./1.1隨機(jī)事件習(xí)題1試說明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)．習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次,事件A,B,C分別表示"第一次出現(xiàn)正面","兩次出現(xiàn)同一面","至少有一次出現(xiàn)正面",試寫出樣本空間及事件A,B,C中的樣本點(diǎn).1.2隨機(jī)事件的概率1.3古典概型1.4條件概率1.5事件的獨(dú)立性復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題3.證明下列等式：第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么？解答：①隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).②隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的,事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.③隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類.解答：①若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來,則稱X為離散型隨機(jī)變量；否則稱為非離散型隨機(jī)變量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè),編號(hào)為0,1,2,?,9,

從中任取1個(gè),觀察號(hào)碼是"小于5","等于5","大于5"的情況,試定義一個(gè)隨機(jī)變量來表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果,并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.解答：分別用ω1,ω2,ω3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果"小于5","等于5","大于5",則樣本空間S={ω1,ω2,ω3},

定義隨機(jī)變量X如下：

X=X<ω>={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3則X取每個(gè)值的概率為

P{X=0}=P{取出球的號(hào)碼小于5}=5/10,

P{X=1}=P{取出球的號(hào)碼等于5}=1/10,

P{X=2}=P{取出球的號(hào)碼大于5}=4/10.2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},

求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},

得

λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.習(xí)題2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求<1>P{12<X<52;

<2>P{1≤X≤3};

<3>P{X>3}.解答：<1>P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;<2>P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

=115+215+315=25;<3>P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.習(xí)題4一袋中裝有5只球,編號(hào)為1,2,3,4,5.

在袋中同時(shí)取3只,以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼,寫出隨機(jī)變量X的分布律.解答：隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110,

P{X=4}=C32?1C53=310,

P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習(xí)題5某加油站替出租車公司代營(yíng)出租汽車業(yè)務(wù),每出租一輛汽車,可從出租公司得到3元.因代營(yíng)業(yè)務(wù),每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元,設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.解答：因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：

P{3X>60},

即P{X>20},

P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是說,加油站因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為0.6.習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,

當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整,X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù),試求：<1>X的概率分布；

<2>P{X≥5};<3>在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?解答：<1>P{X=k}=<1-p>kp=<0.9>k×0.1,k=0,1,2,?;<2>P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞<0.9>k×0.1=<0.9>5;<3>設(shè)以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于m件,則m應(yīng)滿足

P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4.由于

P{X≤m-1}=∑k=0m-1<0.9>k<0.1>=1-<0.9>m,故上式化為1-0.9m=0.4,

解上式得

m≈4.85≈5,因此,以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于5.習(xí)題7設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率為0.6,

求他一次投籃時(shí),投籃命中的概率分布.解答：此運(yùn)動(dòng)員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)為X,

它可能的值只有兩個(gè),即0和1.X=0表示未投中,其概率為

p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次,其概率為

p2=P{X=1}=0.6.則隨機(jī)變量的分布律為

X

0

1

P

0.4

0.6

習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件,其中有3件次品,現(xiàn)從中任取3件,求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.解答：設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù),則X的所有可能取值為0,1,2,3.

對(duì)應(yīng)概率分布為P{X=0}=C73C103=35120,

P{X=1}=C73C31CP{X=2}=C71C32C103=21120,

P{X=3}=C33CX的分布律為

X

0123

P習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次從這批產(chǎn)品中任取一件,取出的產(chǎn)品仍放回去,求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去,各次抽取相互獨(dú)立,下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同,所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,?,k,?.設(shè)第k次才取到正品<前k-1次都取到次品>,

則隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=310×310×?×310×710=<310>k-1×710,k=1,2,?.習(xí)題11紡織廠女工照顧800個(gè)紡綻,每一紡錠在某一段時(shí)間τ內(nèi)斷頭的概率為0.005,

在τ這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),

n=800,p=0.005,np=4,應(yīng)用泊松定理,所求概率為：

P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b<k;800,0.005>

≈∑k=02P<k;4>=e-4<1+41!+422!>≈0.2381.習(xí)題12設(shè)書籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上,有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同,求任意檢驗(yàn)4頁(yè),每頁(yè)上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},

即

λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=<e-2>4=e-8.2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1F<X>={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,

是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),則X是___________型的隨機(jī)變量.解答：離散.由于F<x>是一個(gè)階梯函數(shù),故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題2設(shè)F<x>={0x<0x20≤1,1x≥1

問F<x>是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù).解答：首先,因?yàn)?≤F<x>≤1,?x∈<-∞,+∞>.其次,F<x>單調(diào)不減且右連續(xù),即

F<0+0>=F<0>=0,

F<1+0>=F<1>=1,且

F<-∞>=0,F<+∞>=1,所以F<x>是隨機(jī)變量的分布函數(shù).習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,試寫出X的分布函數(shù)F<x>,并畫出圖形.解答：由題意知X的分布律為：X

135

Pk

.2所以其分布函數(shù)F<x>=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F<x>的圖形見圖.習(xí)題4設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F<x>={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,試求：<1>X的概率分布；

