第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年湖南省湘潭一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（1+2i）i3+2i2＝（）A．2﹣i B．﹣i C．﹣4﹣i D．﹣2i2．（5分）某高中共有學(xué)生2400人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為5：4：6，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從該高中所有學(xué)生中抽取一個容量為120的樣本，則應(yīng)從高三年級抽取的人數(shù)為（）A．32 B．40 C．48 D．563．（5分）根據(jù)河北省第七次全國人口普查結(jié)果，2020年11月1日零時全省各地區(qū)的人口數(shù)據(jù)如下表所示，則這14個地區(qū)的數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為（）地區(qū)石家莊唐山秦皇島邯鄲邢臺保定張家口人口數(shù)10640458771798331368799413990711110692426104118908地區(qū)承德滄州廊坊衡水定州辛集雄安新區(qū)人口數(shù)335444473007835464087421293310959865946281205440A．1095986 B．7717983 C．9242610 D．94139904．（5分）一個內(nèi)壁底面半徑為2的圓柱體玻璃杯中盛有體積為V的水，若放入一個玻璃球（球的半徑與圓柱體玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒了玻璃球，則V＝（）A． B．6π C． D．8π5．（5分）小方將在下周一到周六任選兩天參加社區(qū)的羽毛球活動，則他選擇的兩天恰好是相鄰的兩天的概率為（）A． B． C． D．6．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，PA＝4，E為側(cè)棱PC的中點，則異面直線BE與PA所成角的正切值為（）A． B． C．1 D．7．（5分）在△ABC中，D為BC的中點，3sin∠ADB＝2sin∠ACB，BC＝6，AB＝4，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．2 D．48．（5分）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知M，N，O，P為△ABC所在平面上的點，滿足||＝||＝||，++＝，?＝?＝?，a+b+c＝（a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊），則歐拉線一定過（）A．M，N，P B．M，N，O C．M，O，P D．N，O，P二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)，若m，z﹣i∈R，則（）A． B．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限 C． D．z+2i的虛部為3（多選）10．（5分）一副撲克牌去掉大王和小王后，共52張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從撲克牌中隨機(jī)取出1張，M＝“取出的牌為10”，N＝“取出的牌為紅桃”，P＝“取出的牌為黑桃9”，則（）A．M與N互斥 B．M與P互斥 C．M與N相互獨立 D．N與P對立（多選）11．（5分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝4，，則（）A．該四棱臺的高為3 B．該四棱臺的體積為 C．能夠被完整放入該四棱臺內(nèi)的圓臺的側(cè)面積可能為9π D．該四棱臺的外接球的表面積為33π（多選）12．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝1，a2﹣b2＝c，則（）A．A＝2B B．B＝2A C．a(chǎn)的取值范圍是（1，） D．a(chǎn)的取值范圍是（，）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．（5分）已知i3（m+i）＝1，則實數(shù)m的值為．14．（5分）已知某藝術(shù)班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，該班男生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為25，方差為1，女生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為30，方差為2，則這25名學(xué)生每人作品數(shù)量的方差為．15．（5分）已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，定義×為向量與的向量積，×是一個向量，它的模|×|＝||||sinθ．若?＝k|×|，則（1）當(dāng)k＝時，θ＝；（2）若向量與為單位向量，當(dāng)k＝時，在+上的投影向量（與+同向的單位向量為）為．16．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，Q，H分別為所在棱的中點，則直線HC與平面EFQ所成角的正弦值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知向量＝（﹣3，0），＝（μ+3，﹣1），＝（1，λ）．