./一次函數(shù)知識點總結(jié)基本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量.常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量.例題：在勻速運動公式中,表示速度,表示時間,表示在時間內(nèi)所走的路程,則變量是________,常量是_______.在圓的周長公式C=2πr中,變量是________,常量是_________.2、函數(shù)：一般的,在一個變化過程中,如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),那么我們就把x稱為自變量,把y稱為因變量,y是x的函數(shù).*判斷Y是否為X的函數(shù),只要看X取值確定的時候,Y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)例題：下列函數(shù)〔1y=πx<2>y=2x-1<3>y=EQ\F<1,x><4>y=2-1-3x<5>y=x2-1中,是一次函數(shù)的有〔〔A4個〔B3個〔C2個〔D1個3、定義域：一般的,一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍,叫做這個函數(shù)的定義域.4、確定函數(shù)定義域的方法：〔1關(guān)系式為整式時,函數(shù)定義域為全體實數(shù)；〔2關(guān)系式含有分式時,分式的分母不等于零；〔3關(guān)系式含有二次根式時,被開放方數(shù)大于等于零；〔4關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時,底數(shù)不等于零；〔5實際問題中,函數(shù)定義域還要和實際情況相符合,使之有意義.例題：下列函數(shù)中,自變量x的取值范圍是x≥2的是〔A．y=B．y=C．y=D．y=·函數(shù)中自變量x的取值范圍是___________.已知函數(shù),當(dāng)時,y的取值范圍是〔A.B.C.D.5、函數(shù)的圖像一般來說,對于一個函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形,就是這個函數(shù)的圖象．6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式.7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表〔表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值；第二步：描點〔在直角坐標(biāo)系中,以自變量的值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點；第三步：連線〔按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來.8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然,使用起來方便,但列出的對應(yīng)值是有限的,不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律.解析式法：簡單明了,能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系,但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系,不能用解析式表示.圖象法：形象直觀,但只能近似地表達(dá)兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系.9、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地,形如y=kx<k是常數(shù),k≠0>的函數(shù)叫做正比例函數(shù),其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx<k不為零>=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指數(shù)為1=3\*GB3③b取零當(dāng)k>0時,直線y=kx經(jīng)過三、一象限,從左向右上升,即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時,直線y=kx經(jīng)過二、四象限,從左向右下降,即隨x增大y反而減?。馕鍪剑簓=kx〔k是常數(shù),k≠0必過點：〔0,0、〔1,k走向：k>0時,圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時,圖像經(jīng)過二、四象限增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小傾斜度：|k|越大,越接近y軸；|k|越小,越接近x軸例題：.正比例函數(shù),當(dāng)m時,y隨x的增大而增大.若是正比例函數(shù),則b的值是〔A.0B.C.D..函數(shù)y=<k-1>x,y隨x增大而減小,則k的范圍是<>A.B.C.D.東方超市鮮雞蛋每個0.4元,那么所付款y元與買鮮雞蛋個數(shù)x〔個之間的函數(shù)關(guān)系式是_______________．平行四邊形相鄰的兩邊長為x、y,周長是30,則y與x的函數(shù)關(guān)系式是__________．10、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地,形如y=kx＋b<k,b是常數(shù),k≠0>,那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時,y=kx＋b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b<k不為零>=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②x指數(shù)為1=3\*GB3③b取任意實數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過〔0,b和〔-,0兩點的一條直線,我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.〔當(dāng)b>0時,向上平移；當(dāng)b<0時,向下平移〔1解析式：y=kx+b<k、b是常數(shù),k0>〔2必過點：〔0,b和〔-,0〔3走向：k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限〔4增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.〔5傾斜度：|k|越大,圖象越接近于y軸；|k|越小,圖象越接近于x軸.〔6圖像的平移：當(dāng)b>0時,將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；當(dāng)b<0時,將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.例題：若關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù),則m=,n..函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置正確的是〔將直線y＝3x向下平移5個單位,得到直線；將直線y＝-x-5向上平移5個單位,得到直線.若直線和直線的交點坐標(biāo)為<>,則____________.已知函數(shù)y＝3x+1,當(dāng)自變量增加m時,相應(yīng)的函數(shù)值增加〔Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－111、一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線,并且只能畫出一條直線,即兩點確定一條直線,所以畫一次函數(shù)的圖象時,只要先描出兩點,再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點：〔0,b,.