<2>P{X<2∣X≠1}.解答：<1>

X-113

pk

.2<2>P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.習(xí)題5設(shè)X的分布函數(shù)為

F<x>={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F<0.4>=<1.3-0.5>-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F<0.5>=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F<2>-F<1.7>=1-1=0.習(xí)題7在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn),以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例,試求X的分布函數(shù).解答：

F<x>=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a

2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f<x>=12πe-<x+3>24<-∞<x<+∞>,則Y=ˉ～N<0,1>.解答：應(yīng)填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ～N<0,1>,

所以Y=3+X2～N<0,1>.習(xí)題2已知X～f<x>={2x,0<x<10,其它,

求P{X≤0.5};P{X=0.5};F<x>.解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f<x>dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f<x>dx-∫-∞0.5f<x>dx=0.當(dāng)X≤0時(shí),F<x>=0;當(dāng)0<x<1時(shí),F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;當(dāng)X≥1時(shí),F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故

F<x>={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1習(xí)題3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F<x>={A+Be-2x,x>00,x≤0,試求：<1>A,B的值；<2>P{-1<X<1};

<3>概率密度函數(shù)F<x>.解答：<1>\becauseF<+∞>=limx→+∞<A+Be-2x>=1,

∴A=1;又

\becauselimx→0+<A+Be-2x>=F<0>=0,

∴B=-1.<2>

P{-1<X<1}=F<1>-F<-1>=1-e-2.<3>f<x>=F′<x>={2e-x,x>00,x≤0.習(xí)題5某型號(hào)電子管,其壽命<以小時(shí)計(jì)>為一隨機(jī)變量,概率密度

f<x>={100x2,x≥1000,其它,某一電子管的使用壽命為X,

則三個(gè)電子管使用150小時(shí)都不需要更換的概率.解答：設(shè)電子管的使用壽命為X,

則電子管使用150小時(shí)以上的概率為

P{X>150}=∫150+∞f<x>dx=∫150+∞100x2dx

=-100x∣150+∞=100150=23,從而三個(gè)電子管在使用150小時(shí)以上不需要更換的概率為

p=<2/3>3=8/27.習(xí)題6設(shè)一個(gè)汽車站上,某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達(dá),設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的,試計(jì)算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車時(shí)間,則X服從[0,5]上的均勻分布.設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時(shí)間超過4分鐘的人數(shù).由于每人到達(dá)時(shí)間是相互獨(dú)立的.這是10重伯努力概型.

Y服從二項(xiàng)分布,其參數(shù)

n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以

P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.習(xí)題7設(shè)X～N<3,22>.<1>確定C,

使得P{X>c}=P{X≤c};<2>設(shè)d滿足P{X>d}≥0.9,

問d至多為多少?解答：因?yàn)閄～N<3,22>,

所以X-32=Z～N<0,1>.<1>欲使P{X>c}=P{X≤c},

必有1-P{X≤c}=P{X≤c},

即

P{X≤c}=1/2,亦即Φ<c-32>=12,

所以

c-32=0,

故c=3.<2>由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,

即

P{X≤d}≤0.1.于是Φ<d-32>≤0.1,Φ<3-d2>≥0.9.查表得3-d2≥1.282,

所以d≤0.436.習(xí)題9某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng),為此需對(duì)生產(chǎn)定額作出規(guī)定.根據(jù)以往記錄,各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N<4000,3600>.假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng),求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)？解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù),則X～N<4000,3600>.設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng),依題意得P{X≥x}=0.1,

即

1-P{X<x}=0.1,所以1-F<x>=0.1,

即

1-Φ<x-400060>=0.1,

所以Φ<x-400060>=0.9.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)人分布表得Φ<1.28>=0.8997,

因此

x-400060≈1.28,

即x=4077件,就是說,想獲超產(chǎn)獎(jiǎng)的工人,每月必須裝配4077件以上.習(xí)題11設(shè)某城市男子身高X～N<170,36>,

問應(yīng)如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01.解答：X～N<170,36>,

則X-1706～N<0,1>.設(shè)公共汽車門的高度為xcm,由題意P{X>x}<0.01,

而

P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ<x-1706><0.01,即Φ<x-1706>>0.99,

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x-1706>2.33,

故x>183.98cm.因此,車門的高度超過183.98cm時(shí),男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01.習(xí)題12某人去火車站乘車,有兩條路可以走.第一條路程較短,但交通擁擠,所需時(shí)間<單位：分鐘>服從正態(tài)分布N<40,102>;

第二條路程較長(zhǎng),但意外阻塞較少,所需時(shí)間服從正態(tài)分布N<50,42>,

求：<1>若動(dòng)身時(shí)離開車時(shí)間只有60分鐘,應(yīng)走哪一條路線？<2>若動(dòng)身時(shí)離開車時(shí)間只有45分鐘,應(yīng)走哪一條路線？解答：設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達(dá)火車站所用時(shí)間,則

X～N<40,102>,Y～N<50,42>.