（1）若λ＝8，μ＝﹣6，求向量﹣與的夾角；（2）若（+）⊥且（5+3）∥，求λ與μ的值．18．（12分）某市對該市全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于環(huán)境保護(hù)相關(guān)知識的測試，統(tǒng)計人員從A校隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，從B校隨機(jī)抽取了400名學(xué)生，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間[50，100]內(nèi)，并將收集到的數(shù)據(jù)按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．（1）估計A校這300名學(xué)生成績的75%分位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計A校抽取的300名學(xué)生成績的平均值為μ1，B校抽取的400名學(xué)生成績的平均值為μ2，以及A，B兩校抽取的700名學(xué)生成績的平均值為μ0，試比較μ0和的大?。?9．（12分）已知在△ABC中，A+C＝5B，AB＝，BC＝4．（1）求sinC；（2）若D為BC邊上一點且，求△ADC的面積．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝2，CD＝PC＝1，E，G分別為BP，AB的中點．（1）證明：CE∥平面ADP；（2）從下面①②兩個問題中任意選擇一個解答，如果兩個都解答，則按第一個計分，①求點E到平面ADP的距離；②求點E到平面PDG的距離．21．（12分）某學(xué)校派甲、乙兩人組成“少年隊”參加射擊比賽，每輪比賽由甲、乙各射擊一次，已知甲每輪射中的概率為，乙每輪射中的概率為．在每輪比賽中，甲和乙射中與否互不影響，各輪比賽結(jié)果也互不影響．（1）求“少年隊”在一輪比賽中恰好射中1次的概率；（2）求“少年隊”在三輪比賽中恰好射中3次的概率．22．（12分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點C1在平面B1CD1的射影為H．（1）證明：H為△B1CD1的垂心．（2）若AB＝2BC＝2BB1＝4，且點A在平面B1CD1的射影為點G，求三棱錐A﹣B1GH的體積．

2022-2023學(xué)年湖南省湘潭一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（1+2i）i3+2i2＝（）A．2﹣i B．﹣i C．﹣4﹣i D．﹣2i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法求解即可．【解答】解：（1+2i）i3+2i2＝（1+2i）（﹣i）﹣2＝﹣i．故選：B．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）某高中共有學(xué)生2400人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為5：4：6，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從該高中所有學(xué)生中抽取一個容量為120的樣本，則應(yīng)從高三年級抽取的人數(shù)為（）A．32 B．40 C．48 D．56【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，計算即可．【解答】解：高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為5：4：6，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從該高中所有學(xué)生中抽取一個容量為120的樣本，則應(yīng)從高三年級抽取的人數(shù)為120×＝48．故選：C．【點評】本題考查分層抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）根據(jù)河北省第七次全國人口普查結(jié)果，2020年11月1日零時全省各地區(qū)的人口數(shù)據(jù)如下表所示，則這14個地區(qū)的數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為（）地區(qū)石家莊唐山秦皇島邯鄲邢臺保定張家口人口數(shù)10640458771798331368799413990711110692426104118908地區(qū)承德滄州廊坊衡水定州辛集雄安新區(qū)人口數(shù)335444473007835464087421293310959865946281205440A．1095986 B．7717983 C．9242610 D．9413990【分析】由題意，根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解．【解答】解：將這14個地區(qū)的數(shù)據(jù)按從小到大排列：594628，1095986，1205440，3136879，3354444，4118908，4212933，5464087，7111106，7300783，7717983，9242610，9413990，10640458，因為14×85%＝11.9，所以這14個地區(qū)的數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為第12個數(shù)據(jù)，即這14個地區(qū)的數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為9242610．