標準形稱為A的不變因子不變因子第三章矩陣的標準形與若干分解形式2.矩陣的約當標準形初等因子

在不變因子中，次數(shù)大于1的在復數(shù)范圍內分解成一次式和一次式的乘冪

的形式，所有的一次式或者一次式的乘冪的形式，放在一起叫做初等因子第三章矩陣的標準形與若干分解形式2.矩陣的約當標準形約當標準形第三章矩陣的標準形與若干分解形式2.矩陣的約當標準形第三章矩陣的標準形與若干分解形式3.哈密頓-開萊定理及矩陣的最小多項式哈密頓-開萊定理代數(shù)多項式矩陣多項式是A的特征多項式，則第三章矩陣的標準形與若干分解形式3.哈密頓-開萊定理及矩陣的最小多項式應用計算矩陣多項式第三章矩陣的標準形與若干分解形式3.哈密頓-開萊定理及矩陣的最小多項式最小多項式

A的零化多項式次數(shù)最低的（首一化）記為m(A)A的最小多項式可被它的所有零化多項式整除A的最小多項式唯一性質第三章矩陣的標準形與若干分解形式3.哈密頓-開萊定理及矩陣的最小多項式計算方法應用進一步簡化矩陣多項式的計算第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形多項式矩陣普通矩陣經(jīng)初等變換，有類推可以嗎？第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形A的子式可能為（1）多項式（2）0（3）不為0常數(shù)有關定義

秩

A的r階子式不為0，而r＋1階子式為0，r稱A的秩

滿秩

方陣A的行列式不為0

可逆對方陣A，如有同階多項式方陣B，使

AB=BA=E

可逆條件方陣A的行列式為不為0的常數(shù)第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形復習

數(shù)值矩陣的初等行變換k為任意常數(shù)第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形多項式矩陣的初等行變換類似的，可以定義初等列變換第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形多項式矩陣A經(jīng)過初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價記為定理史密斯標準形第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形第三章矩陣的標準形與若干分解形式4.多項式矩陣與史密斯標準形性質

史密斯標準形中的即是不變因子兩個矩陣等價，則它們具有相同的行列式因子，相同的不變因子，相同的初等因子初等變換不改變矩陣的各階行列式因子及秩充要條件第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性多項式的最大公因式多項式矩陣情況矩陣的左乘和右乘不同，分別加以定義第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性最大右公因式

gcrd個初等行變換求法第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性于是可見gcrd不唯一第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性性質不唯一一個多項式矩陣的兩個gcrd，一個滿秩，另一個也滿秩；一個可逆，另一個也可逆第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性右互質兩個多項式矩陣的gcrd可逆質標準形是性質第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性最大左公因式

gcld個初等列變換求法第三章矩陣的標準形與若干分解形式5.多項式矩陣的互質性與既約性左互質兩個多項式矩陣的gcld可逆質標準形是性質第三章矩陣的標準形與若干分解形式6.有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解有理分式陣可逆對方陣A，如有同階多項式方陣B，使

AB=BA=E可逆條件方陣A的行列式為不為0多項式第三章矩陣的標準形與若干分解形式6.有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解陣，則必有可逆的多項式矩陣定理史密斯-麥克米倫標準形第三章矩陣的標準形與若干分解形式6.有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解最小公倍式項式矩陣，則可化為史密斯標準形，史密斯-麥克米倫標準形第三章矩陣的標準形與若干分解形式6.有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解例第三章矩陣的標準形與若干分解形式6.有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解第三章矩陣的標準形與若干分解形式6.有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解陣多項式矩陣稱為左分解左既約分解互質類似的，可定義右分解及右既約分解一個有理分式陣必有左右分解及左右既約分解定理第三章矩陣的標準形與若干分解形式8.舒爾定理及矩陣的QR分解QR分解定理任意n階復矩陣A，存在酉矩陣Q及上三角矩陣R，使得A=QR

舒爾定理任意n階復矩陣A，存在酉矩陣U，使得