哪一條路線在開車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線.<1>因?yàn)镻{X<60}=Φ<60-4010>=Φ<2>=0.97725,

P{Y<60}=Φ<60-504>=Φ<2.5>=0.99379,所以有60分鐘時(shí)應(yīng)走第二條路.<2>因?yàn)镻{X<45}=Φ<45-4010>=Φ<0.5>=0.6915,

P{X<45}=Φ<45-504>=Φ<-1.25>=1-Φ<1.25>=1-0.8925=0.1075所以只有45分鐘應(yīng)走第一條路.

2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1已知X的概率分布為X-2-10123pi2a1/103aaa2a試求：<1>a;

<2>Y=X2-1的概率分布.解答：<1>\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,∴a=1/10.<2>

Y-1038pi3/101/53/101/5習(xí)題2設(shè)X的分布律為P{X=k}=12k,k=1,2,?,

求Y=sinπ2X的分布律.解答：因?yàn)?/p>

sinxnπ2={1,當(dāng)n=4k-10,當(dāng)n=2k-1,當(dāng)n=4k-3,所以Y=sin<π2X>只有三個(gè)可能值-1,0,1.

容易求得

P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示為Y

-101

P

21513815習(xí)題3設(shè)隨機(jī)變量X服從[a,b]上的均勻分布,令Y=cX+d<c≠0>,

試求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù).解答：

fY<y>={fX<y-dc>?1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,當(dāng)c>0時(shí),fY<y>={1c<b-a>,ca+d≤y≤cb+d0,其它,當(dāng)c<0時(shí),fY<y>={-1c<b-a>,cb+d≤y≤ca+d0,其它.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X服從[0,1]上的均勻分布,求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的概率密度f(wàn)Y<y>.解答：f<x>={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈<0,1>是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),y∈<1,e>,

其反函數(shù)為x=lny,

可得

f<x>={fX<lny>∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.習(xí)題5設(shè)X～N<0,1>,求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非單調(diào)函數(shù),故用分布函數(shù)法先求FY<y>.

FY<y>=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}<當(dāng)y>1時(shí)>

=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY<y>=F′Y<y>=22πe-12?y-12?122y-1,y>1,

于是

fY<y>={12π<y-1>e-y-14,y>10,y≤1.習(xí)題7某物體的溫度T<°F>是一個(gè)隨機(jī)變量,且有T～N<98.6,2>,

已知θ=5<T-32>/9,

試求θ<°F>的概率密度.解答：已知T～N<98.6,2>.

θ=59<T-32>,

反函數(shù)為T=59θ+32,

是單調(diào)函數(shù),所以

fθ<y>=fT<95y+32>?95=12π?2e-<95y+32-98.6>24?95

=910πe-81100<y-37>2.總習(xí)題解答習(xí)題1從1～20的整數(shù)中取一個(gè)數(shù),若取到整數(shù)k的概率與k成正比,求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,

P<Ak>=ck,

k=1,2,?,20.因?yàn)镻<?K=120Ak>=∑k=120P<Ak>=c∑k=120k=1,

所以c=1210,

P{取到偶數(shù)}=P{A2∪A4∪?∪A20}

=1210<2+4+?+20>=1121.習(xí)題2若每次射擊中靶的概率為0.7,

求射擊10炮,<1>命中3炮的概率;<2>至少命中3炮的概率;<3>最可能命中幾炮.解答：若隨機(jī)變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù).由于各炮是否中靶相互獨(dú)立,所以是一個(gè)10重伯努利概型,X服從二項(xiàng)分布,其參數(shù)為n=10,p=0.7,

故<1>P{X=3}=C103<0.7>3<0.3>7≈0.009;<2>P{X≥3}=1-P{X<3}

=1-[C100<0.7>0<0.3>10+C101<0.7>1<0.3>9+C102<0.7>2<0.3>8]

≈0.998;<3>因X～b<10,0.7>,

而

k0=[<n+1>p]=[<10+1>]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.習(xí)題3在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn),在1年中每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交120元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)20000元賠償金,求:<1>保險(xiǎn)公司虧本的概率;<2>保險(xiǎn)公司獲利分別不少于100000元,200000元的概率.解答：1>以"年"為單位來考慮,在1年的1月1日,保險(xiǎn)公司總收入為

2500×120元=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,

則X～b<2500,0.002>,

則保險(xiǎn)公司在這一年中應(yīng)付出200000X<元>,要使保險(xiǎn)公司虧本,則必須

200000X>300000即X>15<人>.因此,P{保險(xiǎn)公司虧本}=P{X>15}

=∑k=162500C2500k<0.002>k×<0.998>2500-k

≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可見,在1年里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的.<2>P{保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元}

=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}

=∑k=010C2500k<0.002>×<0.998>2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元的概率在98%以上.

