第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年河北省邢臺市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）＝（）A． B． C． D．2．（5分）若一組數(shù)據(jù)為1，3，4，6，7，10，13，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．73．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，△ABC，△BCD均為等邊三角形，BC＝2，∠ACD＝90°，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線AB與CM所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．14．（5分）A隊(duì)共有甲、乙兩名隊(duì)員回答某道題，有1人答出則此題回答正確，甲答出的概率為，乙答出的概率為，則此題A隊(duì)回答正確的概率是（）A． B． C． D．5．（5分）某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為1200，1000，800，按年級進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為30的樣本，調(diào)查全校學(xué)生的睡眠時(shí)間．高一年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間為8.5小時(shí)，高二年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間為7.8小時(shí)，三個(gè)年級抽取的學(xué)生的總平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，則高三年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間為（）A．7.2小時(shí) B．7.3小時(shí) C．7.5小時(shí) D．7.6小時(shí)6．（5分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，則B到平面ACD的距離為（）A． B． C． D．7．（5分）已知△ABC的外接圓為圓O，圓O的直徑AB＝10，且，則＝（）A．80 B．64 C．48 D．328．（5分）A，B，C，D這4個(gè)電器元件出故障的概率分別為，，p1，p2，按下圖的兩種連接方式，圖一連通的概率為，圖二連通的概率為，其中電路是否連通只與電器元件是否出故障有關(guān)，則p1+p2＝（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）若復(fù)數(shù)z＝m2﹣2m﹣3+i（m∈R），則下列說法正確的是（）A．若z為實(shí)數(shù)，則m＝﹣1 B．若z為純虛數(shù)，則m＝3或﹣1 C．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限 D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限（多選）10．（5分）甲投籃5次，事件A＝“恰命中2次”，事件B＝“第3次未命中”，則與事件A∪B互斥的事件是（）A．僅第3次命中 B．第3次命中且總命中次數(shù)為2 C．第1，3，5次命中 D．第2，4，5次命中（多選）11．（5分）若（x0為復(fù)數(shù)），則下列各選項(xiàng)正確的是（）A．x0＝2±i B． C． D．（多選）12．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為C1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，則（）A．A1E，BF為異面直線 B．平面EFG截正方體所得截面的面積為 C．EG∥平面A1C1B D．A1F⊥DE三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，則＝．14．（5分）若一組10個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10的平均值為3，方差為11，則＝．15．（5分）在平行四邊形ABCD中，CD的中點(diǎn)為E，AE交BD于F，，則x+y＝．16．（5分）已知某圓臺的體積為，其上底面和下底面的面積分別為3π，6π，且該圓臺兩個(gè)底面的圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|＝5，．（1）求a；（2）若復(fù)數(shù)z1滿足，求z1．18．（12分）甲袋中有3個(gè)球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，乙袋中有3個(gè)球，1個(gè)紅球2個(gè)白球，從甲、乙兩袋中隨機(jī)各取1個(gè)球．（1）求這2個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球1個(gè)白球的概率；（2）從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球都放入甲袋，再從甲袋中隨機(jī)取1個(gè)球，求該球?yàn)榧t球的概率．19．（12分）某商品50天日銷量（單位：件）的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求m；（2）估計(jì)該商品50天日銷量的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（3）估計(jì)該商品50天日銷量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．20．（12分）已知A（4，0），B（1，m）（m＞0），||＝5．（1）求m；（2）若點(diǎn)C，M滿足＝（﹣1，﹣1），＝x+（2﹣x）（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求||的最小值．21．（12分）已知四棱錐P﹣ABCD的體積為1，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，PE＝EB，PF＝2FC，平面AEF交CD于點(diǎn)G．（1）求；（2）求多面體ABCGFE的體積．22．（12分）如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，A1B1＝2，BB1＝．（1）證明：BC1⊥A1C；（2）求A1B與平面ACC1A1所成角的正弦值．