故選：C．【點評】本題考查百分位數(shù)，考查了邏輯推理和運算能力．4．（5分）一個內(nèi)壁底面半徑為2的圓柱體玻璃杯中盛有體積為V的水，若放入一個玻璃球（球的半徑與圓柱體玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒了玻璃球，則V＝（）A． B．6π C． D．8π【分析】由已知直接利用球的體積公式，圓柱的體積公式建立等量關(guān)系求解V的值．【解答】解：由題意，玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來的體積，已知玻璃球的半徑等于圓柱形玻璃杯的底面半徑為2，則玻璃球的體積為，圓柱的底面面積為4π，若放入一個玻璃球后，水恰好淹沒玻璃球，此時水面的高度為4，∴4π×4＝，可得V＝．故選：C．【點評】本題考查球的體積公式，圓柱的體積公式，考查運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，是中檔題．5．（5分）小方將在下周一到周六任選兩天參加社區(qū)的羽毛球活動，則他選擇的兩天恰好是相鄰的兩天的概率為（）A． B． C． D．【分析】由古典概型公式計算即可．【解答】解：小方在下周一到周六任選兩天參加社區(qū)的羽毛球活動，共有種不同的選擇方法，其中兩天恰好是相鄰的兩天的有5種，故他選擇的兩天恰好是相鄰的兩天的概率為．故選：B．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，PA＝4，E為側(cè)棱PC的中點，則異面直線BE與PA所成角的正切值為（）A． B． C．1 D．【分析】根據(jù)線線平行即可得∠BEO為異面直線BE與PA所成的角，由三角形的邊角關(guān)系即可求解．【解答】解：連接AC，BD，設(shè)AC∩BD＝O，則O是AC，BD的中點，連接OE，由于E是PC的中點，所以O(shè)E∥PA，則∠BEO為異面直線BE與PA所成的角，，由于PA⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD，而OB?平面ABCD，所以O(shè)E⊥OB，則．故選：D．【點評】本題考查了異面直線所成的角的計算，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）在△ABC中，D為BC的中點，3sin∠ADB＝2sin∠ACB，BC＝6，AB＝4，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．2 D．4【分析】分別在△ABD，△ABC中由正弦定理可得＝，設(shè)AC＝2k，AD＝3k，再由余弦定理可得cosB的表達(dá)式，可得k2的值，進(jìn)而可得cosB的值，再求可得sinB的值，代入三角形的面積公式，可得△ABC的面積．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理可得＝，在△ABC中，＝，兩式相比可得＝，因為3sin∠ADB＝2sin∠ACB，所以＝，設(shè)AC＝2k，AD＝3k，由余弦定理可得cosB＝＝，又因為BC＝6，AB＝4，D為BC的中點，所以BD＝3，即＝，解得k2＝1，所以cosB＝＝，可得sinB＝，所以S△ABC＝AB?BC?sinB＝×4×6×＝4．故選：D．【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（5分）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知M，N，O，P為△ABC所在平面上的點，滿足||＝||＝||，++＝，?＝?＝?，a+b+c＝（a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊），則歐拉線一定過（）A．M，N，P B．M，N，O C．M，O，P D．N，O，P【分析】由題設(shè)條件，分別判定M為外心，N為重心，O為垂心，點P的位置和a，b，c有關(guān)，故不一定，由此得出結(jié)論．【解答】解：因為M，N，O，P為△ABC所在平面上的點，則有：由||＝||＝||，可知點M為△ABC的外心，設(shè)BC邊的中點為D，則，又++＝，∴，所以2，即A，N，D三點共線且點N為靠近點D的三等分點，故點N為△ABC的重心，由a+b+c＝可知，當(dāng)a＝b＝c時，點P是△ABC的重心，反之則不是，由?＝?可得：＝＝0，即OB⊥AC，同理可得：OC⊥AB，OA⊥BC，故點O為△ABC的垂心，由歐拉線定義可知，歐拉線一定經(jīng)過M，N，O三點．故選：B．【點評】本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積性質(zhì)，屬中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)，若m，z﹣i∈R，則（）A． B．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限 C． D．z+2i的虛部為3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則化簡，然后根據(jù)條件m，z﹣i∈R，解得m＝7，逐個判斷選項即可．