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點.b>0b<0b=0k>0經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限圖象從左到右上升,y隨x的增大而增大k<0經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限圖象從左到右下降,y隨x的增大而減小若m＜0,n＞0,則一次函數(shù)y=mx+n的圖象不經(jīng)過〔A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限12、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線,它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到〔當(dāng)b>0時,向上平移；當(dāng)b<0時,向下平移.13、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系〔1兩直線平行：k1=k2且b1b2〔2兩直線相交：k1k2〔3兩直線重合：k1=k2且b1=b214、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：〔1根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；〔2將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；〔3解方程得出未知系數(shù)的值；〔4將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.15、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0〔a,b為常數(shù),a≠0的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時,求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標(biāo)的值.16、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0〔a,b為常數(shù),a≠0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大〔小于0時,求自變量的取值范圍.17、一次函數(shù)與二元一次方程組〔1以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.〔2二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=和y=的圖象交點.一次函數(shù)自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b〔k為任意不為零實數(shù),b為任意實數(shù)則此時稱y是x的一次函數(shù).特別的,當(dāng)b=0時,y是x的正比例函數(shù).即：y=kx〔k為任意不為零實數(shù)定義域：自變量的取值范圍,自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實際有意義.一次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)： b>0 b<0 b=0k>0 經(jīng)過第一、二、三象限 經(jīng)過第一、三、四象限 經(jīng)過第一、三象限 圖象從左到右上升,y隨x的增大而增大k<0 經(jīng)過第一、二、四象限 經(jīng)過第二、三、四象限 經(jīng)過第二、四象限 圖象從左到右下降,y隨x的增大而減小一次函數(shù)的性質(zhì)1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k即：y=kx+b〔k≠0>〔k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù)2.當(dāng)x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距.3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1<角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角>形.取.象.交.減一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1．作法與圖形：通過如下3個步驟〔1列表[一般取兩個點,根據(jù)兩點確定一條直線]；〔2描點；〔3連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線.因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可.〔通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點2．性質(zhì)：〔1在一次函數(shù)上的任意一點P〔x,y,都滿足等式：y=kx+b<k≠0>.〔2一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是〔0,b>,與x軸總是交于〔-b/k,0正比例函數(shù)的圖像總是過原點.3．函數(shù)不是數(shù),它是指某一變量過程中兩個變量之間的關(guān)系.4．k,b與函數(shù)圖像所在象限：y=kx時當(dāng)k＞0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小.y=kx+b時：當(dāng)k>0,b>0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,二,三象限.當(dāng)k>0,b<0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,三,四象限.當(dāng)k<0,b<0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過二,三,四象限.當(dāng)k<0,b>0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,二,四象限.當(dāng)b＞0時,直線必通過一、二象限；當(dāng)b＜0時,直線必通過三、四象限.特別地,當(dāng)b=0時,直線通過原點O〔0,0表示的是正比例函數(shù)的圖像.這時,當(dāng)k＞0時,直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時,直線只通過二、四象限.4、特殊位置關(guān)系當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時,其函數(shù)解析式中K值〔即一次項系數(shù)相等當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時,其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)〔即兩個K值的乘積為-1確定一次函數(shù)的表達(dá)式已知點A〔x1,y1；B〔x2,y2,請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式.〔1設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式〔也叫解析式為y=kx+b.〔2因為在一次函數(shù)上的任意一點P〔x,y,都滿足等式y(tǒng)=kx+b.所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②〔3解這個二元一次方程,得到k,b的值.〔4最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式.一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用1.