2022-2023學(xué)年河北省邢臺市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若一組數(shù)據(jù)為1，3，4，6，7，10，13，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】將數(shù)據(jù)數(shù)量值乘以百分比即可得出答案．【解答】解：因?yàn)?×70%＝4.9，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)據(jù)，為7．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，△ABC，△BCD均為等邊三角形，BC＝2，∠ACD＝90°，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線AB與CM所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．1【分析】取BD的中點(diǎn)N，連接MN，CN，由題意可知異面直線AB與CM所成角的余弦值為|cos∠NMC|，求出NM，MC，NC，由余弦定理求解即可．【解答】解：如圖，取BD的中點(diǎn)N，連接CN，MN，則MN∥AB，異面直線AB與CM所成角即為異面直線AB與CM所成角，而異面直線AB與CM所成角的余弦值為|cos∠NMC|，因?yàn)椤鰽BC，△BCD均為等邊三角形，BC＝2，所以AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，在△NMC中，，，因?yàn)椤螦CD＝90°，所以，所以，，所以．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題．4．（5分）A隊(duì)共有甲、乙兩名隊(duì)員回答某道題，有1人答出則此題回答正確，甲答出的概率為，乙答出的概率為，則此題A隊(duì)回答正確的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，求出甲、乙不能回答問題的概率，由對立事件的概率性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A隊(duì)中，甲答出的概率為，乙答出的概率為，則甲、乙答不出的概率分別為，，故A隊(duì)答出的概率為．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查概率的應(yīng)用，涉及互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為1200，1000，800，按年級進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為30的樣本，調(diào)查全校學(xué)生的睡眠時(shí)間．高一年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間為8.5小時(shí)，高二年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間為7.8小時(shí)，三個(gè)年級抽取的學(xué)生的總平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，則高三年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間為（）A．7.2小時(shí) B．7.3小時(shí) C．7.5小時(shí) D．7.6小時(shí)【分析】先求出抽樣比，根據(jù)抽樣比求出高三年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間，再根據(jù)三個(gè)年級抽取的學(xué)生的總平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)列式可求出結(jié)果．【解答】解：由題意得抽樣比為，則高一、高二、高三年級抽取的學(xué)生人數(shù)分別為，，，設(shè)高三年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時(shí)間為x小時(shí)，由8x+10×7.8+12×8.5＝30×8，得x＝7.5小時(shí)．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，則B到平面ACD的距離為（）A． B． C． D．【分析】計(jì)算可得BD⊥CD，結(jié)合平面ABD⊥平面BCD，得CD⊥平面ABD，平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD內(nèi)，作BH⊥AD于點(diǎn)H，則BH即為所求點(diǎn)B到平面ACD的距離，計(jì)算可得結(jié)果．【解答】解：由∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，得BD2＝AB2+AD2﹣2AB?AD?cos60°＝，，則AB2+BD2＝AD2，AB⊥BD，又四邊形ABCD為平行四邊形，∴BD⊥CD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD內(nèi)，作BH⊥AD于點(diǎn)H，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，∴BH⊥平面ACD，則BH即為所求點(diǎn)B到平面ACD的距離，在直角三角形ABD中，AB⊥BD，又BH⊥AD，∴．∴B到平面ACD的距離為．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)到平面距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．7．（5分）已知△ABC的外接圓為圓O，圓O的直徑AB＝10，且，則＝（）A．80 B．64 C．48 D．32【分析】由題意知AC⊥BC，從而可得，即，取AC的中點(diǎn)M，可得，由數(shù)量積的定義求解即可．