P{保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元}

=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}

=∑k=05C2500k<0.002>k×<0.998>2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習(xí)題4一臺(tái)總機(jī)共有300臺(tái)分機(jī),總機(jī)擁有13條外線,假設(shè)每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3%,試求每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí),能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù).解答：設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外線的臺(tái)數(shù)為X,

300臺(tái)分機(jī)可看成300次伯努利試驗(yàn),一次試驗(yàn)是否要到外線.設(shè)要到外線的事件為A,

則P<A>=0.03,

顯然X～b<300,0.03>,

即

P{X=k}=C300k<0.03>k<0.97>300-k<k=0,1,2,?,300>,因n=300很大,p=0.03又很小,

λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率.因總共只有13條外線,要到外線的臺(tái)數(shù)不超過13,故

P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,

<查泊松分布表>且同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù)

k0=[<n+1>p]=[301×0.03]=9.習(xí)題5在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi),某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布,而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)<時(shí)間以小時(shí)計(jì)>,

求：<1>某一天從中午12至下午3時(shí)沒有收到緊急呼救的概率；<2>某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率.解答：<1>t=3,λ=3/2,

P{X=0}=e-3/2≈0.223;<2>t=5,λ=5/2,

P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.習(xí)題6設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量,其分布律為X

-101

pi

1/21-2qq2試求：<1>q的值；

<2>X的分布函數(shù).解答：<1>\because離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)P{X=xi}=pi,

滿足∑ipi=1,

且0≤pi≤1,∴

{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2.

從而X的分布律為下表所示：X

-101

pi

1/22-13/2-2<2>由F<x>=P{X≤x}計(jì)算X的分布函數(shù)

F<x>={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.習(xí)題9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為

f<x>={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函數(shù)F<x>.解答：當(dāng)x≤0時(shí),F<x>=∫-∞x0dt=0;當(dāng)0<x≤1時(shí),F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;當(dāng)1<x≤2時(shí),

F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x<2-t>dt

=0+12+<2t-12t2>∣1x=-1+2x-x22;當(dāng)x>2時(shí),F<x>=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12<2-t>dt+∫2x0dt=1,

故

F<x>={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X<單位：百萬(wàn)升>是隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為：

f<x>={19xe-x3,x>00,其它,試求：<1>該城市的水日消費(fèi)量不低于600萬(wàn)升的概率；<2>水日消費(fèi)量介于600萬(wàn)升到900萬(wàn)升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F<x>.

顯然,當(dāng)x<0時(shí),F<x>=0,

當(dāng)x≥0時(shí)有

F<x>=∫0x19te-t3dt=1-<1+x3>e-x3故F<x>={1-<1+x3>e-x3,x≥00,x<0,

所以

P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P<X≤6}=1-F<6>

=1-[1-<1+x3>e-x3]x=6=3e-2,

P{6<X≤9}=F<9>-F<6>=<1-4e-3>-<1-3e-2>=3e-2-4e-3.習(xí)題11已知X～f<x>={cλe-λx,x>a0,其它<λ>0>,

求常數(shù)c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知∫-∞+∞f<x>dx=1,

而

∫-∞+∞f<x>dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx

=c∫a+∞e-λxd<λx>=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,

從而c=eλa.

于是

P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f<x>dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx

=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa<e-λ<a+1>-e-λa>=1-e-λ.注意,a-1<a,

而當(dāng)x<a時(shí),f<x>=0.習(xí)題12已知X～f<x>={12x2-12x+3,0<x<10,其它,

計(jì)算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根據(jù)條件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}

=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫<12x2-12x+2>dx∫0.10.5<12x2-12x+3>dx

=<4x3-6x2+3x>∣<4x3-6x2+3x>∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.習(xí)題15設(shè)K在<0,5>上服從均勻分布,求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率.解答：因?yàn)镵～U<0,5>,

所以

fK<k>={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的充要條件為<4K>2-4?4<K+2>≥0,

即

K2-K-2≥0,亦即<k-2><K+1>≥0,

解得K≥2<K≤-1舍去>,

所以P{方程有實(shí)根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.習(xí)題13若F1<x>,F2<x>為分布函數(shù),<1>判斷F1<x>+F2<x>是不是分布函數(shù),為什么？<2>若a1,a2是正常數(shù),且a1+a2=1.

證明：a1F1<x>+a2F2<x>是分布函數(shù).解答：<1>F<+∞>=limx→+∞F<x>=limx→+∞F1<x>+limx→+∞F2<x>=1+1=2≠1故F<x>不是分布函數(shù).<2>由F1<x>,F2<x>單調(diào)非減,右連續(xù),且

