第1頁（共1頁）2022-2023學年河北省秦皇島市金科大聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）＝（）A． B． C． D．2．（5分）已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，則M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）3．（5分）智力競賽決賽由A，B兩隊進行比賽，A隊有甲、乙兩名隊員，某一道題由甲、乙兩名隊員共同解答，甲答對的概率為，乙答對的概率為，則此題A隊答對的概率是（至少一人答對即可）（）A． B． C． D．4．（5分）如圖，在等腰△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M為BC上的動點，BM＝x，AM＝y(tǒng)，則y關于x的函數(shù)解析式是（）A．（） B．（） C．（） D．（）5．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，△ABC，△BCD均為等邊三角形，BC＝2，∠ACD＝90°，M為AD的中點，則異面直線AB與CM所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．16．（5分）已知a＞1，b＞2，（a﹣1）?（b﹣2）＝2，則a+b的最小值為（）A． B． C． D．7．（5分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，則B到平面ACD的距離為（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，△ABC外接圓的圓心為O，∠ACB＝90°，，，則圓O的半徑R＝（）A．10 B．5 C．7 D．8二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知條件p：a＞b，則是條件p的充要條件的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)3＞b3 C．2a＞a+b D．a(chǎn)c2＞bc2（多選）10．（5分）一組數(shù)據(jù)：0，1，5，6，7，11，12，則（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6 B．這組數(shù)據(jù)的方差為16 C．這組數(shù)據(jù)的極差為11 D．這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，φ∈（﹣π，π））相鄰的兩個零點為，，則（）A．函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸是 B．函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸是 C．φ的值可能是 D．φ的值可能是（多選）12．（5分）已知tanα＝2tanβ，則（）A．若，則 B．若，則 C．若，則tan（α﹣β）的最大值為 D．，使得α＝2β三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，則＝．14．（5分）若一組10個數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10的平均值為3，方差為11，則＝．15．（5分）已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）＝ex，則以下結(jié)論：①[f（x）]2+[g（x）]2＝g（2x）；②2f（x）?g（x）＝f（2x）；③g（x）的最小值為2．其中正確結(jié)論的序號為．16．（5分）已知AB是球O的直徑，AB＝4，C，D是球面上兩點，CD⊥AB，CD＝2，AB與平面COD所成的角為60°，則四面體ABCD的體積為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b2ccosC+c2bcosB＝ab2+ac2﹣a3．（1）求A；（2）若b+c＝2，求a的最小值．18．（12分）甲袋中有2個紅球和1個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，從甲、乙兩袋中各摸出1個球．（1）求這兩個球為1個紅球和1個白球的概率；（2）求這兩個球顏色相同的概率．19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，0），B（1，m）（m＞0），（1）求m的值；（2）C，M是坐標平面上的點，，（0＜x＜3），求的最小值．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝（2x﹣1）（2x﹣3）．（1）當x∈[0，2]時，求f（x）的值域；（2）當x∈R時，若f（x）+f（﹣x）≥m2﹣2m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．21．（12分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的體積為1，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，PE＝EB，PF＝2FC，平面AEF交CD于點G．（1）求（2）求四棱錐E﹣ABCG的體積．22．（12分）如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，A1B1＝2，BB1＝．（1）證明：BC1⊥A1C；（2）求A1B與平面ACC1A1所成角的正弦值．