【解答】解：，因為z﹣i∈R，所以，解得m＝7，則z＝2+i，，A正確；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（2，1），在第一象限，B錯誤；，C正確；z+2i＝2+3i，虛部為3，D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）一副撲克牌去掉大王和小王后，共52張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從撲克牌中隨機(jī)取出1張，M＝“取出的牌為10”，N＝“取出的牌為紅桃”，P＝“取出的牌為黑桃9”，則（）A．M與N互斥 B．M與P互斥 C．M與N相互獨立 D．N與P對立【分析】利用互斥事件、獨立事件與對立事件的定義與概率公式逐一判斷即可．【解答】解：因為M＝“取出的牌為10”，N＝“取出的牌為紅桃”，P＝“取出的牌為黑桃9”，所以M與N可以同時發(fā)生，M與P不能同時發(fā)生，所以M與N不互斥，M與P互斥，故A錯誤，B正確；因為，所以，故C正確；因為N與P的并事件不是全事件，所以N與P不對立，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查互斥事件、獨立事件與對立事件的定義與計算，屬中檔題．（多選）11．（5分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝4，，則（）A．該四棱臺的高為3 B．該四棱臺的體積為 C．能夠被完整放入該四棱臺內(nèi)的圓臺的側(cè)面積可能為9π D．該四棱臺的外接球的表面積為33π【分析】根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)分析，求得四棱臺的高為3，然后根據(jù)體積公式、外接球的表面積，內(nèi)接圓臺的側(cè)面積逐個判斷選項．【解答】解：因為AB＝2，A1B1＝4，，所以該四棱臺的高為，A正確．該四棱臺的體積為，B錯誤．當(dāng)圓臺剛好能夠被完整放入該四棱臺時，圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為3，圓臺的母線長為，側(cè)面積為，，C正確．設(shè)該四棱臺的外接球的球心到上底面的距離為x，則2+x2＝8+（3﹣x）2，解得，則該四棱臺的外接球的半徑，該四棱臺的外接球的表面積為4πR2＝33π，D正確．故選：ACD．【點評】本題考查棱臺的性質(zhì)和體積，以及圓臺的側(cè)面積和棱臺的外接球的表面積，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．（多選）12．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝1，a2﹣b2＝c，則（）A．A＝2B B．B＝2A C．a(chǎn)的取值范圍是（1，） D．a(chǎn)的取值范圍是（，）【分析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得sin（A﹣B）＝sinB，可求A＝2B，即可判斷A，B；利用二倍角公式，正弦定理可得a＝2cosB，由題意可求范圍B∈（，），利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解a的取值范圍，即可判斷C，D．【解答】解：因為b＝1，a2﹣b2＝c，所以a2﹣b2＝bc，由正弦定理得sin2A﹣sin2B＝sinBsinC，由二倍角公式得﹣＝sinBsinC，可得（cos2B﹣cos2A）＝sinBsinC，由和差化積公式可得sin（A+B）sin（A﹣B）＝sinBsinC，即sinCsin（A﹣B）＝sinBsinC，因為△ABC為銳角三角形，所以C∈（0，），sinC≠0，所以sin（A﹣B）＝sinB，所以A﹣B＝B或A﹣B+B＝A＝π（舍去），即A＝2B，故A正確，B錯誤；因為sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理可得＝2cosB，即a＝2cosB，由題意得0＜A＝2B＜，解得B∈（0，），又0＜C＝π﹣3B＜，解得B∈（，），又B∈（0，），可得B∈（，），所以cosB∈（，），a＝2cosB∈（，），即a的取值范圍是（，），故C錯誤，D正確．故選：AD．【點評】本題考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．（5分）已知i3（m+i）＝1，則實數(shù)m的值為0．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：i3（m+i）＝1，則﹣i（m+i）＝1﹣mi＝1，即m＝0．故答案為：0．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知某藝術(shù)班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，該班男生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為25，方差為1，女生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為30，方差為2，則這25名學(xué)生每人作品數(shù)量的方差為．【分析】根據(jù)分層抽樣的平均數(shù)和方差的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解．【解答】解：由題意得，這25名學(xué)生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為，所以方差為．故答案為：．【點評】本題主要考查了平均數(shù)和方差的計算，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，定義×為向量與的向量積，×是一個向量，它的模|×|＝||||sinθ．