F1<-∞>=F2<-∞>=0,F1<+∞>=F2<+∞>=1,可知a1F1<x>+a2F2<x>單調(diào)非減,右連續(xù),且

a1F1<-∞>+a2F2<-∞>=0,a1F1<+∞>+a2F2<+∞>=1.從而a1F1<x>+a2F2<x>是分布函數(shù).習(xí)題16某單位招聘155人,按考試成績(jī)錄用,共有526人報(bào)名,假設(shè)報(bào)名者考試成績(jī)X～N<μ,σ2>,已知90分以上12人,60分以下83人,若從高分到低分依次錄取,某人成績(jī)?yōu)?8分,問此人是否能被錄取？解答：要解決此問題首先確定μ,σ2,因?yàn)榭荚嚾藬?shù)很多,可用頻率近似概率.根據(jù)已知條件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因?yàn)镻{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ,所以有Φ<90-μσ>=0.9772,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得90-μσ=2①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578;又因?yàn)镻{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ<60-μσ>≈0.1578.因?yàn)?.1578<0.5,所以60-μσ<0,故Φ<μ-60σ>≈1-0.1578=0.8422,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得μ-60σ≈1.0②聯(lián)立①,②解得σ=10,μ=70,所以,X～N<70,100>.某人是否能被錄取,關(guān)鍵看錄取率.已知錄取率為155526≈0.2947,看某人是否能被錄取,解法有兩種：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ<0.8>≈1-0.7881=0.2119,因?yàn)?.2119<0.2947<錄取率>,所以此人能被錄取.方法2：看錄取分?jǐn)?shù)線.設(shè)錄取者最低分為x0,則P{X≥x0}=0.2947<錄取率>,P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得x0-7010≈0.54,解得x0≈75.此人成績(jī)78分高于最低分,所以可以錄取.習(xí)題17假設(shè)某地在任何長(zhǎng)為t<年>的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)N<t>服從參數(shù)為λ=0.1t的泊松分布,X表示連續(xù)兩次地震之間間隔的時(shí)間<單位：年>.<1>證明X服從指數(shù)分布并求出X的分布函數(shù)；<2>求今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率；<3>求今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率.解答：<1>當(dāng)t≥0時(shí),P{X>t}=P{N<t>=0}=e-0.1t,∴F<t>=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;當(dāng)t<0時(shí),F<t>=0,∴

F<x>={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服從指數(shù)分布<λ=0.1>;<2>F<3>=1-e-0.1×3≈0.26;<3>F<5>-F<3>≈0.13.習(xí)題18100件產(chǎn)品中,90個(gè)一等品,10個(gè)二等品,隨機(jī)取2個(gè)安裝在一臺(tái)設(shè)備上,若一臺(tái)設(shè)備中有i個(gè)<i=0,1,2>二等品,則此設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為λ=i+1的指數(shù)分布.<1>試求設(shè)備壽命超過1的概率；<2>已知設(shè)備壽命超過1,求安裝在設(shè)備上的兩個(gè)零件都是一等品的概率.解答：<1>設(shè)X表示設(shè)備壽命.A表示"設(shè)備壽命超過1”fX<x>={λe-λx,x>00,x≤0<λ=i+1,i=0,1,2>,P<B0>=C902C1002,P<B1>=C901C102C1002,P<B2>=C102CP<A∣B0>=∫1+∞e-xdx=e-1,P<A∣B1>=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P<A∣B2>=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P<A>=∑i=02P<Bi>P<A∣Bi>≈0.32.<2>由貝葉斯公式：P<B0∣A>=P<B0>P<A∣B0>P<A>≈0.93.習(xí)題19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X

-2-1013pi

1/51/61/51/1511/30試求Y=X2的分布律.解答：

pi

1/51/61/51/1511/30

X

-2-1013X2

41019所以

X2

0149pi

1/57/301/511/30注：隨機(jī)變量的值相同時(shí)要合并,對(duì)應(yīng)的概率為它們概率之和.習(xí)題20設(shè)隨機(jī)變量X的密度為

fX<x>={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,

有

y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得

fY<x>={0,y<3<y-32>3e-<y-32>,y≥3.習(xí)題21設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)X<x>={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因?yàn)棣?min{y<0>,y<+∞>}=min{1,+∞}=1,β=max{y<0>,y<+∞>}=max{1,+∞}=+∞.類似上題可得fY<y>={fX[h<y>]∣h′<y>∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.習(xí)題22設(shè)隨便機(jī)變量X的密度函數(shù)為

fX<x>={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求隨機(jī)變量Y=X2+1的分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X的取值范圍為<-1,1>,

則Y的取值范圍為[1,2>.

當(dāng)1≤y<2時(shí),

FY<y>=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}

=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1<1-∣x∣>dx

=2∫0y-1<1-x>dx=1-<1-y-1>2,從而Y的分布函數(shù)為

FY<y>={0,y<11-<1-y-1>2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度為

fY<y>={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多維隨機(jī)變量及其分布

3.1二維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題1設(shè)<X,Y>的分布律為X\Y

123

1

1/61/91/18

2

1/3a1/9求a.解答：由分布律性質(zhì)∑i?jPij=1,

可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得

a=2/9.習(xí)題2<1>2.設(shè)<X,Y>的分布函數(shù)為F<x,y>,試用F<x,y>表示：

<1>P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F<b,c>-F<a,c>.習(xí)題2<2>2.設(shè)<X,Y>的分布函數(shù)為F<x,y>,試用F<x,y>表示：

<2>P{0<Y≤b};

解答：P{0<Y≤b}=F<+∞,b>-F<+∞,0>.習(xí)題2<3>2.設(shè)<X,Y>的分布函數(shù)為F<x,y>,試用F<x,y>表示：

<3>P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F<+∞,b>-F<a,b>.習(xí)題3<1>3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