2022-2023學年河北省秦皇島市金科大聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)復數(shù)四則運算法則計算即可．【解答】解：．故選：B．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．2．（5分）已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，則M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）【分析】分別解不等式可得集合M與N，進而可得M∩N．【解答】解：∵M＝{x|log2x＜2}＝（0，4），N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝（﹣1，2），∴M∩N＝（0，2），故選：B．【點評】本題考查交集及其運算，考查不等式的解法，是基礎題．3．（5分）智力競賽決賽由A，B兩隊進行比賽，A隊有甲、乙兩名隊員，某一道題由甲、乙兩名隊員共同解答，甲答對的概率為，乙答對的概率為，則此題A隊答對的概率是（至少一人答對即可）（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，先計算甲乙都沒有答對的概率，進而由對立事件的性質(zhì)計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，甲答對的概率為，乙答對的概率為，則甲乙都沒有答對的概率P1＝（1﹣）（1﹣）＝，則此題A隊答對的概率P＝1﹣P1＝1﹣＝．故選：A．【點評】本題考查互斥事件和相互獨立事件的概率計算，注意分析事件之間的關系，屬于基礎題．4．（5分）如圖，在等腰△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M為BC上的動點，BM＝x，AM＝y(tǒng)，則y關于x的函數(shù)解析式是（）A．（） B．（） C．（） D．（）【分析】根據(jù)題意，在△ABC中，利用余弦定理求出BC的長，進而在△ABM中，由余弦定理分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，，則有，在△ABM中，AB＝2，BM＝x，AM＝y(tǒng)，B＝30°，由余弦定理有，即（）．故選：A．【點評】本題考查函數(shù)解析式的求法，涉及余弦定理的應用，屬于基礎題．5．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，△ABC，△BCD均為等邊三角形，BC＝2，∠ACD＝90°，M為AD的中點，則異面直線AB與CM所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．1【分析】取BD的中點N，連接MN，CN，由題意可知異面直線AB與CM所成角的余弦值為|cos∠NMC|，求出NM，MC，NC，由余弦定理求解即可．【解答】解：如圖，取BD的中點N，連接CN，MN，則MN∥AB，異面直線AB與CM所成角即為異面直線AB與CM所成角，而異面直線AB與CM所成角的余弦值為|cos∠NMC|，因為△ABC，△BCD均為等邊三角形，BC＝2，所以AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，在△NMC中，，，因為∠ACD＝90°，所以，所以，，所以．故選：A．【點評】本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題．6．（5分）已知a＞1，b＞2，（a﹣1）?（b﹣2）＝2，則a+b的最小值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)（a+1）?（b﹣2）＝2，由求解．【解答】解：∵a＞1，b＞2，所以a﹣1＞0，b﹣2＞0，所以，即a+b≥3+2，當且僅當a﹣1＝b﹣2，即a＝1+，b＝2+時取等號．故選：C．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．7．（5分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，則B到平面ACD的距離為（）A． B． C． D．【分析】計算可得BD⊥CD，結(jié)合平面ABD⊥平面BCD，得CD⊥平面ABD，平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD內(nèi)，作BH⊥AD于點H，則BH即為所求點B到平面ACD的距離，計算可得結(jié)果．【解答】解：由∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，得BD2＝AB2+AD2﹣2AB?AD?cos60°＝，，則AB2+BD2＝AD2，AB⊥BD，又四邊形ABCD為平行四邊形，∴BD⊥CD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD內(nèi)，作BH⊥AD于點H，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，∴BH⊥平面ACD，則BH即為所求點B到平面ACD的距離，在直角三角形ABD中，AB⊥BD，又BH⊥AD，∴．∴B到平面ACD的距離為．故選：D．【點評】本題主要考查點到平面距離的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．8．（5分）如圖，△ABC外接圓的圓心為O，∠ACB＝90°，，，則圓O的半徑R＝（）A．10 B．5 C．7 D．8【分析】利用直徑所對的圓周角為直角，再結(jié)合向量的數(shù)量積定義及運算律計算求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴，∴＝，∴，由，得：＝＝，∴R＝5．故選：B．