當(dāng)時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù).s=vt.2.當(dāng)水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù).設(shè)水池中原有水量S.g=S-ft.常用公式〔不全,希望有人補充1.求函數(shù)圖像的k值：〔y1-y2>/<x1-x2>2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/23.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/24.求任意線段的長：√<x1-x2>^2+<y1-y2>^2〔注：根號下〔x1-x2>與〔y1-y2>的平方和5.求兩一次函數(shù)式圖像交點坐標(biāo)：解兩函數(shù)式兩個一次函數(shù)y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2兩式任一式得到y(tǒng)=y0則<x0,y0>即為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2交點坐標(biāo)6.求任意2點所連線段的中點坐標(biāo)：[〔x1+x2/2,〔y1+y2/2]7.求任意2點的連線的一次函數(shù)解析式：〔X-x1/<x1-x2>=<Y-y1>/<y1-y2><其中分母為0,則分子為0>kb++在一、二、三象限+-在一、三、四象限-+在一、二、四象限--在二、三、四象限8.若兩條直線y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b29.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1應(yīng)用一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)是：〔1當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大；〔2當(dāng)k<0時,y隨x的增大而減小.利用一次函數(shù)的性質(zhì)可解決下列問題.一、確定字母系數(shù)的取值范圍例1.已知正比例函數(shù),則當(dāng)m=______________時,y隨x的增大而減小.解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì),得且m<0,即且,所以.二、比較x值或y值的大小例2.已知點P1〔x1,y1、P2〔x2,y2是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點,且y1>y2,則x1與x2的大小關(guān)系是〔A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.無法確定解：根據(jù)題意,知k=3>0,且y1>y2.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)"當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大",得x1>x2.故選A.三、判斷函數(shù)圖象的位置例3.一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0,且y隨x的增大而減小,則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過〔A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解：由kb>0,知k、b同號.因為y隨x的增大而減小,所以k<0.所以b<0.故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,不經(jīng)過第一象限.故選A.典型例題:例1.一個彈簧,不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長,伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后,彈簧總長是13.5cm,求彈簧總長是y<cm>與所掛物體質(zhì)量x<kg>之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm,求自變量x的取值范圍.分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題,同時也是實際問題,其核心是彈簧的總長是空載長度與負(fù)載后伸長的長度之和,而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質(zhì)量及實際的思路來處理.解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12則13.5=3k+12,得k=0.5∴所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12由23=0.5x+12得：x=22∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22[考點指要]一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級知識點,特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起,以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中,大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.例2.如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式.解：〔1若k＞0,則可以列方程組-2k+b=-116k+b=9解得k=2.5b=-6,則此時的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6〔2若k＜0,則可以列方程組-2k+b=96k+b=-11解得k=-2.5b=4,則此時的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4[考點指要]此題主要考察了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解,若k＞0,則y隨x的增大而增大；若k＜0,則y隨x的增大而減小.一次函數(shù)解析式的幾種類型①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]〔k為直線斜率,b為直線縱截距,正比例函數(shù)b=0③y-y1=k<x-x1>[點斜式]〔k為直線斜率,<x1,y1>為該直線所過的一個點④〔y-y1/<y2-y1>=<x-x1>/<x2-x1>[兩點式]〔〔x1,y1與〔x2,y2為直線上的兩點⑤x/a-y/b=0[截距式]〔a、b分別為直線在x、y軸上的截距解析式表達(dá)局限性：①所需條件較多〔3個；②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線〔平行于x軸的直線；④參數(shù)較多,計算過于煩瑣；⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點的直線.傾斜角：x軸到直線的角〔直線與x軸正方向所成的角稱為直線的傾斜角.設(shè)一直線的傾斜角為a,則該直線的斜率k=tg<a>形如y=kx<k為常數(shù),且k不等于0,y就叫做x的正比例函數(shù).正比例函數(shù)屬于一次函數(shù),正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式.即當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b若b=0,則此為正比例函數(shù).圖像做法1.列表2.描點3.連線<一定要經(jīng)過坐標(biāo)軸的原點>其次,正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點和〔1,k[或<2,2k>,<3,3k>等]兩點的一條直線.其他:當(dāng)k>0時,它的圖像〔除