小學數(shù)學奧數(shù)根底教程(六年級)本教程共30講棋盤的覆蓋同學們會下棋嗎？下棋就要有棋盤，下面是中國象棋的棋盤〔圖1〕，圍棋棋盤〔圖2〕和國際象棋棋盤〔圖3〕。用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問題。實際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關覆蓋假設干行、假設干列的方格網(wǎng)的問題，就是棋盤的覆蓋問題。棋盤的覆蓋問題可以分為兩類：一是能不能覆蓋的問題，二是有多少種不同的覆蓋方法問題。例1要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形，最少要用多少個右圖所示的圖形？分析與解：因為圖形由3個小方格構成，所以要拼成的正方形內所含的小方格數(shù)應是3的倍數(shù)，從而正方形的邊長應是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗，不可能拼成邊長為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長最少是6〔見右圖〕，需要用題目所示的圖形36÷3=12〔個〕。分析與解：在五年級學習“奇偶性〞時已經(jīng)講過類似問題。左上圖共有34個小方格，17個1×2的卡片也有34個小方格，好象能覆蓋住。我們將左上圖黑白相間染色，得到右上圖。細心觀察會發(fā)現(xiàn)，右上圖中黑格有16個，白格有18個，而1×2的卡片每次只能蓋住一個黑格與一個白格，所以17個1×2的卡片應當蓋住黑、白格各17個，不可能蓋住左上圖。例3下列圖的七種圖形都是由4個相同的小方格組成的?，F(xiàn)在要用這些圖形拼成一個4×7的長方形〔可以重復使用某些圖形〕，那么，最多可以用上幾種不同的圖形？分析與解：先從簡單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個〔7〕；用2種圖形也沒問題，例如用1個〔7〕，6個〔1〕。經(jīng)試驗，用6種圖形也可以拼成4×7的長方形〔見下列圖〕。能否將7種圖形都用上呢？7個圖形共有4×7=28〔個〕小方格，從小方格的數(shù)量看，如果每種圖形用1個，那么有可能拼成4×7的長方形。但事實上卻拼不成。為了說明，我們將4×7的長方形黑、白相間染色〔見右圖〕，圖中黑、白格各有14個。在7種圖形中，除第〔2〕種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個，共覆蓋黑、白格各12個，還剩下黑、白格各2個。第〔2〕種圖形只能覆蓋3個黑格1個白格或3個白格1個黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個黑格2個白格。綜上所述，要拼成4×7的長方形，最多能用上6種圖形。例4用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個？分析與解：用3個2×2正方形和2個3×3正方形可以拼成1個5×6的長方形〔見左下列圖〕。用4個5×6的長方形和1個1×1的正方形可以拼成1個11×11的大正形〔見右下列圖〕。上面說明用1個1×1的正方形和假設干2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？將11×11的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行〔見下頁右上圖〕。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數(shù)個白格，所以無論放置多少個2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個。但是，右圖中的白格有11×7=77〔個〕，是奇數(shù)，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。綜上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1個1×1的小正方形。例5用七個1×2的小長方形覆蓋下列圖，共有多少種不同的覆蓋方法？分析與解：盲目無章的試驗，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如下列圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左下列圖中①②兩個小長方形只能如圖覆蓋，其余局部有4種覆蓋方法：右下列圖中①②③三個小長方形只能如圖覆蓋，其余局部有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。例6有許多邊長為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個長5厘米、寬3厘米的長方形的紙板，共有多少種不同的拼法？〔通過旋轉及翻轉能相互得到的拼法認為是相同的拼法〕解：有一個邊長3厘米紙片有如下3種拼法：有兩個邊長2厘米紙片的有如下4種拼法：有一個邊長2厘米及11個邊長1厘米紙片的有2種拼法，邊長全是1厘米紙片的有1種拼法。共有不同的拼法3＋4＋2+1=10〔種〕。答：共有10種不同的拼法。練習15在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個這樣的卡片？〔要求卡片的邊緣與格線重合〕4.小明有8張連在一起的電影票〔如右圖〕，他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？5.有假設干個邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形，從中選出一些拼成一個邊長為4的大正方形，共有多少種不同拼法？〔只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法〕7.能不能用9個1×4的長方形卡片拼成一個6×6的正方形？答案與提示練習151.3個。提示：左下列圖是一種放法。2.圖〔2〕。提示：圖〔1〕的小方格數(shù)不是3的倍數(shù)；圖〔3〕的小方格數(shù)是3的倍數(shù)但拼不成；圖〔2〕的拼法見右上圖。3.不能。提示：右圖中黑、白格各18個，每張卡片蓋住的黑格數(shù)是奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù)，不可能蓋住18個黑格。4.25種。提示：形如圖〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕的依次有3，10，6，6種。5.6種。解：用小正方形拼成邊長為4的大正方形有6種情形：〔1〕1個3×3，7個1×1；〔2〕1個2×2，12個1×1；〔3〕2個2×2，8個1×1；〔4〕3個2×2，4個1×1；〔5〕4個2×2；〔6〕16個1×1。6.5種。提示：蓋住A有下列圖所示的5種方法，其中左下列圖所示的3種都無法覆蓋；下中圖中，①放好后，左下方