【點評】本題考查圓的性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積，屬于基礎題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知條件p：a＞b，則是條件p的充要條件的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)3＞b3 C．2a＞a+b D．a(chǎn)c2＞bc2【分析】由充要條件的定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)和冪函數(shù)單調(diào)性判斷．【解答】解：冪函數(shù)y＝x2在R上不是單調(diào)函數(shù)，a2＞b2時不能得到a＞b，a＞b時也不能得到a2＞b2，故A錯誤；冪函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，a＞b時一定有a3＞b3，a3＞b3時也一定有a＞b，故B正確；由不等式的性質(zhì)可知，當a＞b時，有a+a＞b+a，即2a＞a+b，當2a＞a+b時，有2a﹣a＞a+b﹣a，即a＞b，故C正確；當a＞b時，若c＝0，則ac2＞bc2不成立，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查充分必要條件的判斷，考查冪函數(shù)與基本不等式的性質(zhì)，是基礎題．（多選）10．（5分）一組數(shù)據(jù)：0，1，5，6，7，11，12，則（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6 B．這組數(shù)據(jù)的方差為16 C．這組數(shù)據(jù)的極差為11 D．這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7【分析】由已知的這組數(shù)據(jù)，利用公式分別計算平均數(shù)、方差、極差、第70百分位數(shù)即可．【解答】解：對A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：×（0+1+5+6+7+11+12）＝6，故A選項正確；對B，這組數(shù)據(jù)的方差為：，故B選項錯誤；對C，這組數(shù)據(jù)的極差為：12﹣0＝12，故C選項錯誤；對D，由7×70%＝4.9，則第70百分位數(shù)是第5個數(shù)7，故D選項正確．故選：AD．【點評】本題考查平均數(shù)、方差、極差、第70百分位數(shù)的定義，屬于基礎題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，φ∈（﹣π，π））相鄰的兩個零點為，，則（）A．函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸是 B．函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸是 C．φ的值可能是 D．φ的值可能是【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，φ∈（﹣π，π））相鄰的兩個零點為，，則，解得T＝π，故ω＝，x＝，則為f（x）的一條對稱軸，所以f（x）的對稱軸為x＝，k∈Z，故A錯誤，B正確；是函數(shù)f（x）的零點，則，，k∈Z，故C正確，D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．（多選）12．（5分）已知tanα＝2tanβ，則（）A．若，則 B．若，則 C．若，則tan（α﹣β）的最大值為 D．，使得α＝2β【分析】根據(jù)切化弦再結(jié)合兩角和差計算判斷A選項，再應用二倍角余弦公式判斷B選項，兩角差的正切結(jié)合基本不等式可以判斷C選項，根據(jù)正切值得出角的關系判斷D選項．【解答】解：A：，又，則cosαsinβ＝，故A正確；B：，．故B錯誤；C：，當且僅當，時取“＝”，故C正確；D：若α＝2β，則，在上無解，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查運算求解能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，則＝．【分析】利用數(shù)量積的運算法則將展開，結(jié)合求解即可．【解答】解：因為，，所以，所以．故答案為：．【點評】本題考查向量的數(shù)量積，解題關鍵是熟練掌握數(shù)量積公式，屬于中檔題．14．（5分）若一組10個數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10的平均值為3，方差為11，則＝200．【分析】由題意，根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式，進行求解即可．【解答】解：若一組10個數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10的平均值為3，所以＝3，即a1+a2+...+a10＝30，不妨設這組數(shù)據(jù)的方差為s2，此時，即，則．故答案為：200．【點評】本題考查平均數(shù)和方差，考查了邏輯推理和運算能力．15．（5分）已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）＝ex，則以下結(jié)論：①[f（x）]2+[g（x）]2＝g（2x）；②2f（x）?g（x）＝f（2x）；③g（x）的最小值為2．其中正確結(jié)論的序號為①②．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合已知列方程組計算可得解析式，逐個判斷各個小題即可．