若?＝k|×|，則（1）當(dāng)k＝時，θ＝；（2）若向量與為單位向量，當(dāng)k＝時，在+上的投影向量（與+同向的單位向量為）為．【分析】（1）由題意可知，||||cosθ＝||||sinθ，求出tanθ的值，進(jìn)而求出θ；（2）先求出cosθ的值，進(jìn)而求出，再利用公式||＝求出||的值，再結(jié)合投影向量的定義求解即可．【解答】解：（1）∵?＝|×|，且|×|＝||||sinθ，∴||||cosθ＝||||sinθ，∵與為兩個非零向量，∴||≠0，||≠0，∴tanθ＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝；（2）當(dāng)k＝時，?＝|×|，∴||||cosθ＝||||sinθ，∵向量與為單位向量，∴||＝||＝1，∴cosθ＝sinθ，又∵sin2θ+cos2θ＝1，∴，∴sin2θ＝，∵θ∈[0，π]，∴sinθ≥0，∴sinθ＝，∴cosθ＝，∴＝||||cosθ＝，∴||＝＝＝＝，∴在+上的投影向量（與+同向的單位向量為）為＝＝．故答案為：（1）；（2）．【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，考查了投影向量的定義，屬于中檔題．16．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，Q，H分別為所在棱的中點，則直線HC與平面EFQ所成角的正弦值為．【分析】作出直線HC與平面EFQ所成角，解直角三角形求得所成角的正弦值．【解答】解：連接DA1，CB1，過H作HG⊥DA1，垂足為G，連接CG，由于E，F(xiàn)，Q分別是A1D1，DD1，CC1的中點，所以EF∥DA1，QF∥CD，由于DA1?平面EFQ，EF?平面EFQ，所以DA1∥平面EFQ；由于CD?平面EFQ，QF?平面EFQ，所以CD∥平面EFQ；由于DA1∩CD＝D，DA1，CD?平面A1B1CD，所以平面EFQ∥平面A1B1CD，所以HC與平面EFQ所成角，也即HC與平面A1B1CD所成角．根據(jù)正方體的性質(zhì)可知CD⊥平面ADD1A1，由于HG?平面ADD1A1，所以CD⊥HG，由于DA1∩CD＝D，DA1，CD?平面A1B1CD，所以HG⊥平面A1B1CD，所以∠HCG是HC與平面A1B1CD所成角．設(shè)正方體的棱長為2，連接AC，DH，則，，解得HG＝，所以．故答案為：．【點評】本題考查空間中平行，垂直關(guān)系的判斷，考查線面角的正弦值求解，考查運算求解能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知向量＝（﹣3，0），＝（μ+3，﹣1），＝（1，λ）．（1）若λ＝8，μ＝﹣6，求向量﹣與的夾角；（2）若（+）⊥且（5+3）∥，求λ與μ的值．【分析】（1）根據(jù)題意，求得＝（﹣4，﹣8），結(jié)合向量的夾角公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，＝（μ，﹣1），結(jié)合（+）⊥和（5+3）∥，列出λ，μ的方程組，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)λ＝8，μ＝﹣6時，可得＝（﹣3，﹣1），＝（1，8），∴﹣＝（﹣4，﹣8），設(shè)向量﹣與的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，∵θ∈[0，π]，∴向量﹣與的夾角為；（2）∵＝（﹣3，0），＝（μ+3，﹣1），∴＝（μ，﹣1），∵（+）⊥，∴（）＝μ﹣λ＝0，∴μ＝λ，又∵（5+3）∥，且5+3＝（﹣12，3λ），∴3λ（μ+3）＝12，即λ（μ+3）＝4，又∵μ＝λ，∴μ（μ+3）＝4，解得μ＝1或﹣4，∴λ＝μ＝1或λ＝μ＝﹣4．【點評】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，考查了向量垂直和平行的坐標(biāo)關(guān)系，屬于中檔題．18．（12分）某市對該市全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于環(huán)境保護(hù)相關(guān)知識的測試，統(tǒng)計人員從A校隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，從B校隨機(jī)抽取了400名學(xué)生，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間[50，100]內(nèi)，并將收集到的數(shù)據(jù)按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．（1）估計A校這300名學(xué)生成績的75%分位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計A校抽取的300名學(xué)生成績的平均值為μ1，B校抽取的400名學(xué)生成績的平均值為μ2，以及A，B兩校抽取的700名學(xué)生成績的平均值為μ0，試比較μ0和的大?。痉治觥浚?）由題意，根據(jù)百分位數(shù)的定義，列出等式求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的定義分別求出μ1，μ2，進(jìn)而得到的值，因為A校與B校抽取的學(xué)生人數(shù)比值為3：4，所以A校抽取的學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的校抽取的學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的，列出等式求出μ0的值，再進(jìn)行比較即可得到答案．