常微分方程常見形式及解法_第1頁
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常微分方程常見形式及解法知行130113275001畢文彬1編輯ppt微分方程指描述未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程。微分方程的解是一個(gè)符合方程的函數(shù)。而在初等數(shù)學(xué)的代數(shù)方程，其解是常數(shù)值。常微分方程〔ODE〕是指一微分方程的未知數(shù)是單一自變數(shù)的函數(shù)。最簡單的常微分方程，未知數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)或是復(fù)數(shù)的函數(shù)，但未知數(shù)也可能是一個(gè)向量函數(shù)或是矩陣函數(shù)，后者可對(duì)應(yīng)一個(gè)由常微分方程組成的系統(tǒng)。微分方程的表達(dá)通式是：常微分方程常依其階數(shù)分類，階數(shù)是指自變數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，最常見的二種為一階微分方程及二階微分方程。例如以下的貝塞爾方程：〔其中y為應(yīng)變數(shù)〕為二階微分方程，其解為貝塞爾函數(shù)。2編輯ppt常見例子以下是常微分方程的一些例子，其中u為未知的函數(shù)，自變數(shù)為x，c及ω均為常數(shù)。非齊次一階常系數(shù)線性微分方程：齊次二階線性微分方程：描述諧振子的齊次二階常系數(shù)線性微分方程：非齊次一階非線性微分方程：描述長度為L的單擺的二階非線性微分方程：3編輯ppt微分方程的解微分方程的解通常是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式〔含一個(gè)或多個(gè)待定常數(shù)，由初始條件確定〕。例如：dy/dx=sinx，的解是y=-cosx+C，其中C是待定常數(shù)；例如，如果知道y=f(π)=2，那么可推出C=1，而可知y=-cosx+1，4編輯ppt0102簡易微分方程的求解方法一階線性常微分方程二階常系數(shù)齊次常微分方程5編輯ppt一階線性常微分方程對(duì)于一階線性常微分方程，常用的方法是常數(shù)變易法：對(duì)于方程：可知其通解：然后將這個(gè)通解代回到原式中，即可求出C(x)的值016編輯ppt二階常系數(shù)齊次常微分方程對(duì)于二階常系數(shù)齊次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解對(duì)于方程：可知其通解：其特征方程：根據(jù)其特征方程，判斷根的分布情況，然后得到方程的通解一般的通解形式為(在r1=r2的情況下):(在的r1≠r2情況下):(在共軛復(fù)數(shù)根的情況下)：027編輯ppt01020304一般通解可別離方程一般一階微分方程一般二階微分方程線性方程(最高到n階)8編輯ppt可別離方程019編輯ppt一般一階微分方程0210編輯ppt一般二階微分方程

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