【解答】解：f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝e﹣x與f（x）+g（x）＝ex，解得，，由，故①正確；由＝f（2x），故②正確；由，當且僅當x＝0時取等號，故③錯誤，故①②正確．故答案為：①②．【點評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應用，屬于基礎題．16．（5分）已知AB是球O的直徑，AB＝4，C，D是球面上兩點，CD⊥AB，CD＝2，AB與平面COD所成的角為60°，則四面體ABCD的體積為2．【分析】取CD中點H，由已知可證平面COD⊥平面HAB，得∠HOB＝60°，解得S△HAB＝3，由VA﹣BCD＝VC﹣HAB+VD﹣HAB求出體積即可．【解答】解：球O的半徑為2，CD＝OC＝OD＝2，△OCD為等邊三角形，取CD的中點H，連接OH，如圖所示：則OH＝＝＝，因為CD⊥OH與CD⊥AB，OH，AB?平面HAB，OH∩AB＝O，所以CD⊥平面HAB，又因為CD?平面COD，所以平面COD⊥平面HAB，平面COD∩平面HAB＝HO，所以∠HOB是AB與平面COD所成線面角，所以∠HOB＝60°，所以，．故答案為：2．【點評】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b2ccosC+c2bcosB＝ab2+ac2﹣a3．（1）求A；（2）若b+c＝2，求a的最小值．【分析】（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求角即可；（2）應用余弦定理結(jié)合基本不等式求值即可．【解答】解：（1）因為在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b2ccosC+c2bcosB＝a（b2+c2﹣a2）＝a?2bccosA，所以bcosC+ccosB＝2acosA，即sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosA，即；（2）由余弦定理有，當且僅當b＝c＝1時取等號，故a的最小值為1．【點評】本題考查了正余弦定理以及基本不等式的應用，屬于中檔題．18．（12分）甲袋中有2個紅球和1個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，從甲、乙兩袋中各摸出1個球．（1）求這兩個球為1個紅球和1個白球的概率；（2）求這兩個球顏色相同的概率．【分析】（1）甲袋取白球且乙袋取紅球或甲袋取紅球且乙袋取白球，這兩種事件互斥，在兩個口袋中取得球是相互獨立事件，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．（2）利用對立事件的概率公式求解．【解答】解：（1）在兩個口袋中取得球是相互獨立事件，“兩球為1紅1白”可分為兩個互斥事件：A1＝甲袋取白球且乙袋取紅球，概率為；A2＝甲袋取紅球且乙袋取白球，概率為，故兩球為1紅1白的概率為；（2）這兩個球顏色相同與這兩個球為1個紅球和1個白球，互為對立事件，所以這兩球顏色相同的概率為．【點評】本題考查相互獨立事件以及對立事件相關知識，屬于基礎題．19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，0），B（1，m）（m＞0），（1）求m的值；（2）C，M是坐標平面上的點，，（0＜x＜3），求的最小值．【分析】（1）先求出，再根據(jù)模長公式可求出結(jié)果；（2）先求出，再根據(jù)模長公式以及二次函數(shù)知識可得結(jié)果．【解答】解：（1）因為A（4，0），B（1，m），所以，故，因為m＞0，所以m＝4；（2），＝（4x，6﹣3x），，因為0＜x＜3，所以當時，取得最小值為．【點評】本題考查了根據(jù)向量的坐標求向量的長度的方法，向量坐標的加法和數(shù)乘運算，配方求二次函數(shù)最值的方法，考查了計算能力，屬于基礎題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝（2x﹣1）（2x﹣3）．（1）當x∈[0，2]時，求f（x）的值域；（2）當x∈R時，若f（x）+f（﹣x）≥m2﹣2m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）令2x＝t，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）利用換元法及基本不等式求出f（x）+f（﹣x）的最小值，即可得到關于m的一元二次不等式，解得即可．【解答】解：（1）令2x＝t，因為x∈[0，2]，所以t∈[1，4]，令g（t）＝（t﹣1）（t﹣3）＝t2﹣4t+3＝（t﹣2）2﹣1，t∈[1，4]，因為|4﹣2|＞|1﹣2|，所以當t＝2時，取最小值為g（t）min＝﹣1，當t＝4時，取最大值為g（t）max＝3，即g（t）∈[﹣1，3]，故當x∈[0，2]時，f（x）值域為[﹣1，3]；（2）f（x）+f（﹣x）＝（2x﹣1）（2x﹣3）+（2﹣x﹣1）（2﹣x﹣3），令t＝2x，則，且t＞0，所以＝＝，其中，當且僅當即t＝1時取等號，此時x＝0，即f（x）+f（﹣x）≥0，所以m2﹣2m≤0，解得0≤m≤2，即實數(shù)m的取值范圍為[0，2]．【點評】本題考查了函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．21．（12分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的體積為1，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，PE＝EB，PF＝2FC，平面AEF交CD于點G．（1）求（2）求四棱錐E﹣ABCG的體積．【分析】（1）延長EF，與BC交于點H，連接AH交CD于點G，通過構(gòu)造相似三角形求相關線段的比例，可求的值；（2）由點E和點G的位置，判斷四棱錐E﹣