<1>P{12<X<32,0<Y<4;

解答：P{12<X<23,0<Y<4

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.習(xí)題3<2>3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

<2>P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.習(xí)題3<3>3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

<3>F<2,3>.解答：F<2,3>=P<1,1>+P<1,2>+P<1,3>+P<2,1>+P<2,2>+P<2,3>=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題4設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,且

P{X≥0,Y≥0}=37,

P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一個(gè)大于等于0}

=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

=47+47-37=57.習(xí)題5<X,Y>只取下列數(shù)值中的值：

<0,0>,<-1,1>,<-1,13>,<2,0>且相應(yīng)概率依次為16,13,112,512,

請(qǐng)列出<X,Y>的概率分布表,并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：<1>因?yàn)樗o的一組概率實(shí)數(shù)顯然均大于零,且有16+13+112+512=1,

故所給的一組實(shí)數(shù)必是某二維隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合概率分布.因<X,Y>只取上述四組可能值,故事件：

{X=-1,Y=0},

{X=0,Y=13,

{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均為不可能事件,其概率必為零.因而得到下表：

X\Y

01/31

-1

01/121/3

0

1/600

2

5/1200<2>P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}

=0+16+512=712,同樣可求得

P{Y=13=112,P{Y=1}=13,關(guān)于的Y邊緣分布見下表：Y

01/31

pk

7/121/121/3習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為f<x,y>={k<6-x-y>,0<x<2,2<y<40,其它,<1>確定常數(shù)k;

<2>求P{X<1,Y<3};

<3>求P{X<1.5};

<4>求P{X+Y≤4}.解答：如圖所示<1>由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1,

確定常數(shù)k.∫02∫24k<6-x-y>dydx=k∫02<6-2x>dx=8k=1,所以k=18.<2>P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318<6-x-y>dy=38.<3>P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418<6-x-y>dy=2732.<4>P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18<6-x-y>dy=23.習(xí)題8已知X和Y的聯(lián)合密度為

f<x,y>={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,試求：<1>常數(shù)c;

<2>X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F<x,y>.解答：<1>由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.<2>當(dāng)x≤0或y≤0時(shí),顯然F<x,y>=0;當(dāng)x≥1,y≥1時(shí),顯然F<x,y>=1;設(shè)0≤x≤1,0≤y≤1,

有

F<x,y>=∫-∞x∫-∞yf<u,v>dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.設(shè)0≤x≤1,y>1,

有

F<x,y>=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,設(shè)x>1,0≤y≤1,

有

F<x,y>=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函數(shù)F<x,y>在平面各區(qū)域的表達(dá)式

F<x,y>={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為

f<x,y>={4.8y<2-x>,0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求邊緣概率密度f(wàn)Y<y>.解答：fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy

={∫0x4.8y<2-x>dy,0≤x≤10,其它={2.4x2<2-x>,0≤x≤10,其它.fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx

={∫0y4.8y<2-x>dx,0≤y≤10,其它={2.4y<4y-y2>,0≤y≤10,其它.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)向量<X,Y>服從二維正態(tài)分布N<0,0,102,102,0>,

其概率密度為

f<x,y>=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正態(tài)分布圖形的對(duì)稱性,知

P{X≤Y}=P{X>Y},

故

P{X≤Y}=12.3.2條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量<X,Y>的分布律為X\Y

01

01

7/157/307/301/15<1>求Y的邊緣分布律；<2>求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};<3>判定X與Y是否獨(dú)立？解答：<1>由<x,y>的分布律知,y只取0及1兩個(gè)值.

P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7

P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.<2>P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,

P{y=1∣x=0}=13.<3>已知P{x=0,y=0}=715,

由<1>知P{y=0}=0.7,

類似可得

P{x=0}=0.7.因?yàn)镻{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0},

所以x與y不獨(dú)立.習(xí)題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y.據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為

X\Y

5152535455

5152535455

0.060.050.050.010.010.070.050.<1>求邊緣分布律;<2>求8月份的訂單數(shù)為51時(shí),9月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：<1>邊緣分布律為X

5152535455pk

對(duì)應(yīng)X的值,將每行的概率相加,可得P{X=i}.對(duì)應(yīng)Y的值<最上邊的一行>,

將每列的概率相加,可得P{Y=j}.Y

5152535455pk

<2>當(dāng)Y=51時(shí),X的條件分布律為

P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,

k=51,52,53,54,55.列表如下:k

5152535455

P{X=k∣Y=51}

6/287/285/285/285/28習(xí)題3已知<X,Y>的分布律如下表所示,試求：<1>在Y=1的條件下,X的條件分布律;<2>在X=2的條件下,Y的條件分布律.X\Y