【解答】解：∵圓O的直徑AB＝10，∴AC⊥BC，∴，得．取AC的中點(diǎn)M，則OM⊥AC，∴．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）A，B，C，D這4個(gè)電器元件出故障的概率分別為，，p1，p2，按下圖的兩種連接方式，圖一連通的概率為，圖二連通的概率為，其中電路是否連通只與電器元件是否出故障有關(guān)，則p1+p2＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式，建立方程，可得答案．【解答】解：由圖一得，由圖二得，解得，故．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，是基礎(chǔ)題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）若復(fù)數(shù)z＝m2﹣2m﹣3+i（m∈R），則下列說法正確的是（）A．若z為實(shí)數(shù)，則m＝﹣1 B．若z為純虛數(shù)，則m＝3或﹣1 C．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限 D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：z＝m2﹣2m﹣3+i（m∈R），對于A，若z為實(shí)數(shù)，則，故A正確；對于B，若z為純虛數(shù)，則，解得m＝3，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，C錯誤，D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）甲投籃5次，事件A＝“恰命中2次”，事件B＝“第3次未命中”，則與事件A∪B互斥的事件是（）A．僅第3次命中 B．第3次命中且總命中次數(shù)為2 C．第1，3，5次命中 D．第2，4，5次命中【分析】根據(jù)互斥事件的定義逐一分析即可．【解答】解：A∪B的對立事件為，與A∪B互斥的事件應(yīng)為的子事件，即“總命中次數(shù)不是2次且第3次命中”，故只有AC符合．故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查了互斥事件的定義，是基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）若（x0為復(fù)數(shù)），則下列各選項(xiàng)正確的是（）A．x0＝2±i B． C． D．【分析】根據(jù)已知，利用復(fù)數(shù)概念、性質(zhì)計(jì)算求解．【解答】解：因?yàn)?，所以x0﹣2＝±i，所以x0＝2±i，故A正確；因?yàn)?，且x0＝2±i≠0，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，故C錯誤；因?yàn)?，所以，則＝，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為C1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，則（）A．A1E，BF為異面直線 B．平面EFG截正方體所得截面的面積為 C．EG∥平面A1C1B D．A1F⊥DE【分析】根據(jù)圖形易得EF∥A1B，即A1E，BF在同一平面，A錯誤；平面EFG截正方體所得的截面是邊長為的正六邊形，B正確；平面EGF∥平面A1BC1，C正確；DE⊥平面A1D1F，D正確．【解答】解：如圖所示，易得EF∥A1B，即A1E，BF在同一平面，A錯誤；平面EFG截正方體所得的截面是邊長為的正六邊形，該正六邊形的面積為，B正確；易證EF∥平面A1BC1，F(xiàn)G∥平面A1BC1，又EF∩FG＝F，則平面EGF∥平面A1BC1，因?yàn)镋G?平面EFG，所以EG∥平面A1BC1，C正確；易證D1F⊥DE，又DE⊥A1D1，A1D1∩D1F＝D1，則DE⊥平面A1D1F，則DE⊥A1F，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與平面平行，平面的基本性質(zhì)及推論，異面直線的判定，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，則＝．【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算法則將展開，結(jié)合求解即可．【解答】解：因?yàn)?，，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積公式，屬于中檔題．14．（5分）若一組10個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10的平均值為3，方差為11，則＝200．【分析】由題意，根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可．【解答】解：若一組10個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10的平均值為3，所以＝3，即a1+a2+...+a10＝30，不妨設(shè)這組數(shù)據(jù)的方差為s2，此時(shí)，即，則．故答案為：200．【點(diǎn)評】本題考查平均數(shù)和方差，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．15．（5分）在平行四邊形ABCD中，CD的中點(diǎn)為E，AE交BD于F，，則x+y＝．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定、平面向量基本定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：連接CF，因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以DC∥AB，所以△DEF∽△BAF，所以，得，所以，，得．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知某圓臺的體積為，其上底面和下底面的面積分別為3π，6π，且該圓臺兩個(gè)底面的圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為．