【解答】解：（1）不妨設(shè)75%分位數(shù)為x，此時x∈[80，90），則10×0.005+10×0.015+10×0.02+（x﹣80）×0.04＝0.75，解得x＝88.75，所以估計A校這300名學(xué)生成績的75%分位數(shù)為88.75；（2）易知μ1＝（55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02）×10＝80.5，μ2＝55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝77，此時＝＝78.75，因為統(tǒng)計人員從A校隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，從B校隨機(jī)抽取了400名學(xué)生，所以A校與B校抽取的學(xué)生人數(shù)比值為3：4，則A校抽取的學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的校抽取的學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的，所以A，B兩個學(xué)校抽取的700名學(xué)生成績的平均值，因為78.5＜78.75，所以μ0＜．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及平均數(shù)的定義，考查了邏輯推理和運算能力．19．（12分）已知在△ABC中，A+C＝5B，AB＝，BC＝4．（1）求sinC；（2）若D為BC邊上一點且，求△ADC的面積．【分析】（1）易得B＝，先利用余弦定理，求得AC的長，再由正弦定理，即可求出sinC的值；（2）結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與兩角和的正弦公式，可得sin∠ADC的值，再在△ACD中，利用正弦定理，求出CD的長，然后由S＝AC?CDsinC，得解．【解答】解：（1）因為A+C＝5B，且A+B+C＝π，所以B＝，A+C＝，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcosB＝3+16﹣2××4×cos＝7，所以AC＝，由正弦定理知，＝，所以＝，即sinC＝．（2）由（1）知，sinC＝＜，所以0＜C＜或＜C＜π，又B＝，所以C＜，所以0＜C＜，所以cosC＝＝，因為，且∠CAD∈（0，π），所以sin∠CAD＝＝，所以sin∠ADC＝sin（∠CAD+C）＝sin∠CADcosC+cos∠CADsinC＝×+×＝，在△ACD中，由正弦定理知，＝，所以CD＝?sin∠CAD＝×＝，所以△ADC的面積S＝AC?CDsinC＝×××＝．【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝2，CD＝PC＝1，E，G分別為BP，AB的中點．（1）證明：CE∥平面ADP；（2）從下面①②兩個問題中任意選擇一個解答，如果兩個都解答，則按第一個計分，①求點E到平面ADP的距離；②求點E到平面PDG的距離．【分析】（1）利用線線平行的傳遞性證得四邊形CEFD為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）①②利用等腰梯形與勾股定理求得所需線段長，從而求得所需三角形面積，再利用等體積法即可得解．【解答】解：（1）證明：如圖，取AP的中點F，連接EF，DF，因為F，E分別為PA，BP的中點，∴AB＝2EF且EF∥AB，∵AB＝2CD且AB∥CD，∴EF∥CD且EF＝CD，∴四邊形CEFD為平行四邊形，∴CE∥DF，∵DF?平面ADP，CE?平面ADP，∴CE∥平面ADP．（2）選①，如圖，連接AC，過點D作AB的垂線，垂足為M，因為底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝2，CD＝1，則，，，∵PC⊥平面ABCD，CD?面ABCD，∴PC⊥CD，ABCD，∴PC⊥CD，∵CD＝PC＝1，∴，同理PC⊥AC，∵∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，∴根據(jù)余弦定理易得AC＝，∴AP＝＝2，∴由余弦定理可得，又0＜∠PAD＜π，則，∴S△ADP＝，∵CE∥平面ADP，∴點E到平面ADP的距離等于點C到平面ADP的距離，設(shè)C到平面ADP的距離為h，則由VC﹣ADP＝VP﹣ACD，得，解得，∴點E到平面ADP的距離為．選②如圖，連接AC，過點D作AB的垂線，垂足為M，因為底面ABCD為等腰梯形，AB＝2，CD＝1，AB∥CD，∠DAB＝60°，則，，，∵∠DAB＝60°，AD＝AG＝1，∴△ADG為正三角形，∴AD＝AG＝DG＝CG＝CD＝1，∵CD?面ABCD，PC⊥平面ABCD，∴PC⊥CD，同理ABCD，∴PC⊥CG，PC⊥CD，∵PC＝1，∴，∵PC＝1，∴，∴△PDG的面積為，∵E為PB的中點，∴點B到平面PDG的距離等于點E到平面PDG的距離的2倍，設(shè)B到平面PDG的距離為h，則VP﹣BDG＝VB﹣PDG，∴，解得∴，∴點E到平面PDG的距離為，【點評】本題考查線面平行的證明，點面距的求解，屬中檔題．21．（12分）某學(xué)校派甲、乙兩人組成“少年隊”參加射擊比賽，每輪比賽由甲、乙各射擊一次，已知甲每輪射中的概率為，乙每輪射中的概率為．在每輪比賽中，甲和乙射中與否互不影響，各輪比賽結(jié)果也互不影響．（1）求“少年隊”在一輪比賽中恰好射中1次的概率；（2）求“少年隊”在三輪比賽中恰好射中3