012

012

1/41/8001/301/601/8解答：由聯(lián)合分布律得關(guān)于X,Y的兩個(gè)邊緣分布律為X

012

pk

3/81/37/24

Y

012

pk

5/1211/241/8故<1>在Y=1條件下,X的條件分布律為X∣<Y=1>

012

pk

3/118/110<2>在X=2的條件下,Y的條件分布律為Y∣<X=2>

012

pk

4/703/7習(xí)題4

已知<X,Y>的概率密度函數(shù)為f<x,y>={3x,0<x<1,0<y<x0,其它,

求：<1>邊緣概率密度函數(shù)；<2>條件概率密度函數(shù).解答：<1>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy={3x2,0<x<10,其它,

fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx={32<1-y2>,0<y<10,其它.<2>對(duì)?y∈<0,1>,

fX∣Y<x∣y>=f<x,y>fY<y>={2x1-y2,y<x<1,0,其它,對(duì)?x∈<0,1>,

fY∣X<y∣x>=f<x,y>fX<x>={1x,0<y<x0,其它.習(xí)題5X與Y相互獨(dú)立,其概率分布如表<a>及表<b>所示,求<X,Y>的聯(lián)合概率分布,P{X+Y=1},

P{X+Y≠0}.X-2-101/2

pi

1/41/31/121/3表<a>

Y-1/213

pi

1/21/41/4表<b>解答：由X與Y相互獨(dú)立知

P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj>,從而<X,Y>的聯(lián)合概率分布為X\Y-1/213-2-101/2P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}亦即表X\Y

-1/213

-2-101/2

1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12

P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,

P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}

=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12

=1-112-16=34.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從N<0,1>分布,且X與Y相互獨(dú)立,求<X,Y>的聯(lián)合概率密度函數(shù).解答：由題意知,隨機(jī)變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是

fX<x>=12πe-x22,

fY<y>=12πe-y22因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以<X,Y>的聯(lián)合概率密度函數(shù)是

f<x,y>=12πe-12<x+y>2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)<x>=12e-∣x∣<-∞<x<+∞>,問：X與∣X∣是否相互獨(dú)立？解答：若X與∣X∣相互獨(dú)立,則?a>0,

各有

P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}?{X≤a},

故由上式有

P{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a},?P{∣X∣≤a}<1-P{X≤a}>=0?P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}?<?a>0>但當(dāng)a>0時(shí),兩者均不成立,出現(xiàn)矛盾,故X與∣X∣不獨(dú)立.3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為

f<x,y>={12<x+y>e-<x+y>,x>0,y>00,其它,<1>問X和Y是否相互獨(dú)立？<2>求Z=X+Y的概率密度.解答：<1>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy

={∫0+∞12<x+y>e-<x+y>dy,x>00,x≤0

\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12<x+1>e-x,x>00,x≤0,由對(duì)稱性知fY<y>={12<y+1>e-y,y>00,y≤0,

顯然

f<x,y>≠fX<x>fY<y>,x>0,y>0,所以X與Y不獨(dú)立.<2>用卷積公式求fZ<z>=∫-∞+∞f<x,z-x>dx.當(dāng){x>0z-x>0

即

{x>0x<z時(shí),f<x,z-x>≠0,

所以當(dāng)z≤0時(shí),fZ<z>=0;當(dāng)z>0時(shí),fZ<z>=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是,Z=X+Y的概率密度為

fZ<z>={12z2e-z,z>00,z≤0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,若X服從<0,1>上的均勻分布,Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布,求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意,X,Y的概率密度分布為

fX<x>={1,0<x<10,其它,

fY<y>={e-y,y≥00,y<0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為

fZ<z>=∫-∞+∞fX<x>fY<z-x>dx=∫-∞+∞fX<z-y>fY<y>dy

=∫0+∞fX<z-y>e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可見：當(dāng)z≤0時(shí),有fX<z-y>=0,

故fZ<z>=∫0+∞0?e-ydy=0;當(dāng)z>0時(shí),

fZ<z>=∫0+∞fX<z-y>e-ydy=∫max<0,z-1>ze-ydy=e-max<0,z-1>-e-z,即

fZ<z>={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為f<x,y>={be-<x+y>,0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔1試確定常數(shù)b；〔2求邊緣概率密度f(wàn)X<x>,fY<y>；〔3求函數(shù)U=max{X,Y}的分布函數(shù).解答：〔1由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1,確定常數(shù)b.

∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b<1-e-1>=1,所以b=11-e-1,從而

f<x,y>={11-e-1e-<x+y>,0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔2由邊緣概率密度的定義得

fX<x>={∫0+∞11-e-1e-<x+y>dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它,

fY<x>={∫0111-e-1e-<x+y>dx=e-y,0<y<+∞,0,其它〔3因?yàn)閒<x,y>=fX<x>fY<y>,所以X與Y獨(dú)立,故

FU<u>=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX<u>FY<u>,其中

FX<x>=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1,所以

FX<x>={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY<y>={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0,因此

FU<u>={0,u<0,<1-e-u>21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且服從同一分布,試明：

P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：設(shè)min{X,Y}=Z,則

P{a<min{X,Y}≤b}=FZ<b>-FZ<a>,

FZ<z>=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}

=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}

=1-[P{X>z}]2,代入得

P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-<1-[P{X>a}]2>

=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.證畢.

