遼寧省沈陽市2024屆高三上學期教學質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學試題第I卷（選擇題）一?選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，故選：A.2.設復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由解得，所以.故選：C.3.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題知，切線方程為，即，故選：B.4.已知單位向量滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，又為單位向量，，，又，.故選：B.5.已知有100個半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，則這100個圓中最大圓的半徑是（）A8 B.9 C.10 D.100【答案】C【解析】設這100個圓的半徑從小到大依次為，則由題知，每相鄰的兩個圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，有，則是首項為1公差為1的等差數(shù)列，，所以，得.故選：C.6.如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類:第一類，先向北走再往東走的情況，即第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，第三次向右轉(zhuǎn)，此時有種方法，第二類，先向東走再往北走的情況上右上，此時共有種方法.故總的方法有24種，故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，進而可得，結(jié)合輔助角公式得，則，故選：B.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以且，所以且，即且，所以，又，所以，綜上所述，，故選：D二?多選題9.下圖是離散型隨機變量的概率分布直觀圖，其中，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由題知解得，A選項正確；所以，B選項正確；，C選項正確；，D選項錯誤.故選：ABC.10.已知雙曲線的兩個焦點分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（）A.實軸長為4 B.雙曲線為等軸雙曲線C.離心率為 D.漸近線方程為【答案】ABD【解析】設該雙曲線標準方程為，則.對于A選項，若實軸長為4，則，，符合題意；對于B選項，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，可解得，符合題意；對于C選項，由雙曲線的離心率大于1知，不合題意；對于D選項，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，故選：ABD.11.如圖，點是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數(shù)的圖像，則的最小值為【答案】ACD【解析】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當時，，因為在為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.12.正方體的8個頂點分別在4個互相平行的平面內(nèi)，每個平面內(nèi)至少有一個頂點，且相鄰兩個平面間的距離為1，則該正方體的棱長為（）A. B. C.2 D.【答案】BD【解析】設該正方體為，且其棱長為，若考慮4個平面中最中間的兩個平面，共有兩種情況.①若中間的兩個平面為平面和平面，如圖1所示，則過作截面，截面圖如圖2所示，其中分別為中點，則，設相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可知，解得；②若中間的兩個平面如圖3所示，過作截面，截面圖如圖4所示，其中分別為中點，則，設相鄰兩平面間距離即為到的距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為到的距離，則，解得；故選：BD.第II卷（非選擇題）三?填空題13.的展開式中常數(shù)項的二項式系數(shù)為__________.【答案】20【解析】此二項式展開式的通項公式為，，則當時，對應的為常數(shù)項，故常數(shù)項的二項式系數(shù)為，故答案為：20.14.已知拋物線的焦點為，若點是拋物線上到點距離最近的點，則__________.【答案】3【解析】由題知，設，其中，則由于點是拋物線上到點距離最近的點，，故答案為：3.15.的一個充分不必要條件是__________.【答案】（答案不唯一）【解析】因為時，由可得,故的一個充分不必要條件是，故答案為：（答案不唯一）16.已知是半徑為1的球面上不同的三點，則的最小值為__________.【答案】【解析】是球面上不同的三點，不共線，故平面截球面得到的是一個圓，記此圓半徑為，當且僅當平面過球心時，.在半徑為的圓中，對于任意的弦，過作于,由向量數(shù)量積的幾何意義知，當在如圖所示的位置時，取最小值，則的最小值為，當時，取最小值，又的最大值為1，故所求最小值為.故答案為：四?解答題17.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求證：.（1）解：設的公比為，由知，，由得，.（2）證明：由題知，所以，.18.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求證：；（2）當取最小值時，求的值.（1）證明：由余弦定理知，又因為，所以，化簡得，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以或（舍），所以.（2）解：由題知，，當且僅當時取等，又因為，所以，所以.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，點在線段上，點在線段上.（1）求證：；（2）若平面，求的值；（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：過作直線于，連接.由題知，，即，又平面,平面，又平面，，即（2）解：方法一：平面平面，平面平面，平面平面.以為原點，以的長度為單位長度，以的方向分別為軸，軸，的正方向建立空間直角坐標系，如圖，則.平面.為中點，由題知設，，，又在中，，所以.方法二：平面.設，由知，.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又，平面.（3）解：由（2）知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則令則，，平面與平面所成角的余弦值為.20.某城市有甲、乙兩個網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計當?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統(tǒng)計結(jié)果：①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的頻率為；③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為；④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為.將上述隨機事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.（1）分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，并比較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最小.（2）若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司的網(wǎng)約車出行？并說明理由.（1）解：設事件用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件用戶對等待時間滿意，事件用戶對乘車舒適度滿意，事件用戶對乘車費用滿意.則，，所以，用戶對等待時間滿意的概率最大，對乘車費用滿意的概率最小.（2）解：由題知，，，所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.21.已知如圖，點為橢圓的短軸的兩個端點，且的坐標為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點（點在線段上），直線分別交直線于點.求證：四邊形為平行四邊形.（1）解：由題知解得.故橢圓的方程為.（2）證明：方法一：顯然直線不能水平，故設直線方程為，設，由得，令得，.所以，令，得.故直線方程為，直線方程為.由得，將中換成得.，為線段中點，又為中點，四邊形為平行四邊形.方法二：設.直線方程為，當直線的斜率不存在時，設方程為，此時，直線方程的為，由得，同理，當直線斜率存在時，設方程為，由得.令得，由韋達定理得.將代入得直線的方程為由得同理可得.，，綜上所述，為線段中點，又為中點，四邊形為平行四邊形.22.已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若與為方程的兩個不等實根，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，當時，在上單調(diào)遞增，當時，由于，所以在上單調(diào)遞減，當時，恒成立，當且僅當時取等，所以在上單調(diào)遞減.當時，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，令，解得，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時不