【分析】由圓臺的體積公式求出圓臺的高h(yuǎn)，再由圓的面積公式求出圓臺上、下底面半徑，討論當(dāng)圓臺的上、下底面在球心的同側(cè)時(shí)不滿足題意，當(dāng)圓臺的上、下底面在球心的兩側(cè)時(shí)，設(shè)球心O到下底面的距離為t，球O的半徑為R，由t2+6＝（6﹣t）2+3，解方程求出t，即可求出R，再由球的表面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)該圓臺的高為h，則，解得h＝6．設(shè)圓臺上、下底面半徑為r1，r2，所以，，解得：，當(dāng)圓臺的上、下底面在球心的兩側(cè)時(shí)，設(shè)球心O到下底面的距離為t，球O的半徑為R，則，所以t2+6＝（6﹣t）2+3，解得，則，故球O的表面積為．當(dāng)圓臺的上、下底面在球心的同側(cè)時(shí)，設(shè)球心O到下底面的距離為x，球O的半徑為R，則，所以x2+6＝（6+x）2+3，解得：，不符合題意．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查圓臺與球的結(jié)構(gòu)特征及其體積，表面積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|＝5，．（1）求a；（2）若復(fù)數(shù)z1滿足，求z1．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式即可求解．（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可列方程組求解．【解答】解：（1）由題意得z＝a+（a﹣3）i，z+2i＝a+（a﹣1）i，所以a2+（a﹣1）2＝25?a＝4或a＝﹣3（舍去），故a＝4；（2）設(shè)z1＝x+yi（x，y∈R），則，x2+y2+2（x+yi）＝4+2i所以，解得或，所以z1＝1+i或﹣3+i．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）甲袋中有3個(gè)球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，乙袋中有3個(gè)球，1個(gè)紅球2個(gè)白球，從甲、乙兩袋中隨機(jī)各取1個(gè)球．（1）求這2個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球1個(gè)白球的概率；（2）從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球都放入甲袋，再從甲袋中隨機(jī)取1個(gè)球，求該球?yàn)榧t球的概率．【分析】（1）由題意可知2個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球1個(gè)白球可以是：甲袋取紅球且乙袋取白球或甲袋取白球且乙袋取紅球，分別求出其概率即可；（2）該事件等同于“從乙袋中任取1個(gè)球放進(jìn)甲袋，再從甲袋中取1個(gè)球，且該球?yàn)榧t球”，進(jìn)而可以求出結(jié)果．【解答】解：（1）記事件A1＝甲袋取紅球且乙袋取白球，則，事件A2＝甲袋取白球且乙袋取紅球，則，所以這2個(gè)球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為；（2）該事件等同于“從乙袋中任取1個(gè)球放進(jìn)甲袋，再從甲袋中取1個(gè)球，且該球?yàn)榧t球”，所以所求事件的概率為．【點(diǎn)評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）某商品50天日銷量（單位：件）的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求m；（2）估計(jì)該商品50天日銷量的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（3）估計(jì)該商品50天日銷量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算公式結(jié)合條件即得；（3）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，（0.026+0.020+0.016+2m+0.010）×10＝1，解得m＝0.014；（2）設(shè)該商品50天日銷量的中位數(shù)為x件，因?yàn)榈谝唤M和第二組數(shù)據(jù)的頻率之和為（0.014+0.020）×10＝0.34＜0.5第一組、第二組和第三組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.34+0.026×10＝0.6＞0.5，所以x∈[40，50），則0.34+（x﹣40）×0.026＝0.5，解得x≈46.2；（3）該商品50天日銷量的平均數(shù)的估計(jì)值為（25×0.014+35×0.020+45×0.026+55×0.016+65×0.014+75×0.010）×10＝47.6．【點(diǎn)評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）已知A（4，0），B（1，m）（m＞0），||＝5．（1）求m；（2）若點(diǎn)C，M滿足＝（﹣1，﹣1），＝x+（2﹣x）（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求||的最小值．【分析】（1）由向量模長得到關(guān)于m的方程，求解即得；（2）首先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，表示出模長，配方求得最小值．【解答】解：（1）由||＝5，可得32+m2＝25，又m＞0，∴m＝4．（2）由B（1，4），，可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），所以＝x（4，0）+（2﹣x）（0，3）＝（4x，6﹣3x），∴||＝＝＝，∵x∈R，∴當(dāng)x＝時(shí)，||取最小值，最小值為＝．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．21．（12分）已知四棱錐P﹣ABCD的體積為1，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，PE＝EB，PF＝2FC，平面AEF交CD于點(diǎn)G．（1）求；（2）求多面體ABCGFE的體積．