復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題1在一箱子中裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中取兩次,每次任取一只,考慮兩種試驗(yàn)：<1>放回抽樣；<2>不放回抽樣.我們定義隨機(jī)變量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就<1>,<2>兩種情況,寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解答：<1>有放回抽樣,<X,Y>分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536;P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536,P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,<2>不放回抽樣,<X,Y>的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566,P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066,P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,Y\

X

01

01

45/6610/6610/661/66

習(xí)題2假設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,隨機(jī)變量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k<k=1,2>,求<X1,X2>的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.解答：因?yàn)閅服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,X1={0,若Y≤11,若Y>1,所以有P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1,P{X1=0}=1-e-1,同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,P{X2=0}=1-e-2,因?yàn)镻{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2,P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,故<X1,X2>聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示：X1\slashX201P{X1=i}01-e-101-e-11e-1-e-2e-2e-1P{X2=j}1-e-2e-2

習(xí)題3在元旦茶話會(huì)上,每人發(fā)給一袋水果,內(nèi)裝3只橘子,2只蘋果,3只香蕉.今從袋中隨機(jī)抽出4只,以X記橘子數(shù),Y記蘋果數(shù),求<X,Y>的聯(lián)合分布.解答：X可取值為0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{?}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70,P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{?}=0,所以,<X,Y>的聯(lián)合分布如下：X\Y

0123

012

03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處：X\Y

y1

y2

y3

pi?

x1

1/8

x21/8

p?j1/6

1

解答：由題設(shè)X與Y相互獨(dú)立,即有pij=pi?p?j<i=1,2;j=1,2,3>,p?1-p21=p11=16-18=124,又由獨(dú)立性,有p11=p1?p?1=p1?16故p1?=14.從而p13=14-124-18,又由p12=p1?p?2,即18=14?p?2.從而p?2=12.類似的有p?3=13,p13=14,p2?=34.將上述數(shù)值填入表中有X\Y

y1

y2

y3

pi?

x11/24

1/8

1/12

1/4

x21/8

3/8

1/4

3/4

p?j1/6

1/2

1/3

1

習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合分布如下表：求：<1>a值；<2><X,Y>的聯(lián)合分布函數(shù)F<x,y>；<3><X,Y>關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)FX<x>與FY<y>.解答：<1>\because由分布律的性質(zhì)可知∑i?jPij=1,故14+14+16+a=1,∴a=13.<2>因F<x,y>=P{X≤x,Y≤y}①當(dāng)x<1或y<-1時(shí),F<x,y>=0;②當(dāng)1≤x<2,-1≤y<0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}=1/4;③當(dāng)x≥2,-1≤y<0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;④當(dāng)1≤x<2,y>0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤當(dāng)x≥2,y≥0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;綜上所述,得<X,Y>聯(lián)合分布函數(shù)為F<x,y>={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.<3>由FX<x>=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij,得<X,Y>關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為：FX<x>={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理,由FY<y>=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij,得<X,Y>關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY<y>={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合概率密度為f<x,y>={c<R-x2+y2>,x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：<1>常數(shù)c;<2>P{X2+Y2≤r2}<r<R>.解答：<1>因?yàn)?=∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dydx=∫∫x2+y2<Rc<R-x2+y>dxdy=∫02π∫0Rc<R-ρ>ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.<2>P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3<R-ρ>ρdρdθ=3r2R2<1-2r3R>.習(xí)題7設(shè)f<x,y>={1,0≤x≤2,max<0,x-1>≤y≤min<1,x>0,其它,求fX<x>和fY<y>.解答:max<0,x-1>={0,x<1x-1,x≥1,min<1,x>={x,x<11,x≥1,所以,f<x,y>有意義的區(qū)域<如圖>可分為{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f<x,y>={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX<x>={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY<y>={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.習(xí)題8若<X,Y>的分布律為則α,β應(yīng)滿足的條件是ˉ,若X與Y獨(dú)立,則α=ˉ,β=ˉ.解答：應(yīng)填α+β=13;29;19.由分布律的性質(zhì)可知∑i?jpij=1,故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X與Y相互獨(dú)立,故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j},從而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=<19+α><14+α+β>=<19+α><13+13>=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=<118+β><13+α+β>=<118+β><13+13>,∴β=19.習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度函數(shù)為f<x,y>={ce-<2x+y>,x>0,y>00,其它,<1>確定常數(shù)c;<2>求X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；<3>求聯(lián)合分布函數(shù)F<x,y>;<4>求P{Y≤X};<5>求條件概率密度函數(shù)fX∣Y<x∣y>;<6>求P{X<2∣Y<1}.解答：<1>由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1求常數(shù)c.∫0+∞∫0+∞ce-<2x+y>dxdy=c?<-12e-2x>\vline0+∞?<-e-y>∣0+∞=c2=1,所以c=2.<2>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.<3>F<x,y>=∫-∞x∫-∞yf<u,v>dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={<1-e-2x><1-e-y>,x>0,y>00,其它.<4>P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2